2021.1北京西城区高三期末数学卷答案

学年度第高三数学

本试卷共页，共150。考试时长120分。考生务必答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

（选择题

共40）一、选择题共小题，每小题分，共40分。在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1已知集合A{3}，0≤4}，

（A(0,3)

（B(

（C）(0,4]

（）(1,4]（2在复平面内，复数z所应的点的坐标为(1,，z（A2

（B

（C）

（）2i（3已知()为函数，其局部图象如图所示，那么（Af（Bf(2)（Cf(2)（）f(2)（4已知，，(3,)三共线，则的为（A4

（B

（C）

（）（5已知双曲线

xy的距等于实轴长的倍则其渐近线的方程为（Ay3

（B

（C）y

33

x

（）yx（6已知半径为的圆经过点(1,0)，其圆心到直线3y距离的最小值为（A

（B

（C）2

（）3北京市西城区—2021学年度第一学期期末试卷

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（7已知函数f(xsinxxab]，则“

≥

”是“f(x的值域为[”的（A充分而不必要条件（）充分必要条件

（B必要而充分条件（D）既不充分也不必要条件（8被誉为信息论之父的香农提出了一个著的公式Clog

N

)

其为大数据传输速率，单位为bit/；W为道带宽，单位为Hz；

N

为信噪比.

香农公式在5G技中发挥着举足轻重的作.当

N

，2000Hz，最大数据传输速率记为C

；当9999N

，时最大数据传输速率记为C，则

为（A

（B）

15（C）4

（）（9设函数fx)和()的义域为D，存在非零实数D，得f()()，称函数f(x)和(x)在D上有性质.现有三组函数：①f()，(x)

②f(x)

，()

③()

，g()

其中具有性质P是（A①②（B）①③（C②③（）①②③（10在棱长为1的正方体AB中，,分别为BD,B的中点，点在方体的表面上运动，且满足MP，则下列说法正确的是（A点可以是棱BB的点（B线段MP的大值为

32（）点的轨迹是正方形（）点轨迹的长度为5北京市西城区—2021学年度第一学期期末试卷

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第二部分

（非选择题共110分）二、填空题共小题，每小题5分，分。（11）x2)

的展开式中的数_______.（12数列{}是公差为的差数列，记{}的前和为，且aa成比数列，则______________.（13一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的长度为_（14抛线C:

的点为F点(1,4)作轴的垂线交抛物线C于点，且满足AFAM|则抛物线C的程为______；设直线AF交物线C另一点，则点的纵坐标（15炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味某商店统计了一冰激凌份前天每天的供应量和销售量，结果如下表：6

1日

6

日

6

月

3

日

6

日

6

月

5

日

6

月

6

日供应量销售量

9080

10090

9085

10080

9090

10085记t)为6月冰激凌的供应量，W(t)为6月日激凌的销售量，其中t

.用销售指数P(t)

Wt)t()(

((t

,(n1,)来价从6月t日开始连续n天的冰激凌的销售情.当n时(示t日日销售指数给出下列四个结论：①在6月1日6日天，P(4,1)最，最大；②在月1日日天，日销售指数越大，明该天冰激凌的销售量越大；③P；④如月7至12日激凌每天的供应量和销售量与6月日至6日天供应量和销售量对应相等，则对任意t{1,2,3,4,5,6,7}，有P(t,6)(1,12)其中所有正确结论的序号______.北京市西城区—2021学年度第一学期期末试卷

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三、解答题共小题，共85分。解应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16小分如图，在直三棱柱ABCBC中，AA，ABAC，BE交于E，的点.（Ⅰ）求证：BE平面ABC（Ⅱ）求二面角ABD的余弦.（17小题13分已知面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，：（Ⅰ）和的；（Ⅱ）

)

的值．条件①C

7；条件②:C,cos9

.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．（18小14）防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用北地区2010年2019年每年汛末10月日水库的蓄水量数据如下：年份

20102011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019蓄水量（亿立方米）

11.25

13.25

13.58

（Ⅰ）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这年蓄水量数据之差的绝对值小于1亿方米的概率；（Ⅱ）从年年的样本数据中随机选取两年的数据，设X为水量超过亿立方米的年份个数，求随机变量X的布列和数学期望；（Ⅲ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明）北京市西城区—2021学年度第一学期期末试卷

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（19小15分已知函数)x

.（Ⅰ）求曲线yf(x)在(1,f的切线方程；（Ⅱ）求函数f()的单调区和极值；（Ⅲ）设函数t(x)

fx)xx

，x(0,，判断t(x)的点数，并证明你的结.（20小15分已知椭圆:

x.42（Ⅰ）求椭圆C的心率和长轴长；（Ⅱ）已知直线ykx与圆有个不同的交点,，P为轴一点.是存在实数k，使得是以点P为角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的及点P的坐标；若不存在，说明理由.（21小分对于数列{}定义*

≥a,

设{*

}的n项为S

*

（Ⅰ）设a

，写出*，a*，*，*（Ⅱ）证明意nN*有S*

”的充要条件是“对任n*，|

|（Ⅲ）已知首项为，项数为≥的列{}满足①对任意1≤n≤且N

*

，有a

{1,0,1}；S

*

a求所有满足条件的数列{}个数.北京市西城区—2021学年度第一学期期末试卷

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2021学年度第一高三数学参考案一、选择题共小题，小题4分，共分）

2021.1（1）D（）A（3）C（5）A（）（7）B（9）B（10）二、填空题共题，每题分，共25分）（11

（4）C（8）D

（

n（132

（14）y

x，（15①④注：第12）和14题第一空分,第二空2分.第15）全部选对5分，不选或有错选得0分，其他得3.三、解答题共题，共85分）（1613分）解）因三棱柱

AB1

为直三棱柱所以

平面ABC，所以

AC

.

