R语言相关应用

概率论复习及R相关引言

在我们所生活的世界上，

充满了不确定性

扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单游戏

将不确定性数量化，20世纪初叶才开始的.

世间万物的繁衍生息；大自然的千变万化……，面临着不确定性和随机性.

已经给人类活动的一切领域带来了一场革命.随机现象是不是没有规律可言?

多次重复抛一枚硬币，正面朝上的次数大致一半；

测量一物体的长度，由于仪器及观察受到的环境的影响，每次测量的结果可能是有差异的.但多次测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于一常数.在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性.数理统计研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性质的数据，以对所观测的问题作出推断和预测概率论研究随机现象的统计规律性

概率论的起源赌博

概率论的发展测度概率论与数理统计的应用和渗透本学科的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中.1.气象、水文、地震预报、人口控制及预测产品的抽样验收，新研制的药品能否应用3.寻求最佳生产方案购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的知识就是排队论.目前，概率统计理论进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展.在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，都大量采用概率统计方法.正如法国数学家拉普拉斯所说:“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、第一章

随机事件与概率§1.1样本空间与随机事件一.随机试验:对随机现象进行一次观察和实验，统称为随机试验。随机实验简称为实验，用E表示实验E的所有可能结果构成的集合，称为E的样本空间，用S表示定义

满足某些条件的可能结果所组成的集合,称为随机事件。随机事件用大写字母A，B，C表示.在一次试验中，事件A发生的含义是，当且仅当A中一个样本点(或基本事件)发生（或出现）。事件A发生也称为事件A出现事件的发生2.随机事件其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度观察某地区每天的最高温度与最低温度观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数有限样本空间无限样本空间投一枚硬币3次，观察正面出现的次数例

给出一组随机试验及相应的样本空间一.古典概率

§1-2事件的概率（Probability）

1．古典概型定义1

若随机试验满足下述两个条件：

(1)它的样本空间只有有限多个样本点；

(2)每个样本点出现的可能性相同.

称这种试验为有穷等可能随机试验或古典概型.

这样就把求概率问题转化为计数问题.定义2设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为：称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法.

A包含的样本点数

P(A)＝k/n＝

S中的样本点总数排列组合是计算古典概率的重要工具

.二.几何概率1.定义

向任一可度量区域G内投一点，如果所投的点落在G中任意可度量区域g内的可能性与g的度量成正比，而与g的位置和形状无关，则称这个随机试验为几何型随机试验。或简称为几何概型。2.概率计算

1.

P(A)=[A的度量]/[S的度量]两人约定于12点到1点到某地会面，先到者等20分钟后离去，试求两人能会面的概率？

例1:解：设x,y分别为甲、乙到达时刻(分钟)令A={两人能会面}={(x,y)||x-y|≤20，x≤60,y≤60}P(A)=A的面积/S的面积=（602-402）/602=5/9三.概率的频率定义例2：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反坦克弹射击目标，观测命中情况。设A代表“命中”这一事件，求P(A)?1事件的频率

在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验中事件A发生的次数。频率f=m/n2.频率的稳定性掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中频率P*的波动情况。

（正面出现频率的趋势，横轴为对数尺度）3．概率的频率定义

在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验中事件A发生的次数。当试验次数n很大时，如果频率m/n稳定地在某数值p附近摆动，而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动的幅度越来越小，称数值p为事件A在这一组不变的条件下发生的概率，记作P(A)=p.意义:(1)

提供了估计概率的方法;(2)提供了一种检验理论正确与否的准则.

设A、B为两事件,P(A)>0,则称

为事件

A

发生的条件下事件

B

发生的条件概率，记为定义

设试验的基本事件总数为n，事件A所包含的基本事件总数为m，事件AB所包含的基本事件总数为k。§1.3条件概率

利用条件概率求积事件的概率即乘法公式推广乘法公式

某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.8,能用1500小时的概率为0.4,求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率解

令A

灯泡能用到1000小时

B

灯泡能用到1500小时所求概率为例3

三．全概率公式

定义

若事件组B1,…Bn,满足：

（1）B1,…Bn互不相容且P(Bi)>0，i=1,…,n

（2）事件B1,…Bn,为样本空间的一个划分则对任何事件A，均有上式称为全概率公式

则称事件B1,…Bn,为样本空间的一个划分定理Bayes公式全概率公式§1.4事件的独立性例已知袋中有5只红球,3只白球.从袋中有放回地取球两次，设第i次取得白球为求事件Ai(i=1,2).解一．事件的独立性事件

