谈谈如何提高学生的高层次数学思维

1改进教学设计,提高学生的高层次数学思维能力鲍建生华东师范大学数学系jsbao@一、问题的提出一些研究认为：中国学生善于解决问题，但不善于提出问题；中国学生善于解常规问题，不善于解非常规的数学问题；中国学生缺少批评性思维和创新意识；中国学生既不会独立思考，又缺乏合作精神？你同意上述观点吗？（相关研究：Brenner,Herman,Ho,&Zimmer,1999;Cai,1995,1997,1998,2000;Gu,1997;Miuraetal.,1988;Stevenson,Lee,Chen,&Lummis,1990;Stigler&Perry,1988;Wang,JandLin,E.,2005）存在的问题数学认知水平测试17年前后比较（青浦实验“新世纪行动”研究小组，2008）研究聚焦如何提高学生的高层次数学认知能力？4二、研究思路分析框架基本假设现状调查聚焦课堂实验设计51、分析框架

概念界定水平模型分类模型因素模型指标体系过程模型布卢姆认知领域教育目标分类7动词层面新版（Anderson,etal,2001）事实知识（FactualKnowledge）概念知识（ConceptualKnowledge）程序知识（ProcedualKnowledge）元认知知识（MetacognitiveKnowledge）知识维度(KnowledgeDimension）旧版（Bloom,1956）名词层面评价（Evaluation）综合（Synthesis）分析（Analysis）应用（Application）了解（Comprehension）知识（Knowlodge）创造（Create）评价（Evaluate）分析（Analyze）应用（Apply）理解（Understand）记忆（Remember）认知过程维度（CognitiveprocessDimension）威尔逊的目标分类（1989）8水平类别指标A计算A1：具体事实的知识；A2：术语的知识；A3：实施算法的能力．B领会B1：概念的知识；B2：原理、规则、通则的知识；B3：数学结构的知识；B4：把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力；B5：延续推理思路的能力；B6：阅读和解释问题的能力．C运用C1：解决常规问题的能力；C2：做出比较的能力；C3：分析已知条件的能力；C4：识别格局、同型性和对称性的能力．D分析D1：解决非常规问题的能力；D2：发现关系的能力；D3：构造证明的能力；D4：批评证明的能力；D5：形成和证实通则的能力．QUASAR的目标分类（

Stein&Smith,1998）9低水平任务高水平任务记忆型任务包括对已学过的事实、法则、公式以及定义的记忆重现或者把事实、法则、公式和定义纳入记忆系统．使用程序不能解决，因为不存在某种现成的程序或因为完成任务的限定时间太短而无法使用程序．模糊——这种任务包括对先前见过的材料的准确再现以及再现的内容可以明白而直接地陈述．与隐含于已学过的或再现的事实、法则、公式和定义之中的意义或概念无任何联系．无联系的程序型算法化．程序的使用要么是特别需要，要么明显基于先前的教学、经验或对任务的安排．成功完成任务需要的认知要求有限．对于应做些什么和如何做几乎是一目了然．与隐含于程序之中的意义或概念无任何联系．更强调得出正确答案而不是发展数学的理解．不需要解释或需要的解释仅仅是对解题程序的描述．有联系的程序型为了发展对数学概念和思想的更深层次理解，学生的注意力应集中在程序的使用上．暗示有一条路径可以遵循（显性地或隐性地），这种路径即是与隐含的观念有密切联系的、明晰的、一般性程序．常用的呈现方式有多种（如可视图表、学具、符号、问题情景）．在多种表现形式之间建立起有助于发展意义理解的联系．需要某种程度的认知努力．尽管有一般的程序可资遵循，但却不能不加考虑地应用．为了成功完成任务和发展数学的理解，学生需要参与存在于这些程序中的观念．做数学需要复杂的、非算法化的思维．（即任务、任务讲解、或已完成的例子没有明显建议一个可预料的、预演好的方法或路径借鉴）．探索和理解数学观念、过程和关系的本质．对自己的认知过程自我调控．启用相关知识经验，并在任务完成过程中恰当使用．要求学生分析任务并积极检查对可能的问题解决策略和解法起限制作用的因素．需要相当大的认知努力，也许由于解决策略不可预期的性质，学生还会有某种程度的焦虑．青浦实验的目标分类10110F2F1分析运用领会概念计算数学教学目标分类四层次架构11较低认知水平较高认知水平①计算——操作性记忆水平

