第8章 参数估计2012修改(统计学PPT)

第8章参数估计PowerPoint统计学2/5/20231第8章参数估计一、参数估计概述二、参数估计的基本方法三、总体参数的区间估计四、样本容量的确定五、Excel在参数估计中的应用2/5/20232本章学习目标1.了解参数估计的概念与特点。2.掌握参数估计的方法。3.重点掌握总体均值及总体比例的区间估计方法。4.掌握样本容量的确定方法。2/5/20233一、参数估计概述（一）参数估计的意义（二）抽样误差的测定2/5/20234（一）参数估计的意义也叫抽样估计，就是根据样本统计量去估计总体参数。

参数估计估计量：用于估计总体参数的随机变量。如样本均值，样本比例、样本方差等例如:样本均值就是总体均值的一个估计量估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体数值。即估计量的具体数值。如果样本均值x

=80，则估计量样本均值的估计值为80。2/5/20235总体样本样本均值统计量参数是唯一的，但估计量（统计量）是随机变量，取值是不确定的。同一个参数可以有多个不同的估计值。

参数2/5/20236特点1、以随机抽样为前提2、以概率估计推断总体参数3、存在抽样误差，但可以计算和控制2/5/20237作用1、用于不可能或不必要进行全面调查的总体数量特征的估计

2、用于全面调查资料的评价和验证

3、用于生产过程的质量控制2/5/20238（二）抽样误差的测定

是指样本统计量与总体参数之差。主要包括样本均值与总体均值之间的抽样误差，样本比例与总体比例之间的抽样误差。抽样误差抽样误差实际抽样误差——无法一一计算抽样平均误差——可以计算

抽样极限误差——可以控制2/5/20239实际抽样误差样本估计值与总体参数真实值之间的离差称为实际抽样误差。由于在实践中总体参数的真实值是未知的，因此实际抽样误差是不可知的。由于样本估计值随样本而变化，因此实际抽样误差是一个随机变量。2/5/202310抽样平均误差样本均值的标准差，又称抽样标准误差，简称标准误。用来反映样本均值（或比例）与总体均值（比例）的平均差异程度。

抽样平均误差可衡量样本对总体的代表性大小根据定义公式无法计算抽样平均误差2/5/202311抽样方法样本均值的抽样平均误差样本比例的抽样平均误差重置抽样不重置抽样数理统计证明，随机抽样的抽样平均误差可以使用以下公式计算。由上面的公式可知影响抽样误差的因素包括：总体标志值的差异程度；样本容量的大小；抽样方法以及抽样的组织形式。2/5/202312应用上述公式，需要注意以下二点：1、当N很大时，。若

一般可忽略有限总体的修正系数2、由于总体方差通常是未知的，一般可用样本方差代替。如果样本方差未知，可用用过去同类现象的全面调查或抽样调查的历史方差资料或实验性调查估计方差替代。若可用的方差资料有多个，应选择方差值最大的。2/5/202313【例】企业生产某产品1000袋，为检验其包装重量情况，检验员甲按简单随机重复抽样方法，抽取200袋，检验乙按不重复抽样方法抽取100袋,样本标准差均为2克，试求两种不同抽样方法下平均包装重量的抽样平均误差。解：1）重复抽样时抽样平均误差2）不重复抽样时抽样平均误差2/5/202314【例】机械厂生产一批零件100000件，现抽取300件进行检验，发现有9件不合格，试求合格率的抽样平均误差。解：1）重复抽样下合格率的抽样平均误差2）不重复抽样下合格率的抽样平均误差2/5/202315抽样极限误差抽样极限误差，也称抽样允许误差、抽样边际误差。它是指在一定概率下，样本统计量偏离总体参数的最大可能范围。通常用“△”表示。最大允许误差是人为确定的，是调查者在相应的置信度下可以容忍的误差水平。抽样的极限误差通常需要以抽样的平均误差为标准单位来衡量，并且把抽样极限误差除以抽样平均误差所得的数值叫做概率度，以测量估计的可靠程度。2/5/202316若以z表示概率度，则有：

或

常用的概率度与概率对照表概率度z11.651.9622.583置信概率φ(z)0.68270.90000.95000.95450.990.99732/5/202317二、参数估计的基本方法估计方法点估计区间估计2/5/202318点估计以样本估计量的实际值直接作为相应总体参数的估计值。简单，具体明确优点缺点无法控制误差，仅适用于对推断的准确程度与可靠程度要求不高的情况（一）点估计2/5/202319的抽样分布点估计的最大好处：给出确定的值点估计的最大问题：无法控制误差2/5/202320点估计的评价标准点估计的评价标准无偏性有效性一致性2/5/202321无偏性：样本估计量的数学期望应等于被估计总体未知参数的真值。P(