A1

发生与否对A2

发生的概率没有影响定义设A,B为两事件，若则称事件A

与事件B

相互独立

可视为事件A1与A2相互独立

四对事件任何一对相互独立,则其它三对也相互独立试证其一事实上第一章复习要点随机试验样本空间随机事件基本事件频率概率古典概型A的对立事件及其概率互不相容事件的和事件的概率加法公式条件概率概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式事件的独立性n重贝努利试验随机变量离散型连续型分布函数性质分布率表示方法两者联系两点二项两者联系泊松密度函数两者联系均匀指数正态密度图形N(,2)参数意义N(0,1)随机变量的函数公式方法一般方法正态标准化第二章复习提纲第二章随机变量及其分布

为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的不同结果例电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个变量X

来描述例

抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用一个变量来描述

有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.

二、引入随机变量的意义

如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.

事件{收到不少于1次呼叫}{X1}{没有收到呼叫}{X=0}§2.1随机变量的概念定义设E是一随机试验，S

是它的样本空间，则称S

上的单值实值函数X()为随机变量随机变量一般用X,Y,Z,或小写希腊字母,,表示若

随机变量的概念如，若用X

表示电话总机在9:00~10:00接到的电话次数，或——表示“某天9:00~10:00接到的电话次数超过100次”这一事件则例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往需要多个指标，例如，身高、体重、头围等S={儿童的发育情况}X()—身高Y()—体重Z()—头围各随机变量之间可能有一定的关系，也可能没有关系——即相互独立随机变量的分类离散型随机变量非离散型随机变量—其中一种重要的类型为

连续性随机变量定义了一个x的实值函数，称为随机变量X

的分布函数，记为F(x),即定义设X为随机变量,对每个实数x,随机事件的概率随机变量的分布函数§2.2离散型随机变量及其概率分布定义若随机变量X

的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称X

为离散型随机变量描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即概率分布的性质离散型随机变量的概念

非负性

规范性

F(x)是分段阶梯函数，在X

的可能取值

xk处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度

pk离散型随机变量的分布函数(1)0–1分布X=xk

10Pkp1-p0<p<

1注其分布律可写成

常见的离散型随机变量的分布

凡是随机试验只有两个可能的结果，应用场合常用0–1分布描述，如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.(2)二项分布背景：n

重Bernoulli试验中，每次试验感兴趣的事件A

在n次试验中发生的次数——X是一离散型随机变量若P(A)=p,则称X服从参数为n,p

的二项分布，记作0–1分布是n=1的二项分布二项分布的取值情况设.039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273•由图表可见,当时，分布取得最大值此时的称为最可能成功次数xP•0•1•2•3•4•5•6•7•8R软件中的统计计算

一、统计分布

每一种分布有四个函数：

d―density（密度函数），p―分布函数，

q―分位数函数，r―随机数函数。比如，正态分布dnorm，pnorm，qnorm，rnorm下列各分布前面加前缀d、p、q或r就构成函数名：

norm：正态，t：t分布，f：F分布，chisq：卡方（包括非中心）unif：均匀，

binom：二项分布，统计计算一、统计分布

下列各分布前面加前缀d、p、q或r就构成函数名：exp：指数，weibull：威布尔，gamma：伽玛，beta：贝塔lnorm：对数正态，logis：逻辑分布，cauchy：柯西，binom：二项分布，geom：几何分布，hyper：超几何，nbinom：负二项，pois：泊松signrank：符号秩，wilcox：秩和，tukey：学生化极差Binomialpackage:statsRDocumentationTheBinomialDistributionDescription:Density,distributionfunction,quantilefunctionandrandomgenerationforthebinomialdistributionwithparameters'size'and'prob'.查询的函数dbinom、pbinom、qbinom、rbinom帮助信息，并用帮助文件中的案例进一步学习.Usage:

dbinom(x,size,prob,log=FALSE)pbinom(q,size,prob,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)qbinom(p,size,prob,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)rbinom(n,size,prob)Arguments:

x,q:vectorofquantiles.p:vectorofprobabilities.n:numberofobservations.If'length(n)>1',thelengthistakentobethenumberrequired.size:b:probabilityofsuccessoneachtrial.log,log.p:logical;ifTRUE,probabilitiesparegivenaslog(p).lower.tail:logical;ifTRUE(default),probabilitiesareP[X<=x],otherwise,P[X>x].Details:

