模型试验基础(汽车试验学)

第4章模型试验基础模型试验概论相似现象相似理论基础相似准则的求解量纲分析法模型试验概述为什么要进行模型试验?理论研究：简化、抽象、数学模型试验研究：复杂、具体、物理模型实物：常规尺寸模型：大型工程结构（研发），微小结构土木工程：桥梁、隧道（风振，地震）水利工程：河流、

水坝（流体力学）航空航天：飞机、飞船（空气动力学）交通工具：汽车、火车（空气动力学）模型试验概述铁道车辆的模型试验小比例滚动试验台悬挂主动控制试验台模型试验概述模型试验如何反映原型的物理规律？相似理论相似准则模型试验概述模型试验的一般过程数学方程比例模型原型问题模型试验原型规律相似准则相似现象相似现象几何相似相似三角形L1L2L3L1ˊL2ˊL3ˊ相似现象相似现象同类现象不同的物理现象可用相同的数学公式描述二阶系统振荡方程相似现象相似现象同类现象不同的物理现象可用相同的数学公式描述黏性不可压缩流体稳定等温运动方程相似现象相似现象某一特定物理现象的描述数学方程单值条件：把一个现象从同类现象中区分出来的条件空间（几何）条件（管道直径，长度）介质的物理性质（液体密度、粘度）边界条件（进出口流速）初始条件(初始时刻条件，蝴蝶效应)相似现象相似现象物理现象相似同一类的物理现象描述物理现象(过程)的单值条件相同几何相似运动相似动力相似热相似质量相似…单值条件相似+同类现象现象相似一几何相似（空间相似）定义：两个几何体的所有对应线段的比值相等，所有对应角相等。引入尺度比例系数

进而，面积比例系数体积比例系数模型用下标m表示原型用下标p表示相似现象二运动相似（时间相似）

定义：指速度场（及加速度场）的几何相似。在对于瞬时各对应点速度（及加速度）的方向一致，且大小的比值相等。

由于因此运动相似建立在几何相似基础上，那么运动相似只需确定时间比例系数就可以了。运动相似也就被称之为时间相似。引入速度比例系数相似现象二运动相似（时间相似）

运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合形式。如：速度kv=klkt-1

加速度

ka=klkt-2

频率

k=kt-1相似现象三动力相似（受力相似）定义：力场的几何相似。它表现为：各对应点上的作用力的方向一致且大小的比值相等。引入力比例系数：也可写成：

相似现象三动力相似（受力相似）力学物理量的比例系数可以表示为密度、尺度、速度比例系数的不同组合形式，如：力矩M压强p功率N动力粘度相似现象相似理论基础相似第一定律举例MFVMˊFˊVˊ将相似变换式代入：

相似理论基础相似第一定律彼此相似的现象，其相似指标等于1。在相似现象中，各物理量的相似常数不能任意选择，而是相互制约的。这种相似常数的组合称为相似指标。阐明关系方程式中变量之间的约束关系。相似理论基础相似第一定律相似准则：相似现象中存在的一个数值相同的无因次的综合量彼此相似的现象必定具有数值相同的相似准则牛顿准则（也称牛顿数）当两个力学现象相似时，牛顿数的数值必然相同相似理论基础相似第一定律相似准则：相似现象中存在的一个数值相同的无因次的综合量黏性不可压缩流体的稳定等温运动雷诺准则：表示惯性力和粘性力之比，反映了流体流动中黏性力所起的影响程度有压流动（低速空气流动，<68m/s）傅鲁德准则：表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所起的影响程度重力流动(河流，水利）欧拉准则：表示压力和惯性力的比值，反映了流体流动中压力所起的影响程度。（Eu准则不是独立的。只要主要的相似准则（Re或Fr)得到满足，则该准则必定满足）相似理论基础相似第二定律（相似必要充分条件）凡同一类现象，当单值条件相似，而且由单值条件所包含的物理量所组成的相似准则相等，则这些现象就必定相似。单值条件相似+同名相似准则相同现象相似相似的充分必要条件。相似现象应遵守的条件：①

