山西省忻州市晋昌联校高三数学理模拟试卷含解析

山西省忻州市晋昌联校高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最大值是（）A．6

B．0

C.2

D．参考答案：A由作出可行域，如图，由图可得，，，由，得，∴，化目标函数为，∴当过A点时，z最大，.

2.下列叙述正确的有

①集合，,则②若函数的定义域为，则实数③函数是奇函数④函数在区间上是减函数参考答案：略3.已知等比数列满足＞0，＝1,2，…，且，则当≥1时，＝

（

）A．n(2n－1)

B．(n＋1)2

C．n2

D．(n－1)2参考答案：A4.若，均有，则实数a的取值范围是

A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】指数函数与对数函数

B6

B7A解析：由指数函数与对数函数的图像可知，再由，所以A正确.【思路点拨】根据指数函数与对数函数的图像与性质可判定结果.5.已知cos（+α）=，|α|＜，则tanα等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．参考答案：A【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值．【解答】解：∵cos（+α）=﹣sinα=，|α|＜，∴sinα=﹣，cosα==，∴tanα==﹣2．故选：A．6.若双曲线的焦距为6，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】将双曲线化成标准方程，得到和，根据，得到关于的方程，从而得到离心率.【详解】解：双曲线的标准方程为：，所以焦距为6，，解得，所以双曲线的离心率为：．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，简单性质的应用，是基本知识的考查，属于简单题．7.若双曲线的一条渐近线方程为，则m的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A双曲线的一条渐近线方程为，可得，解得，因为是双曲线的渐近线方程，所以，解得，故选A.8.设偶函数对任意都有，且当时，，则（）A．10 B． C． D．参考答案：C9.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为A.6

B.8

C.10

D.12参考答案：B

本题主要考查分层抽样方法。属容易题，分层抽样中每个被抽到的概率相等，高一年级有30人，高二年级有40人，从高一年级抽取了6人占高一年级人数的，那么高二抽取的人数也应该占，故高二抽取，故选B答案10.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知sin（+α）=，则cos（）=．参考答案：﹣【考点】二倍角的余弦；诱导公式的作用．【分析】因为cos（﹣α）=sin（+α）=，利用二倍角公式求得cos（）的值．【解答】解：因为cos（﹣α）=sin（+α）=，∴cos（）=2﹣1=2×﹣1=﹣，故答案为﹣．12.在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，记三边及内部组成的区域为，，当点P在上运动时，的最大值为

。参考答案：略13.是坐标原点，若为平面区域内的动点，则的最小值是__________.参考答案：.14.设x、y、z?R+，若xy+yz+zx=1，则x+y+z的取值范围是__________参考答案：略15.如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为__________.参考答案：答案:7

16.设sin，则___________.

参考答案：略17.等比数列满足，则参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）对函数定义域内每一个实数x，f（x）+≥恒成立．（1）求t的最小值；（2）证明不等式lnn＞+…+且n≥2）参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）利用导数的运算法则与几何意义可得切线的斜率f′（1），再利用点斜式即可得出．（II））（1）?x＞0，恒成立，即，即．令，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．（2）由（1）知t=1时，恒成立，即，x=1取“=”．当n≥2时，令，则，可得．分别取值即可证明．【解答】解：（I）由题意x∈（0，+∞）且，∴，又，∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即x﹣2y﹣1=0．（II）（1）解：?x＞0，恒成立即，即…令，…令g'（x）=0，则x=1∴x∈（0，1）g'（x）＞0，g（x）为增函数．x∈（1，+∞）g'（x）＜0，g（x）为减函数…∴g（x）max=g（1）=1∴t≥1，即t的最小值为1…（2）证明：由①知t=1时，恒成立…即，x=1取“=”当n≥2时，令，则∴……以上n﹣1个式子相加即…19.（15分）（2015?东阳市模拟）已知椭圆，离心率，且过点，（1）求椭圆方程；（2）Rt△ABC以A（0，b）为直角顶点，边AB，BC与椭圆交于B，C两点，求△ABC面积的最大值．参考答案：考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： （1）运用离心率公式和a，b，c的关系，以及点满足方程，解方程，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）分别设出AB，AC的方程，代入椭圆方程，求得B，C的横坐标，运用弦长公式，以及三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．解答： 解：（1）由，即=，又a2﹣b2=c2，得a=3b，把点带入椭圆方程可得：，所以椭圆方程为：；（2）不妨设AB的方程y=kx+1，则AC的方程为．由得：（1+9k2）x2+18kx=0，k用代入，可得，从而有，于是．令，有，当且仅当，．点评： 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，求得交点，同时考查三角形的面积公式和基本不等式的运用，属于中档题．20.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．（1）求EF与DG所成角的余弦值；（2）若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF与DG所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量，若存在MN，使得MN⊥平面PBC，则∥，由此利用向量法能求出结果．【解答】解：（1）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），∵E、F、G分别为BC、PD、PC的中点，∴，F（0，1，），G（），∴=（﹣1，），=（），设EF与DG所成角为θ，则cosθ==．∴EF与DG所成角的余弦值为．（2）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），∵=（0，1，0），=（1，0，﹣1），∴，取x=1，得=（1，0，1），M为EF上一点，N为DG上一点，若存在MN，使得MN⊥平面PBC，则∥，设M（），N（x2，y2，z2），则，①∵点M，N分别是线段EF与DG上的点，∴，∵=（），=（x2，y2﹣2，z2），∴，且，②把②代入①，得，解得，∴M（），N（）．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21.（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为，且.(1)求的表达式；(2)设，，，求的值.参考答案：(1)依题意得，∴，

……2分由，得，即，∴,

……4分∴

……5分(2)由，得，即，∴，

……6分又∵，∴，

……7分由，得，即，∴，

……9分又∵，∴，

……10分

……12分22.（本小题满分12分）新生儿评分，即阿氏评分是对新生儿出生收总体状况的一个评估，主要从呼吸、心率、反映、肤色、肌张力这几个方面平分，满10分者为正常新生儿，评分7分以下的新生儿考虑患有轻度窒息，大部分新生儿的评分多在7-10分之间，某市级医院产科对1月份出生的新生二随机制取了16名，以下表格记录了他们的评分情况。（1）现从16名新生儿随机抽取3名，至多有1名评分不低于9分的概率；（2）以这16名新生二数据来估计本年度的总体数据，若从本市