Thebinomialdistributionwith'size'=nand'prob'=phasdensityp(x)=choose(n,x)p^x(1-p)^(n-x)forx=0,...,n.Ifanelementof'x'isnotinteger,theresultof'dbinom'iszero,withawarning.p(x)iscomputedusingLoader'salgorithm,seethereferencebelow.ThequantileisdefinedasthesmallestvaluexsuchthatF(x)>=p,whereFisthedistributionfunction.Value:'dbinom'givesthedensity,'pbinom'givesthedistributionfunction,'qbinom'givesthequantilefunctionand'rbinom'generatesrandomdeviates.If'size'isnotaninteger,'NaN'isreturned.结果：ans=0.0020y=0.01150.05760.13690.20540.21820.17460.10910.05450.02220.00740.00200.00050.00010.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000输入以下命令：dbinom(k，n，p)例4：

求服从二项分布的随机变量Y分布率的值输入以下命令：>dbinom(10,20,0.2)>x=0:20;>y=dbinom(x,20,0.2)>y设.01.06.02.01.002<.00101234567891011~20••xP•••••1•3•5•7•9••••0•2•4•6•8•10•20由图表可见,当时，分布取得最大值0.22•输入以下命令：dbinom(0,8,1/3)dbinom(1,8,1/3)x=0:8;y=dbinom(x,8,1/3)y例5：

求服从二项分布的随机变量X分布率的值

结果：ans=0.0390ans=0.1561y=0.03900.15610.27310.27310.17070.06830.01710.00240.0002设命令：p=dbinom(x,n,p)解

(1)设需要配备N

个维修工人,设X

为90台设备中发生故障的台数，则X~B(90,0.01)

设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是0.01.

在通常情况下，一台设备发生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台设备.

问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?(2)问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？例6令则查表2可得N=4dbinom(0,90,0.01)=0.4047dbinom(1,90,0.01)=0.3679dbinom(2,90,0.01)=0.1654dbinom(3,90,0.01)=0.0490dbinom(4,90,0.01)=0.0108三个人共同负责90台设备发生故障不能及时维修的概率为设30台设备中发生故障的台数为

Y~B(30,0.01)设每个人独立负责30台设备，第i个人负责的

30台设备发生故障不能及时维修为事件Ai

则三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修为事件故

三个人共同负责90台设备比各自负责好！(3)Poisson分布或或若其中是常数，则称

X服从参数为的Poisson分布，记作在一定时间间隔内：一匹布上的疵点个数；大卖场的顾客数；应用场合电话总机接到的电话次数；一个容器中的细菌数；放射性物质发出的粒子数；一本书中每页印刷错误的个数；某一地区发生的交通事故的次数

都可以看作是源源不断出现的随机质点流,

若它们满足一定的条件，则称为Poisson流,在长为

t

的时间内出现的质点数Xt~P(t)市级医院急诊病人数；等等命令：p=dpois(k,)Usage:dpois(x,lambda,log=FALSE)ppois(q,lambda,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)qpois(p,lambda,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)rpois(n,lambda)Arguments:x:vectorof(non-negativeinteger)quantiles.q:vectorofquantiles.p:vectorofprobabilities.n:numberofrandomvaluestoreturn.lambda:vectorofpositivemeans.log,log.p:logical;ifTRUE,probabilitiesparegivenaslog(p).lower.tail:logical;ifTRUE(default),probabilitiesareP[X<=x],otherwise,P[X>x].例7三个人共同负责90台设备发生故障不能及时维修的概率为dpois(0,0.9)+dpois(1,0.9)+dpois(2,0.9)+dpois(3,0.9)=0.9865

F(x)是分段阶梯函数，在X

的可能取值

xk处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度

pk离散型随机变量的分布函数输入以下命令：pbinom(10,20,0.2)x=0:20;y=pbinom(x,20,0.2)yz=qbinom(y,20,0.2)z结果：ans=0.9994y=0.01150.06920.20610.41140.62960.80420.91330.96790.99000.99740.99940.99991.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000例8：

求服从二项分布的随机变量X分布函数的值例9

离散均匀分布的分布函数和累积函数的值x=1:10;y=1/10y结果：y=0.10000.10000.10000.10000.10000.10000.10000.10000.10000.1000x=0:10y=x/10y结果：y=00.10000.20000.30000.40000.50000.60000.70000.80000.90001.0000

对于离散型随机变量，如果知道了它的概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率规律.在这个意义上，我们说

我们介绍了离散型随机变量及其概率分布.离散型随机变量由它的概率函数唯一确定.§2.3连续型随机变量定义设

X

是一随机变量，若存在一个非负可积函数

f(x),使得其中F(x)是它的分布函数则称X

是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数(p.d.f.

