材料力学刘冯文第五版 附录1-几何性质

附录平面图形的几何性质11.静矩与形心2.惯性矩,极惯性矩和惯性积3.平行移轴公式,转轴公式静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、形心主惯性轴本章重点关键概念2目录

§-1静矩和形心§I-2极惯性矩·惯性矩·惯性积§-3平行移轴公式§-4惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的主惯性轴和主惯性矩。3重心位置的确定由合力矩定理分别为微元体的质量和物体的总质量，

g为重力加速度。则有：设：其中物体质心坐标的一般计算公式。P4§-1静矩和形心一.基本概念1.静矩

(或一次矩)OxdAyyxC—

微面积对y

轴的静矩—微面积对x轴的静矩—整个平面图形对y轴的静矩—整个平面图形对x轴的静矩对等厚薄板对均质物体52.形心坐标公式常用单位:m3

或

mm3。数值:可为正、负或

0。3.静矩与形心坐标的关系推论:截面对形心轴的静矩恒为零。反之,截面对某轴的静矩为零,则此轴一定过形心,是形心轴。61.组合截面的静矩根据静矩的定义:

整个平面图形对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和,即：二.讨论：2.组合截面的形心坐标公式式中：分别是第i个简单图形的形心坐标和面积7§I-2极惯性矩·惯性矩·惯性积1.极惯性矩（或截面二次极矩）2.惯性矩（或截面二次轴矩）所以OxyyxrdA即截面对一点的极惯性矩,等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。可知，，均为正83.惯性积（其值可为正、为负或为零)结论：截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为零。4.惯性半径（单位:长度的一次方）OxyyxrdA回转半径（惯性半径）

或9例：试计算矩形截面对于其对称轴（即形心轴）

x和y的惯性矩。解：取平行于x轴的狭长条则

dA=bdy同理yhCxdyyb思考题I：平行四边形对形心轴x

的惯性矩应怎样计算？10§-3平行移轴公式1.平行移轴公式推导图示面积为A

的任意形状的平面，c为其形心,xc,

yc为形心坐标轴。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标轴为x，y,形心c在oxy坐标系下的坐标为(a,b)。任意微面元dA在两坐标系下的坐标关系为：aycyxcxCObdAxcycyx11同理,有：注：式中的

a、b

代表形心位置坐标值,有时可能取负值。12§-4惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的主惯性轴和主惯性矩一.转轴公式新坐标系ox1y1旧坐标系oxy

将上述关系代入平面图形对

x1轴的惯性矩：yxyxOaay1x1BCDEy1x1AdA13

利用三角函数整理上式,得转轴公式：同理得：规定:上式中的

的符号为:逆时针为正,顺时针为负。14即:截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数,并等于截面对该坐标原点的极惯性矩。将上述转轴公式中的前两式相加可得：讨论：从惯性积的转轴公式可推知,随着坐标轴旋转,惯性积将随着

角作周期性变化,且有正有负。因此,必有一特定的角度

0

,使截面对与该角对应的新坐标轴

x0、y0

的惯性积为零。依此进行如下定义：二.截面的主惯性轴和主惯性矩151.主惯性轴:当平面图形对某一对正交坐标轴

y0、z0

的则坐标轴

y0、z0

称为主惯性轴。推论:具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是

平面图形的主惯性轴。2.

主惯性矩:

平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。

3.

形心主惯性轴:

过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。4.形心主惯性矩:平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。=0时,163.主惯性轴位置的确定设坐标轴转动角度为0,则由惯性积的转轴公式及

主惯性轴的定义,得：经整理,得4.主惯性矩的确定

由上面

tan20

的表达式求出cos20、sin20

后,再代入惯性矩的转轴公式,化简后可得主惯性矩的计算公式如下：17结论：1.若截面有一根对称轴,则此轴即为形心主惯性轴之