垂径定理与切线长定理

类型一与垂径定理有关的计算3、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若OP=3，CD=8，则⊙O的半径r=______．4、图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为80cm，水面最深地方的高度为20cm，则该输水管的半径为=______cm．．OCD550①常用辅助线作法：连半径、作弦的垂线；②要构造以半径、弦心距、弦长的一半为边的直角三角形；③利用勾股定理或列出方程进行计算.第二十四章《圆》复习之人教版九年级上册垂径定理与切线长定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧：知二得三

知识回顾垂径定理如：∵AB⊥CD，CP=DP

∴AB为⊙O的直径，=，=

2、如图，在⊙O中，A为弧BC的中点，OA交BC于点D，若∠ACB=33°，则∠OBC=

度.1、如图，⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足为E，F是⊙O上一点，若∠COB=70°，则∠BFD=

度.24F35知二得三与垂径定理有关的计算类型一3、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若OP=3，CD=8，则⊙O的半径r=___．4、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为160cm，水面最深地方的高度为40cm，则该输水管的半径为=______cm．①构造以半径、弦心距、弦长的一半为边的直角三角形;②利用勾股定理或列出方程进行计算.OCD51005、已知：⊙O的半径OA=2，弦AB、AC的长分别为

，

，则∠BAC的度数为（）．A、

15°

B

、75°C、75°或15°

D、

85°C6、已知△ABC的三个顶点A、B、C都在半径为5cm的⊙O上,且AB=AC,BC=8cm,则△ABC的面积为

cm2

．

①数形结合②分类讨论●

O●

ADBABCCD8或32O与垂径定理有关的证明如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你判断AC与BD的数量关系，并给予证明.G在圆中证明线段相等、弧相等、角相等、垂直关系，常用辅助线作法：连半径、作弦的垂线，利用垂径定理解决.类型二

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．∵PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB∴切线长定理为证明线段相等，角相等，垂直关系等提供了理论依据.

切线长定理

知识回顾EOPAB已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B.

APBO

小试牛刀①连接AB，且∠P=50°，则∠PAB=

度；②若点D为优弧ADB上的一点，且∠P=40°，则∠ADB=

度；D变式1：若点D为圆上异于A、B的一点，且∠P=40°，则∠ADB=

度；657070或110

D变式2：已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，连接OA、OB、OQ、OE、OF.若∠P=50°，则∠EOF=

度.EAQPFBO牛刀再试65已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.EAQPFBO易证EQ=EA,FQ=FB,PA=PB∴

PE+EQ=PA=12PF+FQ=PB=PA=12∴

△PEF周长为24cm牛刀再试如图，边长为4的正方形AOCD的顶点A、C分别在y轴和x轴上，点P的坐标为（2，0），以点P为圆心，OP的长为半径向正方形内部作一半圆，交线段DF于点F，线段DF的延长线交y轴于点E，已知DF=DC.

（1）求证：DF是半圆P的切线；

（2）求线段DF所在直线的解析式.

①切线长定理的应用；②利用勾股定理列出方程进行计算.●

OBAC内切圆BAC●

O内心三条角平分线的交点三条垂直平分线的交点外心外切圆

知识链接内心到三边的距离相等外心到三个顶点的距离相等三角形内心与外心1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=150°，

则∠A=

度.2、如图，⊙I是△ABC的内切圆，若∠BIC=130°，

则∠A=

度.

ABCIABCO7580练一练3、如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC=140°，则∠BIC=

°.125练一练通过本节课的学习，你有什么收获？有什么困惑？颗粒归仓方法归纳如：垂径定理应用中辅助线作法，利用切线长定理来证明线段、角相等的新思