大学物理 马文蔚 课堂笔记28

P*O式中d=rsin称为力F对转轴Z的力臂.如图刚体绕Oz轴旋转,力作用在刚体横截面上点P且在此平面内,为由点O到力的作用点P的径矢.力

对转轴的力矩.

一、力矩§4.2力矩转动定律转动惯量物体为什么会转动？一个力作用在物体上一定能使物体由静止到转动吗？(1)力矩大小:力矩是矢量.力矩方向:右手法则---拇指伸直,四指由r弯向F,这时拇指的指向就力矩的方向.力矩的单位:N·m.当力矩沿Z轴正向时为正,反之为负./15要使一个刚体由静止到转动必须要有力矩的作用!OO'F1O§4.2力矩转动定律转动惯量(1)讨论(i)当作用力通过转轴时,其力矩为零.如右图.(ii)

若力不在转动平面内,应把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量.如右下图.O其中对转轴的力矩为零.因为F//不能使物体绕Z转动.注意,式中是分力F与r的夹角,而不是力F与r的夹角.故对转轴的力矩为(2)/152§4.2力矩转动定律转动惯量(iv)刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消.O如右图所示.由于刚体内质点间相互作用的内力是作用力和反作用力,因此,刚体内各质元间的作用力对转轴的合力矩为零.(3)(v)合力为零时,其合力矩不一定为零.如下图.(iii)

合力矩等于各分力矩的矢量和/153

例1

有一大型水坝高110m、长1000m，水深100m水面与大坝表面垂直,如图所示.求作用在大坝上的力,以及这个力对通过大坝基点Q且与x轴平行的力矩.解

(i)求作用在大坝上的作用力:

设水深h，坝长L.§4.2力矩转动定律转动惯量yOhyxQyOx在坝面上取面积元作用在此面积元上的力为令大气压为，则面积元dA处的压强为因此面积元上的受力为上式积分,可得整个大坝作受的作用力为/154对通过点Q的轴的力矩yQOhy§4.2力矩转动定律转动惯量(ii)求作用在大坝上的力矩/155O二、转动定律1.单个质点m与转轴刚性连接§4.2力矩转动定律转动惯量力矩是使刚体转动状态发生变化的原因,使刚体产生角加速度.力是使物体运动状态发生变化的原因,使物体产生加速度,且有F=ma那么力矩与角加速度之间有什么数量的关系呢?如图质点m绕转轴Z作定轴转动.转动平面上的任意力F可分解为切向和法向的分力.可见,质点绕定轴转动时,角加速度与力矩成M正比,与mr2成反比.与a=F/m,相比较,可见,mr2反映了刚体转动的惯性大小./15质点的转动惯量:J=mr2称为质点绕Z轴转动的转动惯量.r是质点到转轴的垂直距离62.质量连续分布的刚体质量元受外力，内力外力矩内力矩O§4.2力矩转动定律转动惯量在刚体内任意取一质元m.在切线方向应用牛顿定律得上式两边乘以rj,得即(4)对刚体上所有质元示和,则由(4)式得/15因为合内力矩等于零.7刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比,

与刚体的转动惯量成反比.

(7)式称为刚体做定轴转动时的转动定律:定义转动惯量O(5)§4.2力矩转动定律转动惯量由(5)可见,在外力矩一定时,刚体角加速度与成反比,同外力一定时,物体加速度与质量成反比类似.对分立质点系(6)对质量连续分布的刚体(6)式代入(5)式,得到(7)转动惯量的大小表示刚体转动时转动状态发生变化的难易程度.与之相对应的是质量表示物体运动状态发生变化的难易程度.不同的刚体,转动惯量不同,同一个刚体对不同的转轴其转动惯量也是不同的.转动惯量J的物理意义：转动惯性大小的量度./158三、转动惯量的计算1.质量离散分布刚体的转动惯量2.质量连续分布刚体的转动惯量式中r是质量元dm到转轴的垂直距离.§4.2力矩转动定律转动惯量O式中ri是质点mi到转轴的垂直距离.(8)(9)O(质量线密度)

对质量线分布的刚体：

对质量面分布的刚体：(质量面密度)

对质量体分布的刚体：(质量体密度)书上P110表4-2列举了几种常见刚体转动时的转动惯量.下面举二例验证之.转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置(三要素).注意/159解

(i)

转轴O1O1´通过中心,建立坐标系如右图,

设棒的线密度为，例1

一质量为m、长为的均匀细长棒，求:(i)通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量;(ii)通过棒端点并与棒垂直的轴的转动惯量.(ii)

转轴O2O2´通过端点并垂直于棒,如右下图§4.2力矩转动定律转动惯量取一距离转轴O1O1´为r处的质量元dm,质量元dm对转轴OO´的转动惯量为计算结果与书上P110表4-2的结果一致./15r绕中点转动绕端点转动10例2

一质量为m、半径为R的均匀圆盘,求通过圆盘中心并与圆盘垂直的OO´轴的转动惯量.§4.2力矩转动定律转动惯量在距离转轴OO´为r处取一质量元dm,质量元dm对转轴OO´的转动惯量为计算结果与书上P110表4-2的结果一致./15R整个圆盘对转轴OO´的转动惯量为如何计算通过任意转轴的转动惯量?OR设圆盘的面密度为,则有解11§4.2力矩转动定律转动惯量/15J1是绕通过质心的转轴的转动惯量,J2是绕通过端点的转轴的转动惯量,是两个转轴之间的距离.绕中点转动绕端点转动四、平行轴定理CO(10)如图所示,质量为m的刚体,如果对其质心轴的转动惯量为JC，则可以证明,对任一与该轴平行,相距为d的转轴O的转动惯量为PCR例如,对均匀圆盘,对通过质心C的转动惯量为对通过圆盘边缘并垂直圆盘的转轴Ｐ的转动惯量为通过平行轴定理,可以方便地计算通过任意转轴的转动惯量.12例2(P111)

质量为mA的物体A静止在光滑水平面上,和一质量不计的绳索相连接,绳索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮C,并系在另一质量为mB的物体B上.滑轮与绳索间没有滑动,且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：(1)两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？(2)物体B从静止落下距离y时,其速率是多少？§4.2力矩转动定律转动惯量ABCOO物体A、B作平动，滑轮作转动.解(1)

当考虑滑轮质量时,跨过滑轮两端的绳索上张力是不相等的.对A、B、C分别列牛顿定律及转动定律方程对系统作隔离受力分析,并建立坐标系如图.对物体A对物体B对圆盘C转动与平动的联系/1513§4.2力矩转动定律转动惯量ABCOO对物体A对物体B对圆盘C转动与平动的联系将上述四个方程联立求解得，由此可见,如令mC=0,则可得即当不考虑圆盘质量时,跨过圆盘两端的绳索的张力是相等的./1514(2)

B由静止出发作匀加速直线运动,下落的速率§4.2力矩转动定律转动惯量ABCO由和得即/15力的作用使物体的运动状态发生变化,产生加速度,即