山西省忻州市秀容中学高二数学理下学期期末试题含解析

山西省忻州市秀容中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a，x∈[﹣2，2]的最小值为﹣2，则f（x）的最大值为（）A．25 B．23 C．21 D．20参考答案：A【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值，再根据条件求出a的值，最小值即可求得．【解答】解：求导函数可得f′（x）=﹣3x2+6x+9=﹣3（x+1）（x﹣3）令f′（x）=﹣3x2+6x+9=0，解得x=﹣1或3∵x∈[﹣2，﹣1）时，f′（x）＜0，函数单调减，x∈（﹣1，2]时，f′（x）＞0，函数单调增，∴函数在x=﹣1时，取得最小值，在x=﹣2或x=2时，函数取得最大值，∵f（﹣1）=﹣5+a=﹣2，∴a=3，∴f（﹣2）=2+a=5，f（2）=22+a=25，函数的最大值为25，故选：A．2.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有(

)

A.

B.

C.

D.]参考答案：B略3.已知数列的前项和为，且，，可归纳猜想出的表达式为（

）A． B． C． D．参考答案：A略4.若函数f(x)＝x3＋f′(1)x2－x＋3，则f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：D略5.各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则的值为A.

B.

C.

D.或参考答案：A6.与圆都相切的直线有A、4条

B、3条

C、2条

D、1条参考答案：D7.已知△ABC，内角A、B、C的对边分别是，则A等于（

）

A．45°B．30°C．45°或135°

D．30°或150°参考答案：A略8.展开式中项的系数为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C由于，

故，则其展开式通项公式为：，令可得：r=4，则展开式中x2项的系数为：.本题选择C选项.

9.设i为虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得a=﹣2．故选：C．10.非空数集A={a1，a2，a3，…，an}（n∈N*）中，所有元素的算术平均数记为E（A），即E（A）=．若非空数集B满足下列两个条件：①B?A；②E（B）=E（A），则称B为A的一个“保均值子集”．据此，集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个参考答案：C【考点】子集与交集、并集运算的转换；众数、中位数、平均数．【分析】根据集合A和“保均值子集”的定义把集合的非空真子集列举出来，即可得到个数．【解答】解：非空数集A={1，2，3，4，5}中，所有元素的算术平均数E（A）==3，∴集合A的“保均值子集”有：{3}，{1，5}，{2，4}，{3，1，5}，{3，2，4}，{1，5，2，4}，{1，2，3，4，5}共7个；故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题：“?x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是

．参考答案：?x∈R，x2﹣x﹣1≥0【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“?x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是?x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案为：?x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．12.在等比数列中，，且，，成等差数列，则通项公式

.参考答案：，13.若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是．参考答案：[1，2）【考点】元素与集合关系的判断；四种命题的真假关系．【分析】原命题是假命题可转化成它的否命题是真命题进行求解，求出满足条件的x即可．【解答】解：若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题则它的否命题为真命题即{x|x＜2或x＞5}且{x|1≤x≤4}是真命题所以的取值范围是[1，2），故答案为[1，2）．14.已知集合，则

．参考答案：15.已知函数若函数处有极值10，则b的值为

。参考答案：

16.若,，且为纯虚数，则实数的值为

。参考答案：17.高三年级位学生参加期末考试，某班位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是__________．②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是__________．参考答案：乙；数学①观察散点图可知，甲、乙两人中，语文成绩名次比总成绩名次靠前的学生是乙．②观察散点图，作出对角线，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙的成绩名次靠前的科目是数学．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.（1）写出a1,a2,a3,并推测an的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论.参考答案：(1)a1＝,a2＝,a3＝,

猜测an＝2－

(2)①由（1）已得当n＝1时，命题成立；

②假设n＝k时,命题成立，即ak＝2－,

当n＝k＋1时,a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,

且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak

∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3, ∴2ak＋1＝2＋2－,

ak＋1＝2－,

即当n＝k＋1时,命题成立.根据①②得n∈N+,an＝2－都成立。19.已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）先设处椭圆的标准方程，根据离心率求的a和c的关系，进而根据抛物线的焦点求得c，进而求得a，则b可得，进而求的椭圆的标准方程．（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）2+y2=．联立两个圆的方程求得其交点的坐标，推断两圆相切，进而可判断因此所求的点T如果存在，只能是这个切点．证明时先看直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．再看直线l不垂直于x轴，可设出直线方程，与圆方程联立消去y，记点A（x1，y1），B（x2，y2），根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式，代入?的表达式中，求得?=0，进而推断TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，离心率，，抛物线的焦点为（0，1），所以，椭圆C的方程是x2+=1（Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）2+y2=．由解得即两圆相切于点（1，0）．因此所求的点T如果存在，只能是（1，0）．事实上，点T（1，0）就是所求的点．证明如下：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k（x+）．由即（k2+2）x2+k2x+k2﹣2=0．记点A（x1，y1），B（x2，y2），则又因为=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），?=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+k2（x1+）（x2+）=（k2+1）x1x2+（k2﹣1）（x1+x2）+k2+1=（k2+1）+（k2﹣1）++1=0，所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件20.（1）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.求双曲线C的方程。（2）设抛物线y2＝mx(m≠0)的准线与直线x＝－1的距离为2，求抛物线的方程．参考答案：（1）－y2＝1.（2）当m＞0时，准线方程为x＝－＝－3，∴m＝12.

此时抛物线方程为y2＝12x.当m＜0时，准线方程为x＝－＝1，∴m＝－4.此时抛物线方程为y2＝－4x.答案：y2＝12x或y2＝－4x

∴所求的抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.

略21.(8分)已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切;②在直线y=x上截得弦长为2;③圆心在直线x－3y=0上.求圆C的方程.参考答案：设所求的圆C与y轴相切，又与直线交于AB，∵圆心C在直线上，∴圆心C（3a，a），又圆与y轴相切，∴R