②概念——概念性记忆水平

③领会——说明性理解水平

④分析——探究性理解水平高层次数学认知能力的评价指标12发现并形成合适的数学问题：从各种情境中发现所包含的数学要素、关系或结构，提出合适的数学问题；特殊化与一般化：全面结合已分解的各要素及其关系，按照模型需要对已有的数学概念、程序、性质和命题进行推广或特殊化；解决非常规的和开放性的数学问题；数学建模：分析出条件和结论间主要关系或重点步骤；形成假设或初步的数学模型；严格的数学推理与证明。

2、基本假设13从目前国内外已有的研究结果来看，影响学生数学认知水平的教学因素主要有两个：学生所从事的数学任务，不同的数学任务需要不同的数学认知活动（如Huntley,Rasmussen,Villarubi,Sangtong,&Fey,2000;Stein,Smith,Henningsen,&Silver,2000;Thompson&Senk,2001;Reys,Reys,Lappan,&Holliday,2003）；针对高认知层次数学任务的教学策略（Golkar,2003;Hiebert,etal.,1997;Meyer,2003;NCTM,2000,1991;Silver&Smith,1997;VandeWalle,2004）。3、现状调查14存在的问题：课程因素15教材题目认知水平归类统计图（华师版的八年级）中英期望课程的探究水平（鲍建生，2002）中美初中数学课程在数学认知水平上的差异数学认知水平19存在的问题：课堂教学小步子：学生缺少数学探究的机会赶进度：学生缺少数学探究的空间套题型：学生缺少数学探究的意识重技巧：学生缺少数学探究的策略看分数：学生缺少数学探究的动力牵着走：学生缺少数学探究的氛围20存在的问题：解题教学教师只管自己讲，学生：不理解；不动脑筋；缺乏兴趣过分强调对题型的死记硬背；过分强调解题的技巧，不重视通性通法；简单问题复杂化；题量太大，教师蜻蜓点水，学生一知半解；对解题过程缺乏回顾和总结；没有做到举一反三。4、聚焦课堂21课堂教学教学设计教学行为典型事件教学机智认知过程教学设计22教学设计目标分析学情分析任务分析背景分析导入设计问题设计情境设计活动设计5、实验设计实验周期：3年，每年一轮。实验的基本假设是：高认知水平的数学任务针对高水平任务的有效的教与学方式改进学生在高认知水平数学任务上的表现实验设计：

（1）日常教学的渗透；（2）活动课；（3）课外长作业。研究方法：（1）提升、保持、下降课堂教学数学认知水平的因素分析；（2）教学案例分析；（3）数学认知水平测试；（4）跟踪访谈；等。实验班：实验学校的全体学生；

