第四章平面汇交力系

第四章

平面力系的简化与平衡方程一、本章知识点：1.平面任意力系简化2.平面任意力系的平衡3.物体系的平衡问题

本章有可能考计算题，平面力系的简化与平衡方程在以后章节的学习中也要用到，因此必须掌握。1．平面任意力系定义 力系中各力的作用线都在同一平面内，且任意地分布，这样的力系称为平面任意力系。4-1．平面任意力系向一点的简化荷载（力、力偶）、反力既不全部平行，也不交于一点；有两种特殊情况：平面平行力系：各力全部平行；平面汇交力系：各力全部汇交一点。平行力系2平面任意力系向一点的简化

一般情况下，平面任一力系向平面内任选的简化中心简化，可以得到一个力和一个力偶。此力作用在简化中心上，它的矢量等于力系中各力的矢量和，称主矢。此力偶的矩等于力系中各力对简化中心的矩的代数和，称主矩。平面一般力系向一点简化一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系

（未知力系）

（已知力系）汇交力系力，R'(主矢)，(作用在简化中心)力偶系力偶，MO

(主矩)，(作用在该平面上)

大小： 主矢

方向：

简化中心(与简化中心位置无关)[因主矢等于各力的矢量和]（移动效应）åå--==XYRRxy11tantana

大小：主矩MO

方向：方向规定+—

简化中心：(与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）（转动效应）例子：固定端（插入端）约束雨搭固定端（插入端）约束说明①认为Fi这群力在同一平面内;②将Fi向A点简化得一力和一力偶;③RA方向不定可用正交分力YA,XA表示;④YA,XA,MA为固定端约束反力;⑤YA,XA限制物体平动,

MA为限制转动。主矢：等于力系中各力的矢量和。

主矩：O这一点称为简化中心。力偶的矩等于力系中各力对简化中心的矩的代数和。平面任意力系可向平面内任选的简化中心简化。å==¢niFiFR1简化结果（1）等效于一个力和一个力偶的共同作用，既非一个合力也非一个力偶；（2）主矢与简化中心位置无关，即对于任一点主矢都等于原力系各力的矢量和，确定其大小和方向；（3）主矩一般与简化中心的位置有关3．力系简化的方法：（1）将复杂的平面力系用力向一点平移的方法分解为平面汇交力系和平面力偶系；（2）分别按两种力系的合成方法简化得到主矢与主矩。4-2平面一般力系的简化结果讨论简化结果：主矢

，主矩MO

，下面分别讨论。

②

=0,MO≠0即简化结果为一合力偶,MO=M此时刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。①

=0，MO

=0，则力系平衡,下节专门讨论。

③

≠0,MO

=0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）,。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零） ④≠0,MO

≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简

化为一个合力。合力的大小等于原力系的主矢合力的作用线位置总之：最后简化结果只有三种可能：合力、合力偶、平衡4-3平面任意力系的平衡1．平面任意力系的平衡条件平面任意力系的主矢和主矩同时为零，即R’=0、M0=0，是平面任意力系的平衡的必要与充分条件。

平面一般力系平衡的充分和必要条件是：平面一般力系中各力在两个任选的直角坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任意一点之矩的代数和也等于零。用数学式子表达为：∑Fx=0∑Fy=0∑mO(F)=0平面力系的平衡平面一般力系的平衡条件此外平面一般力系的平衡方程还可以表示为二矩式和三力矩式。二矩式为：∑Fx=0∑mA(F)=0∑mB(F)=0三力矩式为∑mA(F)=0∑mB(F)=0∑mC(F)=02.解析表达式――平衡方程

三个方程可求解三个未知数。二矩式

附加条件说明：若任意力系有一合力R，在A、B连线上，虽然R＝0，但如果AB垂直X轴，则仍满足∑X1＝0（当然另二个方程也满足），此三个方程不是相互独立的。X=0，mA(F)=0，mB(F)=0要求连线AB不垂直于投影轴xAB1、mA(F)=0，说明力系简化结果为作用线通过A点的一合力；2、mB(F)=0，说明力系简化结果为作用线通过B点的一合力；3、两者都等于零，说明说力系简化结果为作用线AB的一合力。x4、如果AB垂直于x轴，则无论合力是否等于零，其在投影都等于零，因此X=0并不表明力系平衡。

