高中数学苏教版第一章立体几何初步单元测试-参赛作品

1．2点、线、面之间的位置关系1．平面的基本性质我们在日常生活中常见到一些物体如湖面、黑板面、桌面、玻璃面，都给我们以平面的感觉．那么我们能够将这些面定义为平面吗？测量中的平板仪、望远镜或照相机等都用三条腿的架子支撑在地面上，你知道其中的道理吗？1．我们知道，几何里的平面是无限延展的，通常把水平的平面画成一个平行四边形，常用符号的规定是：①A∈α，读作：“点A在平面α内”；B∉α，读作：“点B在平面α外或点B不在平面α内”．②A∈l，读作：“点A在直线l上”；B∉l，读作：“点B在直线l外或点B不在直线l上”．③l⊂α，读作：“直线l在平面α内”；l⊄α，读作：“直线l在平面α外或直线l不在平面α内”．2．公理1.(1)文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)符号语言：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α⇒l⊂α．3．公理2.(1)文字语言：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．(2)符号语言：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，P∈l．4．公理3.(1)文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(2)符号语言：A∈l，B∈l，C∉l⇒三点A、B、C确定唯一平面α．5．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．6．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．7．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．,一、公理1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．该公理是判定直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内，即只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内即可．二、公理2公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．该公理主要用于判定或证明两个平面相交及三点在同一条直线上．证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内)，这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上．证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线．三、公理3及其三个推论公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3和三个推论是证明点和点、点和线、线和线共面的重要依据，是把空间问题化归成平面问题的重要渠道．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)知识点一平面的概念及符号表示1．下列说法中，正确的有________(填序号)．①一个平面长4m，宽2②2个平面重叠在一起比一个平面厚；③一个平面的面积是25cm2④一条直线的长度比一个平面的长度大；⑤圆和平行四边形都可以表示平面．解析：根据平面定义，前4个说法均不正确，⑤正确．答案：⑤2．点M在直线a上，且直线a在平面α内，可记为________．解析：点、线、面的关系采用集合中的符号来记．答案：M∈a⊂α3．根据下列条件，画出图形：平面α∩平面β＝AB，直线CD⊂α，CD∥AB，E∈CD，直线EF∩β＝F，F∉AB.解析：由题意画图形如下：知识点二平面基本性质三条公理4．平面α、β有公共点A，则α、β有________个公共点．解析：根据公理2.答案：无数5．如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D ，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过点________．解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．答案：C和D6．空间任意四点可以确定________个平面．解析：若四点共线，可确定无数个平面；若四点共面不共线，可确定一个平面；若四点不共面，可确定四个平面．答案：1个或4个或无数知识点三平面基本性质三条推论7．下列命题说法正确的是________(填序号)．①空间中不同三点确定一个平面；②空间中两两相交的三条直线确定一个平面；③一条直线和一个点能确定一个平面；④梯形一定是平面图形．解析：根据三个公理及推论知①②③均不正确．答案：④8．下列各图的正方体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．解析：①中PS∥RQ，③中SR∥PQ，由推论3知四点共面．答案：①③9．点A在直线l上但不在平面α内，则l与α的公共点有__________个．答案：0或1eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(级)综合点一点共线的问题10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E，则B、E、D1三点的关系是解析：连接AC、A1C1、AC1，则E为A1C与AC1的交点，故E为AC1的中点．又ABC1D1为平行四边形，所以B、E、D答案：共线11．如右图，E、F、G、H分别是空间四边形中AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O.求证：B、D、O三点共线．证明：∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理可证O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，即B、D、O三点共线．综合点二线共点问题12．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1、AB的中点，求证：D1E、CF、DA证明：如图，连接EF，A1B，D1C∵E、F为AA1、AB的中点，∴EF綊eq\f(1,2)A1B.又∵A1B綊D1C∴EF綊eq\f(1,2)D1C.故直线D1E、CF在同一个平面内，且D1E、CF不平行，则D1E、CF必相交于一点，设该点为M.又∵M∈平面ABCD且M∈平面ADD1A1，∴M∈AD，即D1E、CF、DA综合点三点、线共面问题13．下列叙述中，正确的是________(填序号)．①若点P在直线l上，点P在直线m上，点P在直线n上，则l、m、n共面；②若点P在直线l上，点P在直线m上，则l、m共面；③若点P不在直线l上，点P不在直线m上，点P不在直线n上，则l、m、n不共面；④若点P不在直线l上，点P不在直线m上，则l、m不共面；⑤若点P在直线l上，点P不在直线m上，则l、m不共面．解析：∵P∈l，P∈m，∴l∩m＝P.由推论2知，l、m共面．答案：②综合点四同一法证直线共面14．已知：a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a、