对比班：实验学校参与实验前的同年级学生。24三、预研究教师问卷调查学生数学认知水平的现状影响学生数学认知水平的因素提高学生数学认知水平的策略学生认知水平的测试(五个方面单独测试)教学案例分析任务设计;认知分析;教学策略.25预研究：教学任务设计发现问题、提出问题的能力折纸中的数学一次方程组的应用一题多解探究勾股数模式构建林福来提供的案例26什么是“好的”数学任务一个好的数学任务必须：是容易接受的（不需要大量的技巧）有多种解题方法（或者至少有多种思路）蕴涵了重要的数学思想（好的数学）不故设陷阱(通性通法)可以进一步开展和一般化（导致丰富的数学探索活动）——匈菲尔德，1994有些数学是具有开创性的，有发展的，这就是好的数学。还有一些数学也蛮有意思，但渐渐变成一种游戏了。——陈省身，20041、发现问题与提出问题27案例1：茅以升教学法每次上课的前十分钟，茅以升先指定一名学生，让他就前次学习课程提出一个疑难问题，从学生所提问题的深浅，可知他对课程的领会程度，以及自己是否作过深入的钻研和探讨。问题提得好，或教师都不能当堂解答的，给提问学生打满分。如提不出问题，则由另一学生提问，前一学生作答。著名教育家陶行知先生曾亲自带领教育科学生来听茅以升的课，对他的教学方法评价很高，认为“这的确是个崭新的教学上的革命，是开创了我国教育的一个先例，值得推广”。29老师我们在课前通过预习，基本掌握了一些关于函数奇偶性的知识，看看大家有没有发现什么问题呢，现在把它提出来，我们一起来讨论讨论吧。有奇函数，有偶函数，那么有没有既奇又偶的函数呢？想知道奇偶函数运算结果的奇偶性奇偶函数可不可以是分段函数呢？对奇偶函数的定义域有没有要求呢？怎么判断一个函数是奇偶函数呢？如果只验证一个只值满足定义能不能判断这个函数的奇偶性呢？正比例函数是一个奇函数，我想知道那么一般的一次函数呢？我们学过的二次函数呢？常值函数是不是奇函数或者是偶函数呢？奇偶函数在结构上有什么特征呢？案例2：函数的奇偶性学生提出的问题2、折纸中的数学30案例1：正方形折纸如图１、图２所示，一张正方形纸片ABCD，将B折至AD的中点E，折痕为FG．将C折至AD的中点E，ML为折痕．你能得到哪些结论？图1图２△AEF的边长之间的关系为勾3、股4、弦5．△AEF、△DKE、△HKG相似．DK:DC=2:3．GH:DC=1:8．HK的长度等于△DKE的内切圆半径．FM:AB=1:2．EN:NP=5:3．结论案例2：TIMSS操作性测试32给你9张白纸，一把剪刀和一个信封。你的任务是：用剪刀剪出下面给定的图案，你可以将纸片任意折叠，但只能沿直线剪一刀：要得到下面的图形，在不实际折叠的情况下，想象一下，该如何折叠？用虚线画出折痕，用实线画出最后剪的这一刀：案例3：等腰三角形的三线合一333、一次方程组的应用34聪明的牧场主151211牧场主麦克每周轮换使用他的三个相邻的牧场．为了省钱，他运用所学的数学知识设计了三个合用的门，如图，每两扇门都能恰好关住一个牧场．一个具有灵气的基础案例上海51中学一毕业生在和平饭店发现在地下室通向10层楼三根导线的电阻不同。如何测量？他想到解联立方程4、一题多解：等腰三角形的判定证明等腰三角形的判定定理：有两个内角相等的三角形是等腰三角形.ABC第1步：利用情境变式激发探究兴趣A

原題已知：∠B=∠C,求证：AB=AC.情境性变式：小强想证明下面的问题：“有两个角（图中的∠B和∠C）相等的三角形是等腰三角形”.但他不小心将图弄脏了，只能看见图中的∠C和边BC.请问：他能够把图恢复成原来的样子吗？BC第2步:学生独立探究问题：你能够证明这样画出的三角形是等腰三角形吗方法1：量出∠C的大小;作∠B＝∠C;则∠B的一条边和∠C的一条边的延长线交于点A.方法2：作边BC的垂直平分线与∠C的另一边的延长线交于点A.方法3：如图，将长方形纸片对折使点B和点C重合，找到∠C与折痕的交点A第3步：证明定理学生自己发现的不同证法：：证法2：过A作AD垂直于BC,

证明△ABD≌△ACD证法5：证明

△ABC≌△ACB证法4：（反证法）：

假设AB>AC,那么

∠C>∠B.证法1：作∠A的平分线，然后证明：△ABT≌△ACT錯誤!证法3：过A作BC边上的中线，证明：解题三部曲原始问题通过改变条件或结论得到多种变式问题一题多变用多种方法解决问题一题多解将解法运用于多种情形一法多用5、探究勾股数42第一步：列出一些简单的勾股数组（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（10，24，26），-------第二步：寻找规律整数乘以勾股数仍然是勾股数在互质的勾股数中，如果勾股中小的一个数a是奇数，那么弦等于大的一个数加1，并且a可以从3开始，取遍所有奇数在互质的勾股数中，如果勾股中小的一个是偶数，那么弦等于大的一个数加2在互质的勾股数组中，弦是奇数在互质的勾股数组中，勾股中的偶数与弦之和是一个平方数任意一组互质的勾股数都可以表示为（|m2—n2|，2mn，m2+n2）6、模式构建如图是一个边长为3的大立方体，它由27个单位立方体组成，将大立方体的六个面都涂上同一种颜色，分别求恰有1面涂色、2面涂色、3面涂色以及没有被涂色的小立方体的个数；如果是一个边长为4的立方体呢？如果是一个边长为5的立方体呢？如果是一