)BA无偏有偏无偏性2/5/202322学生ＡＢＣＤ成绩60708090均值＝75方差２＝125从中按重复抽样方式抽取２人，计算样本的均值及方差S２

。方差的抽样分布A60B70C80D90A60606060006070652550608070100200609075225450B707060652550707070007080752550709080100200C808060701002008070752550808080008090852550D909060752254509070801002009080852550909090002/5/202323有偏无偏2/5/202324有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效。AB的抽样分布的抽样分布P(

)有效性2/5/202325学生ＡＢＣＤＥＦＧ成绩30405060708090按随机原则抽选出４名学生，并计算平均分数和中位分数。样本均值4547.55052.55557.560出现次数1123445样本均值62.56567.57072.575出现次数443211样本中位数45505560657075出现次数

43858342/5/202326中位数的抽样分布平均数的抽样分布2/5/202327一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P(

)一致性2/5/202328为的无偏、有效、一致估计量；为的无偏、有效、一致估计量；为的无偏、有效、一致估计量。结论：2/5/202329根据样本估计量以一定的可靠程度推断总体参数所在的区间范围。在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限（二）区间估计区间估计2/5/2023302/5/202331置信区间由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。该区间的两个端点，分别称为置信区间的置信下限和置信上限。统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间。用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值。我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个2/5/202332置信区间(95%的置信区间)重复构造出的20个置信区间点估计值2/5/202333将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平表示为(1-为是总体参数未在区间内的比例常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10置信水平

2/5/202334区间估计优良性评价的基本要求

均值的抽样分布(1-)区间包含了

的区间未包含1-aa/2a/21.置信度高2.精确度高在保证置信度的前提下，尽可能提高精确度。

2/5/202335区间估计的一般步骤

抽取样本，计算估计值计算抽样平均误差根据所要求的置信水平与样本统计量的分布形式，计算极限误差对总体参数作出区间推断

2/5/202336三、总体参数的区间估计

（一）总体均值的区间估计（二）总体比例的区间估计2/5/202337（一）总体均值的区间估计

(以样本均值服从正态分布为例）95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65x2/5/202338总体方差已知时总体均值的估计1. 假定条件总体服从正态分布如果是非正态分布，但n

30样本均值服从正态分布，如重复抽样条件下，总体均值在1-置信水平下的置信区间为抽样极限误差样本均值的标准误差2/5/202339【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.32/5/202340解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。

即：该食品平均重量的置信区间在101.44—109.28克之间。2/5/202341【例】某企业生产的灯泡，根据其积累的历史资料，灯泡使用寿命的方差为625小时2。该企业某一天生产灯泡18000只，从中以简单随机抽样方式抽取60只检测，其平均寿命为2000小时。试以95%的置信度估计该天生产的全部灯泡的平均寿命范围。

分析：在总体方差已知的情况下，虽然不知道灯泡寿命是否服从正态分布，但由于抽取的样本容量为60，是一个大样本，根据中心极限定理，样本均值近似服从正态分布，即

2/5/202342解：即可以用95%的概率保证该天生产灯泡的平均寿命介于1993.685～2006.315小时之间。2/5/202343总体方差未知时总体均值的估计1. 假定条件总体服从正态分布如果是非正态分布，但n

30样本均值服从t分布，如：重复抽样条件下，总体均值在1-置信水平下的置信区间为抽样极限误差样本均值的标准误差2/5/202344【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据15101520148015001450148015101520148014901530151014601460147014702/5/202345解：已知Ｘ服从N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131。根据样本数据计算得：

总体均值在1-置信水平下的置信区间为即：该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时2/5/202346【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据2335392736443642464331334253455447243428393644403949383448503439454845322/5/202347解：已知n=36,1-=90%，t/2=1.69。根据样本数据计算得：