三矩式

其中A、B、C三点不能共线。若A、B、C三点共线，当合力R作用于此线上时，满足三个方程，但仍可能不为零。mA(F)=0，mB(F)=0，mC(F)=0

要求A、B、C三点不共线。1、mA(F)=0，说明力系简化结果合力作用线通过A点；2、mB(F)=0，说明力系简化结果合力作用线通过B点；3、mB(F)=0，说明力系简化结果合力作用线通过B点；4、三者都等于零，如果ABC共线，则说明力系简化结果合力作用线沿ABC连线。ABC教材例4-3、4-4、4－5：P48十字交叉梁用三个链杆支座固定，如图所示。求在水平力F的作用下各支座的约束反力。

分析：

若使用一矩式、二矩式平衡方程，都需解联方程式；若使用三矩式，选取三未知约束力的交点分别为矩心，则使一个方程只有一个未知力，求解方便（L，K，J）三点不共线。这样求解还有一个好处，每个力均用已知力直接求解，可以避免前面求解的未知力的错误的影响。解题步骤：

1．取分离体，作受力图取十字交叉梁为分离体，其上受主动力P、约束反力NA、NB和NC的作用。2．列平衡方程，求解未知力。解：

[例]求刚架的支座反力ABC3m4mP=5kNq=4kN/mABCPQXAYAMAX=0,XA－P=0Y=0,YA－Q=0ｍB=0，4XA+MA－1.5Q=0解得:XA=5kN，YA=12kN，MA=－2kN.m[例]已知：P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m 求：A、B的支反力。解：研究AB梁解得：结论：1、一个受平面力系作用的物体，若平衡就必须满足平衡方程。2、一个受平面平移力系作用的物体，独立的平衡方程只有三个，只能解三个未知数。归纳物体平衡问题的解题步骤如下：

（1）选取研究对象。

（2）画出受力图。

（3）依照受力图的特点选取坐标系，注意投影为零和力矩为零的应用，列方程求解。

（4）校核计算结果。(1)平面汇交力系如果平面汇交力系中的各力作用线都汇交于一点O，则式中∑MO(F)=0，即平面汇交力系的平衡条件为力系的合力为零，其平衡方程为：

∑Fx=0∑Fy=0

平面汇交力系有两个独立的方程，可以求解两个未知数。3平面力系平衡的特例(2)平面平行力系

力系中各力在同一平面内，且彼此平行的力系称为平面平行力系。设有作用在物体上的一个平面平行力系，取x轴与各力垂直，则各力在x轴上的投影恒等于零，即∑Fx≡0。因此，根据平面一般力系的平衡方程可以得出平面平行力系的平衡方程：

∑Fy=0∑MO(F）=0

同理，利用平面一般力系平衡的二矩式，可以得出平面平行力系平衡方程的又一种形式：

∑MA(F)=0∑MB（F）=0

注意，式中A、B连线不能与力平行。平面平行力系有两个独立的方程，所以也只能求解两个未知数。（3）平面力偶系在物体的某一平面内同时作用有两个或者两个以上的力偶时，这群力偶就称为平面力偶系。由于力偶在坐标轴上的投影恒等于零，因此平面力偶系的平衡条件为：平面力偶系中各个力偶的代数和等于零，即：

∑M=0

设有F1,F2…Fn

各平行力系，向O点简化得：

合力作用线的位置为： 平衡的充要条件为主矢=0 主矩MO

=04-3

平面平行力系的平衡方程平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。R¢4-3所以平面平行力系的平衡方程为：二矩式条件：AB连线不能平行于力的作用线一矩式实质上是各力在x轴上的投影恒等于零，即 恒成立，所以只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。4-4物体系统的平衡一、定义1、由构件组成的物体系统2、物体系统的平衡——各构件的平衡———3n方程式3、研究对象是关键：

（1）先取整体研究对象，再取其中部分研究对象

（2）先取部分构件研究对象，再取整体研究对象。三、计算步骤归纳物体平衡问题的解题步骤如下：（1）选取研究对象。（2）画出受力图。（3）依照受力图的特点选取坐标系，注意投影为零和力矩为零的应用，列方程求解。（4）校核计算结果。四、算例：一、力线平移定理是力系简化的理论基础

力

力+力偶

③平衡合力矩定理①合力（主矢）②合力偶（主矩）二、平面一