两相似现象一定能用一个方程组来描述。②

单值条件相似。几何条件（几何相似）物理条件：荷载介质的E、μ、R（强度）。运动条件：t、v边界条件初始条件

(3)由单值量组成的相似准则要相等。——充分必要条件 （而不是任意的相似准则要相等）。 单值量——是指单值条件下的物理量。而单值条件是将一个个别现象从同类现象中区分开来。 相似第一定理是从现象已经相似这一事实出发来考虑问题的，它说明是相似现象的性质。 设有二现象相似，它们都符合质点运动的微分方程V=，如图所示的两组相似曲线（实线）。

得到：

图中“1”

、“2”为两现象的对应点。 现在，设想通过第二现象的点1和点2，找出同类的另一现象——第三现象，图中虚线所示。 显然，第二、第三现象的曲线并不重合，故第三现象与第一现象并不相似，说明通过点1、点2的现象并不都是相似现象。 为了使通过点1、点2现象取得相似，必须从单值条件上加以限制。如在这种情况下，加入初始条件：t=0，v=0，L=0。 这样，既有初始条件的限制，又有单值量组成的相似准则值一致，两个现象便必相似。 由此看来，同样是值相等，相似第一定理未必能保证现象的相似，而从单值条件上对它进行补充，保证了现象的相似。相似理论基础相似第二定律（必要充分条件）举例：黏性不可压缩流体的稳定等温运动单值条件相似几何条件相似物理条件相似边界条件相似（入口及出口处）初始条件相似（稳态流动可忽略）由单值条件所包含的物理量所组成的相似准则相等雷诺数相等傅鲁德数相等相似理论基础第三相似理论（定理）：设一个物理现象如果含有n个物理量φ(x1、x2、、x3、…xn)=0，其中有m个为基本物理量（其量纲是相互独立的），那么这n个物理量可表示成是（n-m）个相似准则π1、π2、…πn-m

之间的函数关系：描述现象的关系方程式可以转变成相似准则之间的关系式（简称准则关系式）f(π1、π2、…πn-m)=0(1)举例：牛顿准则相似理论基础第三相似理论（定理）：定性准则：单值条件所包含的物理量所组成非定性准则：非单值条件所包含的物理量所组成非定性准则可以表达成定性准则的函数举例：流体稳定等温运动定性准则：Re,Fr非定性准则：EuEu=f(Re,Fr)

例1：有一轿车，高h=1.5m，在公路上行驶，设计时速v=108km/h，拟通过风洞中模型实验来确定此轿车在公路上以此速行驶时的空气阻力。已知该风洞系低速全尺寸风洞(kl=2/3)，并假定风洞试验段内气流温度与轿车在公路上行驶时的温度相同，试求：风洞实验时，风洞实验段内的气流速度应安排多大？

解：首先根据流动性质确定决定性相似准数，这里选取Re作为决定性相似准数，Rem=Rep，即kvkl=1，再根据决定型相似准数相等，确定几个比例系数的相互约束关系，这里k=1，所以kv=kl-1，由于kl=lm/lp=2/3，那么，kv=vm/vp=1/kl=3/2

最后得到风洞实验段内的气流速度应该是

vm=vpkv=108×3/2=162km/h=45m/s

相似理论基础

例2：在例1中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在风洞实验段中的风速为45m/s时，空气阻力为1000N，问：此轿车以108km/h的速度在公路上行驶时，所受的空气阻力有多大？

解：在设计模型时，定下

k=1kl=2/3kv=3/2

在相同的流体和相同的温度时，流体密度比例系数k=1，那么力比例系数

kF=kkl2kv2=1×(2/3)2×(3/2)2=1

因此，该轿车在公路上以108km/h的速度行驶所遇到的空气阻力

Fp=Fm/kF=1000/1=1000N

相似理论基础相似准则的求解方程分析法：根据关系方程式导出相似准则相似转换法类比积分法量纲分析法（因次分析法）：当事先无法求得描述现象的关系方程式时，可采用量纲分析法来推求相似准则相似准则的求解相似转换法写出关系方程式和全部单值条件写出相似倍数的表示式将相似倍数表示式代入关系方程式中进行相似转换，进而得出相似指标式将相似倍数表示式代入相似指标式，求得相似准则用同样的方法从单值条件方程式中求得相似准则 实例现在考察“弹簧—质量—阻尼”系统。 研究y的函数关系。 系统有7个变量： 变量：量纲 位移L