)，简称为密度函数或概率密度连续型随机变量的概念xf(x)xF(x)分布函数F(x)与密度函数f(x)的几何意义p.d.f.f(x)的性质

常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数

在f(x)

的连续点处，f(x)描述了X在

x

附近单位长度的区间内取值的概率注意:对于连续型随机变量X,P(X=a)=0这里a

可以是随机变量

X

的一个可能的取值命题连续型随机变量取任一常数的概率为零对于连续型随机变量Xbxf(x)axf(x)a概率分布的上侧分位数设随机变量x的密度函数为f(x),对给定的定义xf(x)o概率分布的下侧分位数设随机变量x的密度函数为f(x),对给定的定义xf(x)o(1)均匀分布(a,b)上的均匀分布记作常见的连续性随机变量的分布若X

的密度函数为，则称X

服从区间其中X

的分布函数为xf(x)abxF(x)ba即X

的取值在(a,b)内任何长为

d–c的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.在进行大量数值计算时，如果在小数点后第

k

位进行四舍五入，则产生的误差可以看作服从应用场合Uniform{stats}RDocumentationTheUniformDistributionDescriptionThesefunctionsprovideinformationabouttheuniformdistributionontheintervalfrommintomax.dunifgivesthedensity,punifgivesthedistributionfunctionqunifgivesthequantilefunctionandrunifgeneratesrandomdeviates.Usagedunif(x,min=0,max=1,log=FALSE)punif(q,min=0,max=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)qunif(p,min=0,max=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)runif(n,min=0,max=1)Argumentsx,qvectorofquantiles.pvectorofprobabilities.nnumberofobservations.Iflength(n)>1,thelengthistakentobethenumberrequired.min,maxlowerandupperlimitsofthedistribution.log,log.plogical;ifTRUE,probabilitiesparegivenaslog(p).lower.taillogical;ifTRUE(default),probabilitiesareP[X<=x],otherwise,P[X>x].输入以下命令：colors()x=seq(0,7,0.01)y=dunif(x,2,5)z=punif(x,2,5)plot(x,z,type='l',col='Blue')lines(x,y,type='l',col='Red')密度函数：f=dunif(x,a,b)分布函数：F=punif(x,a,b)(2)指数分布若X

的密度函数为则称X

服从

参数为的指数分布记作X

的分布函数为>0为常数1xF(x)0xf(x)0对于任意的0<a<b,应用场合用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似输入以下命令：x=seq(0,5,0.5);y=dexp(x,2);z=pexp(x,2);plot(x,z,type='l',col='Blue');lines(x,y,type='l',col='Red');result=pexp(6,2)-pexp(1,2)密度函数：f=dexp(x,λ)分布函数：F=pexp(x,

λ)TheExponentialDistributionDescription:Density,distributionfunction,quantilefunctionandrandomgenerationfortheexponentialdistributionwithrate'rate'(i.e.,mean'1/rate').Usage:dexp(x,rate=1,log=FALSE)pexp(q,rate=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)qexp(p,rate=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)rexp(n,rate=1)Arguments:x,q:vectorofquantiles.p:vectorofprobabilities.n:numberofobservations.If'length(n)>1',thelengthistakentobethenumberrequired.rate:vectorofrates.log,log.p:logical;ifTRUE,probabilitiesparegivenaslog(p).lower.tail:logical;ifTRUE(default),probabilitiesareP[X<=x],otherwise,P[X>x].结果：Result=

0.1353291输入以下命令：x=seq(0,5,0.1);y=dexp(x,2);z=pexp(x,2);plot(x,z,type='l',col='Blue');lines(x,y,type='l',col='Red');result1=pexp(5,1)-pexp(0,1);result2=pexp(20,1)-pexp(0,1);结果：result1=

