向量的数量积

向量的数量积本讲重点：向量的数量积公式，数量积的坐标运算本讲难点：数量积公式及其变形与运用向量的数量积问题θsF

一个物体在力F的作用下产生的位移s，且F与s的夹角为θ,那么力F所做的功应当怎样计算？其中力F

和位移s是向量，是F

与s

的夹角，而功是数量.数量叫做力F

与位移s的数量积

向量的夹角的定义思考：在如图等边三角形中所标三个向量的夹角分别是多大？注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的平面向量的数量积的定义

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量

叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

，即规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．

（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定

（3）

a·b不能写成a×b

，a×b

表示向量的另一种运算．（2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．例题讲解例1．已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角，求a·b.解：a·b=|a||b|cosθ

物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功．θsF，过点B作垂直于直线OA，垂足为，则|b|cosθOABabOABab|b|cosθ叫向量b

在a

方向上的投影．θ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0BOAab讨论总结性质：（1）e·a=a·e=|a|cos

（2）a⊥ba·b=0

(判断两向量垂直的依据)

（3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|，当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|

．特别地（4）（5）a·b≤|a|·|b|向量数量积满足的运算律向量模的计算例3：已知（a–b）⊥（a+3b），求证：

|a+b|=2|b|解：∵（a–b）⊥（a+3b）

∴（a–b）·（a+3b）=0

即a·a+3a·b–b·a–3b·b=0

即a·a+2a·b–3b·b=0

∴(a+b)2=4b2

即

|a+b|2=4|b|2∴|a+b|

=2|b|例4、已知a、b都是非零向量，且a+3b

与7a–5b

垂直，a–4b

与7a–2b垂直，求a与b的夹角。

解：∵（a+3b

）⊥（7a–

5b）（a–

4b

）⊥（7a–

2b

）

∴（a+3b

）·（7a–5b）

=0且（a–

4b

）·

（7a–

2b

）=0

即7a·a+

16a·b–15b·b=0

7a·a-30a·b+8b·b=0

两式相减得：2a·b=b2，

代入其中任一式中得:a2=b2cosθ=（思考题）求证：直径所对圆周角为直角证明：设AC是圆O的一条直径，∠ABC为圆周角，如图CB0Ab∴∠ABC=900

即直径所对圆周角为直角a设AO=a，OB=b，则AB=a+b，OC=a，则BC=OC-OB=a-b∵|a|=|b|∴AB·BC=（a+b）·（a-b）

=a2-b2=|a|2-|b|2=0∴AB⊥BC例4：已知a＝(5,0)，b＝(–3.2,2.4),

求证：(a＋b)⊥b

.证明：

∵(a＋b)·b

＝a·b＋b2

＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42

＝0，∴(a＋b)⊥b.例6：已知：A、B、C三点坐标分别为(2，0)、(4，2)、(0，4)，直线l过A、B两点，求点C到l的距离.HOABCxyl分析一：如图，