空间曲线及投影二次曲面

一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程*三、空间曲线在坐标面上的投影第三节空间曲线及其在坐标面上的投影一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线

C.C又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.二、空间曲线的参数方程*将曲线C上的动点坐标

x,y,z表示成参数

t

的函数:称它为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度,称为螺距

.例*.将下列曲线化为参数方程表示:解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为消去

z

得投影柱面则C在xOy

面上的投影曲线C´为消去x得C在yOz

面上的投影曲线方程消去y得C在zOx

面上的投影曲线方程例3.曲线在xOy

面上的投影曲线方程为解先消去z,得在xoy和yoz

面上的投影.例3.曲线在yoz

面上的投影是直线的一段解求在yoz面的投影应该是消去x,恰好y+z=0中不含x,所以y+z=0即为所求，在yoz面上其是一条直线.例4.曲线在xOy

面上的投影曲线方程为解消去z,得在xoy面上的投影区域.曲线在xOy

面上的投影曲线区域为例5.在xOy

面上的投影曲线方程为例6.所围的立体在xOy

面上的投影区域.求上半球面和锥面在xOy

面上的投影曲线二者交线解xOy

面上的投影曲线所围区域

(2)(1)

1.请欣赏下列曲线在第一卦限内的图形(3)备用题求曲线绕z

轴旋转的曲面的交线在

xOy

平面的投影曲线方程.解：旋转曲面方程为交线为此曲线向xOy

面的投影柱面方程为

此曲线在xOy

面上的投影曲线方程为,它与所给平面的与平面266页1.习题7-3266页2(1).在xOy

面上的投影曲线在yOz

面上的投影曲线在zOx

面上的投影曲线2(2).在xOy

面上的投影曲线在yOz

面上的投影曲线在zOx

面上的投影曲线267页3.双曲柱面267页4(1).在xOy

面上的投影区域在yOz

面上的投影区域在zOx

面上的投影区域（为两条抛物线围成的区域）4(2).在xOy

面上的投影区域在yOz

面上的投影区域第四节二次曲面上一节我们得到圆锥面的方程那么，以下方程表示什么样的曲面呢？复习二次曲面的定义：在三维坐标（x、y、z）下三元二次代数方程对应的所有图形的统称。1.椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x

或y方向的伸缩变换得到)2.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面和的交线也是椭圆.椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆绕轴旋转而成．旋转椭球面与椭球面的区别：方程可写为与平面的交线为圆.球面截面上圆的方程方程可写为3.双曲面单叶双曲面椭圆.时,截痕为平面

上的截痕情况:双曲线:(实轴平行于x

轴；虚轴平行于z轴）虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z

轴;相交直线:双曲线:

双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面xyo4.抛物面(1)椭圆抛物面特别,当a=b时为绕

z轴的旋转抛物面.(2)双曲抛物面（鞍形曲面）xyzo第七章向量代数与空间解析几何第五节向量及其线性运算表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量.零向量:模为0的向量,有向线段M1

M2,或a,规定:零向量与任何向量平行

;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线

.记作－a;向量a与b的夹角向量a与b的夹角.向量a与b的起点重合后,它们所在的射线之间的夹角称为向量a与b的夹角通常把记为二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.2.向量的减法三角不等式3.向量与数的乘法是一个数,规定:可见与a

的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此定理1.

设

a

为非零向量,则(为唯一实数)a∥b例1.

设M

为解:ABCD对角线的交点,三、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:四、向量的坐标表示,向量的模、方向角在空间直角坐标系下,向量用表示,在轴,轴,轴上的投影为以为起点,为终点的有向线段有序数组即的长度是模任意向量可用坐标表示为:轴上的投影.称为向量的坐标(或分量),也叫做向量在坐标与轴,轴,轴的正向的夹角方向角向量的单位向量:例2.

已知两点和解:求例3.

已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量例4.

设点A

位于第一卦限,解:

已知角依次为求点A

的坐标.则因点A

在第一卦限,故于是故点A

的坐标为向径OA

与x

轴y轴的夹五、向量的分向量表示式分别是的基本单位向量,轴,轴,轴就是该向量的坐标.的分向量,