0.993262result2=1.0000(3)正态分布若X的密度函数为则称X服从参数为,2的正态分布记作X~N(,2)为常数，N(-3,1.2)f(x)的性质：

图形关于直线x=

对称：f(+x)=f(-x)在x=

时,f(x)取得最大值在x=±

时,曲线

y=f(x)在对应的点处有拐点曲线

y=f(x)以x轴为渐近线曲线

y=f(x)的图形呈单峰状f(x)的两个参数：—位置参数即固定,对于不同的,对应的f(x)的形状不变化，只是位置不同—形状参数固定，对于不同的，f(x)的形状不同.若1<2

则比x=2所对应的拐点更靠近直线x=附近值的概率更大.x=1所对应的拐点前者取大小应用场合

若随机变量X受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加,则X服从正态分布.可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩；一种重要的正态分布：N(0,1)—标准正态分布它的分布函数记为(x)，其值有专门的表可查(x)

是偶函数，其图形关于纵轴对称-xx对一般的正态分布：X~N(,2)其分布函数作变量代换例13

设X~N(1,4),求P(0X1.6)解查表可得Usage

dnorm(x,mean=0,sd=1,log=FALSE)pnorm(q,mean=0,sd=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)qnorm(p,mean=0,sd=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)rnorm(n,mean=0,sd=1)Arguments

x,q:vectorofquantiles.p:vectorofprobabilities.n:numberofobservations.If'length(n)>1',thelengthistakentobethenumberrequired.mean:vectorofmeans.sd:vectorofstandarddeviations.log,log.p:logical;ifTRUE,probabilitiesparegivenaslog(p).lower.tail:logical;ifTRUE(default),probabilitiesareP[X<=x],otherwise,P[X>x].输入以下命令：x=seq(-10,10,0.1);y=dnorm(x,1,2);z=pnorm(x,1,2);plot(x,z,type='l',col='Blue');lines(x,y,type='l',col='Red');result=pnorm(6,1,2)-pnorm(1,1,2)结果：Result=

0.4937903在R中输入以下命令：x=seq(-5,5,0.1);y=dnorm(x,-1,1);z=pnorm(x,-1,1);plot(x,z,type='l',col='Blue');lines(x,y,type='l',col='Red');result=pnorm(3,-1,1)-pnorm(-2,-1,1)结果：Result=0.841313§2.4随机变量函数的分布问题：已知随机变量X的概率特性——分布函数或密度函数（分布律）Y=g(X)求

随机因变量Y

的概率特性方法：将与Y

有关的事件转化成X

的事件§2.4设随机变量X

的分布律为由已知函数g(x)可求出随机变量Y的所有可能取值，则Y

的概率分布为离散型随机变量函数的分布已知随机变量

X

的密度函数f(x)(或分布函数)求Y=g(X)的密度函数或分布函数方法：（1）从分布函数出发（2）从密度函数出发

连续性随机变量函数的分布例

已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数,证明Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布.又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数,其反函数F-1

存在且严格递增.证明:设Y的分布函数是G(y),于是对y>1,G(y)=1;对y<0,G(y)=0;由于对0≤y≤1,G(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)=P(X≤(y))=F((y))=y即Y的分布函数是求导得Y的密度函数可见,Y服从[0，1]上的均匀分布.本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.即：已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数,若U服从[0,1]上的均匀分布，则Y=F-1(U)服从分布函数F(x)的随机变量.注意：连续型随机变量的函数的分布函数不一定是连续函数例如：X~U(0,2)令

Y=g(X)xy1FY(y)不是连续函数

对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时，关键的一步是把事件{g(X)≤y}转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用X

的分布来求P{g(X)≤y}.这一讲我们介绍了随机变量函数的分布.作业：要求：需给出程序、结果，存成word文档发送到52用户名：r

密码：123456茎叶图

(stem-and-leafdisplay)用于显示未分组的原始数据的分布由“茎”和“叶”两部分构成，其图形是由数字组成的以该组数据的高位数值作树茎，低位数字作树叶树叶上只保留一位数字对于n(20n300)个数据，茎叶图最大行数不超过

L=[10×lgn]

6.

茎叶图类似于横置的直方图，但又有区别直方图可观察一组数据的分布状况，但没有给出具体的数值茎叶图既能给出数据的分布状况，又能给出每一个原始数值，保留了原始数据的信息未分组数据—茎叶图

(例题分析)未分组数据—茎叶图

(扩展的茎