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第三章导数的应用（续）二、函数的极值一、函数的单调性四、曲线的凹凸与拐点三、函数的最值五、曲线的渐近线定理一、函数的单调性1、单调性的判别法2、单调区间的求法导数为零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:（1）

求连续函数f(x)的定义域例1.

求函数的单调区间.解:令得列表讨论3、利用单调性证明不等式例2证明例3分析证明证法二4、利用单调性结合零点定理可以研究方程根（函数的零点）的个数及范围方法

(1)先求出f(x)的单调区间。(2)判别每个单调区间的端点的函数值（或极限）的符号。(3)根据零点定理：若两端点的值一正一负，则在此区间内有唯一实根，其余则无实根。解注：零点定理的推广二、函数的极值及其求法1

函数的极值的定义定义:在其中当(1)则称为的极大值点

,称为函数的极大值

;(2)则称为的极小值点

,称为函数的极小值

.极大值点与极小值点统称为极值点

.注：极值是一局部概念，而最大最小是整体概念。定理1(必要条件)定义注意:例如,2

函数的极值的必要条件但x=0处导数不存在。(2)极值点也不一定是驻点.(3)可能极值点：驻点，导数不存在点。3

函数的极值的第一充分条件定理2(第一充分条件)4求极值的步骤:例1.

求函数的极值.解:令得驻点列表讨论是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为定理3(第二充分条件)例2解例3解三、

函数的最大最小值1

函数的最值的求法则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)

最大值最小值特别:

当在内只有一个极值可疑点时,

当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)(小)例12应用举例解计算比较得例3

作一个上下都有底的圆柱形铁桶，容积为V0（常数），问底半径r=？时表面积最小。解：V0=πr2h

，目标函数由问题的实际意义知S(r)的最小值一定存在，而在(0，+∞)内有唯一驻点，

注：利用最值可以证明不等式四、曲线的凹凸与拐点

1．

曲线凹凸的概念问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方定义

2．

判定方法定理1例1解注意到,定义：连续曲线凹凸的分界点称为曲线拐点。3曲线的拐点凹凸性及其求法设f(x)在[a，b]内连续，(或求出连续区间）(2)求在(a,b)二阶导数为0的点和二阶导数不存在的点(3)在（2）中解出的每一个点x0把定义区间分成几部分例2解凹的凸的凹的拐点拐点五、曲线的渐近线1.铅直渐近线定义:例如有铅直渐近线两条:2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:3.斜渐近线斜渐近线求法:例1解总结1、求函数的单

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