质量FL-1T2

阻尼系数FL-1T

弹簧刚度FL-1

初始速度v0LT-1

初始距离y0L

时间tT

显然，表中除位移y外，均为独立变量因此，如考虑基本量纲数为3，则独立相似准则为：（7-1）-3=3个。

①写出现象的基本微分方程。

质量的位移方程为：m(1)②写出全部单值条件，第一现象用“′”表示，第二现象用“″”表示，因此可得各参量的相似常数为：考虑物理条件相似时：

cm=,cu=,ck=考虑边界条件相似时：cy=,考虑起始条件相似时(此时t=0) cv0=,cy0=

(2)③将微分方程按不同现象写出：

m′

(3) m″ (4)④进行相似转换。将“″”参量用“′”参量代替，式（4）按（2）的关系代入得：

（5） 作相似变换时，为了保证基本微分方程的一致性，各项系数必须彼此相等，即：

故得两相似指标方程如下：

(6）

（7） 另一个相似指标方程要由分析起始条件建立，即当t=0时，，y=y0,

若这时考虑二现象，可得：，y′=y

,y″=y也进行相似转换，得：

cy=cy0

（8） ⑤将式（2）所表示的相似常数值代入（6）（7） （8）式，可得相似准则式为：

不变量=π1

不变量=π2

不变量=π3

此处，即为独立的相似准则。非独立相似准则为：y/y0，综合以上，可构成π关系式为，π方程式：

相似准则的求解类比积分法由于相似现象的关系式是完全相同的，因此关系方程中写出关系方程式和全部单值条件任意相对应的两项的比值也应该相等求解步骤写出关系方程式和全部单值条件用关系方程式中的任一项除其他各项所有导数用对应量的比值代替，沿各坐标轴的分量用基本量本身代替，坐标用定性尺寸代替。相似准则的求解类比积分法举例：黏性不可压缩流体的稳定等温运动现象系统的运动方程式（一个坐标方向）除以方程左边第一项后，关系方程中任意相对应的两项的比值也应该相等，方程右边第一项导数量用对应量的比值代替坐标分量导数用对应基本量代替相似准则的求解类比积分法举例：黏性不可压缩流体的稳定等温运动现象方程右边第二项方程右边后三项？导数量用对应量的比值代替坐标分量导数用对应基本量代替导数量用对应量的比值代替坐标分量导数用对应基本量代替量纲分析法

一量纲分析的基本概念量纲：物理量的单位种类称量纲，又称因次。如长度、宽度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、毫米等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），用[L]表示。基本量纲：具有独立性的量纲在流体力学领域中的三个基本量纲：长度量纲[L]，时间量纲[T},质量量纲[M]热力学基本量纲：温度[T]导出量纲：由基本量纲组合表示的量纲速度的量纲：[v]=[LT-1]加速度的量纲：[a]=[LT-2]力的量纲：[F]=[ma]=[MLT-2]任何力学物理量A的量纲可写成：[A]=[M][L][T]量纲分析法导出量纲导出量质量系统中量纲导出量质量系统中量纲面积[A]=[L2]功[W]=[L2MT-2]体积[V]=[L3]功率[P]=[L2MT-3]速度[v]=[LT-1]应变[ε]=[1]加速度[a]=[LT-2]弹性模量[E]=[L-1MT-2]力[F]=[LMT-2]动力黏度[η]=[L-1MT-1]压力[G]=[L-1MT-2]密度[ρ]=[L]力矩[M]=[L2MT-2]基本量，导出量一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本量）和其他物理量（导出量），后者可由前者通过某种关系倒出，前者互为独立的物理量。基本量个数取基本量纲个数，所取定的基本量必须包括三个基本量纲在内，这就是选取基本量的原则。如、v、l可以构成一组基本量，包含了L、M、T这三个基本量纲，而a、v、l就不能构成基本量，因为不包含基本量纲M。无量纲量指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量，如前面讲过的相似准数量纲分析法二量纲和谐性原理量纲和谐性原理又被称为量纲一致性原理，也叫量纲齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程中每项的量纲应该是和谐的、一致的、齐次的。一个正确的物理方程，式中的每项的量纲应该一样。以能量方程(伯努利原理)为例