总体均值在1-置信水平下的置信区间为即：投保人平均年龄的置信区间为37.31岁~41.69岁注意：当样本容量足够大、总体方差未知而用样本方差代替时，由样本均值所构造的t统计量非常接近标准正态分布的z统计量，即临界值也可以通过查标准正态分布表得到其近似值。2/5/202348思考：某工厂有1500个工人，用重复抽样的方法抽取50个工人作为样本，调查其工资水平如下表：要求：（1）计算样本的平均工资和标准差。（2）以95.45%的保证概率估计该工厂平均工资和工资总额的区间。工资水平（元）11241134114011501160118012001260工人数（人）4691086432/5/202349总体均值区间估计小结总体分布样本容量正态总体大样本小样本非正态总体大样本小样本——2/5/202350（二）总体比例的区间估计假定条件总体服从二项分布是非标志的总体方差已知样本容量n＞30，而且和都大于5

样本比例可以由正态分布来近似总体比例在1-置信水平下的置信区间为2/5/202351但在实际工作中，往往是未知的，需要用样本比例来代替。在置信度下，总体比例的置信区间为：2/5/202352【例】某高校有教职工1000人，按随机原则以不重复抽样方式抽取201名教职工进行调查，其中表示支持某候选人的有110人，试以95%的置信标准估计该候选人的全校支持率。解：已知N=1000,n=201，

p＝110/201=54.73%,1-=95%查表得z/2=1.96即：以95%的置信度估计该候选人的全校支持率介于48.21%～60.53%之间。2/5/202353【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96即：该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%-74.35%2/5/2023541995.4.10《今日美国》对369名有工作的父母的一项调查表明，他们当中有200名承认由于工作有约而使得与其子女相处时间过少。A.求总体中由于工作有约而使得与其子女相处时间过少父母所占的比率的点估计。B.当置信水平为95％时，边际误差为多大？C.求总体中由于工作有约而使得与其子女相处时间过少父母所占比率的95％置信区间估计。2/5/202355样本容量调查误差调查费用小样本容量节省费用但调查误差大大样本容量调查精度高但费用较大找出在规定误差范围内的最小样本容量找出在限定费用范围内的最大样本容量确定样本容量的必要性四、样本容量的确定

2/5/202356总体方差；置信度（概率保证程度）；估计的精度，即允许误差（边际误差）的大小；抽样方法；抽样的组织方式。调查费用影响样本容量的因素

2/5/202357确定方法1.重复抽样条件下：通常的做法是先确定置信水平，查找相应的临界值z,然后限定边际误差。

①2未知时，一般采用过去的经验数据；②如果经验数据未知，则应考虑s2代替2来计算。但s2通常也是个未知数，解决方法有：第一，利用历史的样本资料进行计算；第二，利用同类型的调查资料计算求得；第三，组织试验性调查取得数据；第四，若有多个不同的值，则取其最大值。计算结果通常向上进位估计总体均值时样本容量的确定

2/5/2023582.不重复抽样条件下：确定方法2/5/202359【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本容量？2/5/202360解:

已知=2000，

=400,1-=95%，z/2=1.96即应抽取97人作为样本2/5/202361【例】某食品厂要检验本月生产的10000袋某产品的重量，根据上月资料，这种产品每袋重量的标准差为25克。要求在95.45﹪的概率保证程度下，平均每袋重量的误差范围不超过5克，应抽查多少袋产品？2/5/202362【例】某药厂为了检查瓶装药品数量，从成品库随机抽检100瓶，结果平均每瓶101.5片，标准差为3片。是以99.73%的把握程度推断成品库该种药平均每瓶数量的置信区间，如果允许误差减少到原来1／2，其他条件不变，问需要抽取多少瓶？2/5/202363确定方法1.重复抽样条件下：通常的做法是先确定置信水平，然后限定边际误差（一般少于0.1）。计算结果通常向上进位通常未知。一般按以下方法确定其估计值：①过去的经验数据；②试验调查样本的；③取方差的最大值0.25,即π=0.5估计总体比例时样本容量的确定

2/5/2023642.不重复抽样条件下：确定方法2/5/202365【例】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求边际误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？解:已知=90%，=0.05，Z/2=1.96，

=5%

应抽取139个产品作为样本2/5/202366【例】某企业对一批总数为5000件的产品进行质量检查，过去几次同类调查所得的产品合格率为93﹪、95﹪、96﹪，为了使合格率的允许误差不超过3﹪，在99.73﹪的概率保证程度下，应抽查多少件产品？分析：因为共有三个过去的合格率的资料，为保证推断的准确程度，应选其中方差最大者，即π=93﹪。2/5/202367解:2/5/202368四、EXCEL在参数估计中应用（一）EXCEL中与参数估计有关的常用函数（二）案例分