……………1分因为AC，

AB

AAA

，所以面

BB1

.

……………3分因为平面

AAB

，所以ACBE.

……………4分因为

BEAB，ACA1

，所以BE平面C

……………（Ⅱ）由（）知

AB,AC,AA

两两垂直，如图建立空直角坐标Axyz则(0

,

DB(2,0,0)

.……………设a

，所以

=(0AB,0,4)=()

，因为

ABBE

，所以4，即.

……………8分所以平面ABC的一个法向为

BE=(

．

……………9分，设平面的法向量为nx,z)北京市西城区—2021学年度第一学期期末试卷

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3030所以

0,0.

z0,所以即xz0.x.

……………分令则x2,，所以平面

的一个法向为

n

.

……………分所以cosBE,n

n30=nBE|5

.

……………分由已知，二角

为锐角，所以二面角

ABD

的余弦值为6

……………分（1713分）若择件解）在ABC

中，因为

13

，所以C12

23

.

……………分因为

sinC，a所以b

……………分由余弦定理

cos48，

……………分所以.

……………分（Ⅱ）由正定理

abAsinBsin

，可得

624sin2

.…………7分3所以A

6，B.3

……………分因为(0,)，所

35，.39

……………分所以sin(A)sincosAsinB

6364.3939

……………分若择件解）在ABC中，因为AC，所以因为

，所以B(,，B1cosB.9

………分北京市西城区—2021学年度第一学期期末试卷

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因为

1acc2，29所以a3.

……………4分由余弦定理

accos

，所以.

……………6分（Ⅱ）由正定理得

，sinsinB所以

a3b9

……………8分因为(0,)，所以cosAsin2

23

.

……………分所以sin(A)sincosAsinB12242)3327（1814分）

……………分解）设件A为“连两年的蓄量数据之差的绝对值小于亿立方从2010年到年的样本数据随机选取连续两年共有9种能，…2分由图表可知事件A“年和2012年年和年和年”.所以P(A)

39

.

……………分……………分（Ⅱ）由表知，2014到年的样数据中，蓄量超过33亿方米有年，水量不超过33亿方米有年随机变量X的所可能取值为0，，

……………分PX

C

C

2C，X1)

，P(X2)

C

.……………分所以随机变

的分布列为0北京市西城区—2021学年度第一学期期末试卷

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P

25

815

115……………9分所以X)

215153

.

……………分（Ⅲ）从年开始连续年的水库水量方差最大.（1915分）

……………分解）由f()

，f

．

……………1分因为f(1)，，

……………3分所以曲线fx

在点f

处的切线方为

…………4分（Ⅱ）令f

，得

，解得x

3或x．33当变时，f()和

变化情况如表：

(

33

)

33

(

3)3

33

(

33

ff()

↗

0239

↘

029

↗……………7分所以，f(x)

的单调递减间是(

333，单调递增间是()333

，(

33

；f()

332处取得极大，在处取极小值39……………9分（Ⅲ）x

,tx)即

2sin

，等价于x

2sinx

.

……………10分设

g()

,

(0,

，则x①北京市西城区—2021学年度第一学期期末试卷

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当,2第9页（共12）

时，

2222g

，(

在区间[,2

上单调递增又g()4

，

g(

，所以()

在区间[,2

上有一个零

……………分②

当

x)2

时,设h

h()2cos.，所

在区间(0,)上单调递增………分2又g

，

)，所以存在x)，得g2

x.所以，当x(0,

时，

，()

单调递减；当x,)时，g2

，()

单调递增.

……………13分又g(0)，g)4

，所以()

在区间)上无零.2

……………分综上所述，数t()（2015分）

在定义域内有一个零.

……………15分解）由意：a2b2，所以2.

……………1分因为a

，所以c

2，c

.

……………2分所以

a

.

……………3分2所以椭圆C离心率为，轴长为.……………分2（Ⅱ）联立

kx2,

消

整理得：

k

.

……………5分因为直线与圆交于B

两点，故，解

1＞2

……………6分北京市西城区—年度第一学期期末试卷

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第10（共12页

2***2***设(x,)11

，B,y)

，则x2

，xx2

4

.…………8分设中G(,y0

，x则x，，2故(

22k2k

)

……………9分假设存在和点P

，使得是以P为直角顶点等腰直角三角形，则AB，故PGAB2

，所以

22

，解得

，故(…………10分2kk又因为

2

，所以

.所以xy),y)12

，即xy.整理得(k)(x)218所以k2(2)2

，

……………分代入

2k

，整理得，k

……………分当，P点坐标为(,0)；当k时，点坐标为.此时，△PAB是以P为直顶点的等腰直角三角形.

……………15分（2115分）解）因

11315，，，，，2432根据题意可*

，*

a*

a*

……………4分（Ⅱ）必要：对n，有

S*

，因|S|a1

|

.

……5分对任意n*n≥，有

S

*

，S