方程左边各项的量纲从左到右依次为:量纲分析法量纲分析法由量纲求相似准则例1：求质点系统作动力相似运动现象的相似准则质点系统作动力现象的参量力（F）、质量（m）、速度（v）和时间（t）相似准则是这些参量的幂函数Π因次公式X1，x2，x3，x4待定系数量纲分析法由量纲求相似准则相似准则是一个无因次的量，所以有求解方程上述3个方程式有4个未知数，由线性代数知，有一组基础解系。令其中一个未知数为某值后再求解，得到令x1=1，则x2=x3=x4=-1代入Π因次公式，得量纲分析法由量纲求相似准则例2：求黏性不可压缩流体的稳定等温相似运动的相似准则表征上述运动现象的参量流速（v）、管道性尺寸（l）、压力（p）、介质密度（ρ）、介质的动力黏度（η）和重力加速度（g）相似准则是这些参量的幂函数Π因次公式量纲分析法由量纲求相似准则相似准则是一个无因次的量，所以有求解方程3个方程求解6个未知数，由线性代数知，有3组基础解系。可令其中3个未知数为某值后再求其独立解系。令x1=x2＝0，x3=1，则x4=2，x5=1，x6=0代入Π因次公式，量纲分析法由量纲求相似准则求解方程令x2=x3＝0，x1=1，则x4=－2，x5=0，x6=－1代入Π因次公式，得令x1=x3＝0，x2=－1，则x4=x5=0，x6=1入Π因次公式，得量纲分析法求现象的相似准则完整集合的方法列出相似准则的参数列出Π因次公式列出参数的指数关系式（n个未知数的齐次方程式）列出参量的指数关系式的因次矩阵，并计算其秩r计算独立的相似准则的数目m=n-r根据参量的指数关系式，求参量的指数值由线性代数理论求解n-r个基础解系根据解矩阵列出相似准则完整集合，解矩阵的每一行就是组成相似准则的参量的一组指数量纲分析法由量纲求相似准则定理（Buckingham定理）

对于某个物理现象或过程，如果存在有n个变量互为函数关系，

f(a1,a2,…an)=0而这些变量含有m个基本量纲，可把这n个变量转换成为有n-m个无量纲量的函数关系式（相似准则）

F(1,2,…n-m)=0这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程中的变量数减少了m个，更为概括集中表示物理过程或物理现象的内在关系。定理应用举例

例：经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度、管内流体密度、流体的动力粘度，以及断面平均流速v有关。试用推出压降p的表达形式。

解：所求解问题的原隐函数关系式为

f(p,d,l,,,,v)=0

有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式

F(1,2,3,4)=0

从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示.量纲分析法定理应用举例 1=l·1v1d1 2=·2v2d2 3=·3v3d3 4=p·4v4d4将上述表达式写成量纲形式 [1]=L·(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T0

（1）

[2]=L·(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0（2）

[3]=ML-1·T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0（3）

[4]=ML-1·T-2(ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0（4）

量纲分析法定理应用举例

求解方程（1）

M:1=0T:1=0L:-31+1+1+1=0→1=-1

所以

1=l/d

求解方程（2） M:2=0T:2=0L:-32+2+2=0→2=-1

所以

2=/d量纲分析法求解方程（3） M:1+3=0→3=-1T:-1-3=0→3=-1L:-1-33+3+3=0→3=-1

所以3=/vd=1/Re求解方程（4）

M:1+4=0→4=-1T:-2-4=0→4=-2L:-1-34+4+4=0→4=0

所以

4=p/v2因此，所解问题用无量纲数表示的方程为

F(l/d,/d,1/Re,p/v2)=0量纲分析法

从该例题看出，利用定理，可以在仅知与物理过程有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的基本结构形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还带有待定的系数，这个系数要通过实验来确定。而量纲分析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。因此，量纲分析法是流体力学实验的理论基础。量纲分析法不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流动，分析压强降低与相关物理量的关系。

粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤

解：1．列举物理量。Δp，V，d，ε，ρ，μ，l，共7个2．选择基本量：ρ、V、d

3．列П表达式求解П数①П1=ρaVbd

cΔp

M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bL

c(ML–1T

–2)解得：

a=-1,b=-2,c=0（欧