2017-2018版高中数学第二章概率6正态分布学案2-3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE15学必求其心得，业必贵于专精PAGE6正态分布学习目标1。利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ］，（μ－2σ,μ＋2σ］，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3。会用正态分布去解决实际问题．知识点正态分布1．正态分布正态分布的分布密度函数为:f(x)＝eq\f（1，σ\r(2π）)·expeq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(－\f(x－μ2，2σ2）)）,x∈（－∞，＋∞)，其中exp{g（x）}＝eg(x），μ表示________，σ2（σ>0)表示________．通常用X~N（μ，σ2）表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．2．正态分布密度函数满足以下性质（1)函数图像关于直线________对称．(2）σ(σ〉0)的大小决定函数图像的__________．（3）随机变量在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ－σ<X<μ＋σ)＝________。②P(μ－2σ〈X<μ＋2σ）＝________.③P（μ－3σ〈X〈μ＋3σ)＝________.通常服从于正态分布N（μ，σ2)的随机变量X在区间（μ－3σ，μ＋3σ）外取值的概率只有________．类型一正态曲线的图像的应用例1如图所示是一个正态分布，试根据该图像写出正态分布的分布密度函数的解析式，求出随机变量总体均值和方差．反思与感悟利用图像求正态分布的分布密度函数的解析式，应抓住图像的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为eq\f（1，\r（2π)σ).这两点确定以后，相应参数μ,σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式．跟踪训练1设两个正态分布N（μ1,σeq\o\al（2,1))（σ1>0)和N（μ2，σeq\o\al(2，2)）(σ2〉0）的分布密度函数图像如图所示,则有（)A．μ1〈μ2,σ1〈σ2B．μ1〈μ2,σ1>σ2C．μ1〉μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2类型二利用正态分布的对称性求概率例2设X~N(1，22），试求：（1）P（－1<X〈3）；(2)P（3<X〈5)；（3）P(X>5）．引申探究本例条件不变，若P（X〉c＋1）＝P(X〈c－1)，求c的值．反思与感悟利用正态分布求概率的两个方法（1）由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故在关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：①P(X<a)＝1－P（X〉a);②P(X〈μ－a)＝P（X>μ＋a)．(2）利用X落在区间（μ－σ,μ＋σ），(μ－2σ，μ＋2σ），(μ－3σ,μ＋3σ)内的概率分别是0.683，0。954，0.997求解．跟踪训练2(1）已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2),且P（ξ〈4）＝0.8，则P(0<ξ〈2）等于（)A．0.6 B．0。4C．0。3 D．0.2（2）设X～N（6,1)，求P（4〈X〈5）．类型三正态分布的应用例3设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N（110,202)，已知试卷满分150分,这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格（即90分以上)的人数和130分以上的人数．反思与感悟解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ）,(μ－2σ，μ＋2σ），(μ－3σ，μ＋3σ）三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．跟踪训练3有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm）服从正态分布N(20,4）．若这批零件共有5000个，试求：（1)这批零件中尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比；（2)若规定尺寸在24～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？1．某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的分布密度曲线如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），下列说法中正确的是(）A．甲科总体的方差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的方差及平均数都居中D．甲、乙、丙总体的平均数不相同2．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2），且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为eq\f（1，2),则μ等于(）A．1 B．2C．4 D．不能确定3．已知服从正态分布N（μ，σ2)的随机变量在区间（μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ）和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3％,95。4％和99。7%。若某校高一年级1000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N（90，152），则此次考试成绩在区间（60，120）内的学生大约有（)A．997人 B．972人C．954人 D．683人4．设X~Neq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－2，\f(1，4))），则X落在（－3.5，－0。5)内的概率是（）A．95。4% B．99。7％C．4.6% D．0。3%5．设随机变量X~N（0，1），求P(X〈0)，P(－2〈X<2）．1．理解正态分布的概念和分布密度曲线的性质．2．正态总体在某个区间内取值的概率求法（1)熟记P(μ－σ<X〈μ＋σ)，P（μ－2σ<X<μ＋2σ)，P(μ－3σ<X〈μ＋3σ）的值．(2)充分利用分布密度曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点．①分布密度曲线关于直线x＝μ对称,从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P（X〈a）＝1－P（X>a），P（X〈μ－a)＝P(X>μ＋a),若b〈μ，则P(X<μ－b）＝eq\f(1－Pμ－b〈X〈μ＋b，2）。

答案精析知识梳理知识点1．均值方差2．（1）x＝μ(2）“胖”“瘦"（3）①68.3％②95.4％③99。7%0.3％题型探究例1解从给出的分布密度曲线可知它关于直线x＝20对称，最大值是eq\f（1,2\r（π))，所以μ＝20。由eq\f（1,\r（2π)σ）＝eq\f(1,2\r（π))，解得σ＝eq\r（2).于是该正态分布的分布密度函数的解析式是f（x）＝eq\f（1，2\r(π)）,x∈（－∞,＋∞），随机变量总体的均值是μ＝20,方差是σ2＝(eq\r(2)）2＝2。跟踪训练1A［分布密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续曲线．当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭．故选A。]例2解因为X～N(1,22），所以μ＝1，σ＝2.(1）P(－1〈X〈3)＝P（1－2<X<1＋2)＝P（μ－σ<X〈μ＋σ)＝0。683。(2）因为P（3<X<5）＝P(－3<X〈－1),所以P（3〈X<5）＝eq\f（1，2)[P(－3<X〈5)－P（－1〈X〈3）］＝eq\f（1，2）[P（1－4〈X〈1＋4)－P(1－2〈X〈1＋2）]＝eq\f（1,2)［P（μ－2σ〈X<μ＋2σ）－P(μ－σ〈X〈μ＋σ）］＝eq\f（1，2)×(0.954－0。683）≈0.136。(3）P（X>5）＝P（X<－3)＝eq\f(1,2）［1－P(－3<X<5)］＝eq\f(1,2）[1－P(1－4<X<1＋4）］＝0。023。引申探究解因为X服从正态分布N(1,22），所以对应的分布密度曲线关于x＝1对称．又P（X>c＋1）＝P(X〈c－1)，因此eq\f(c＋1＋c－1，2）＝1,即c＝1.跟踪训练2(1)C(2)解由已知得μ＝6，σ＝1.∵P(5<X<7）＝P（μ－σ<X〈μ＋σ）＝0。683，P（4<X〈8）＝P(μ－2σ<X〈μ＋2σ)＝0。954.如图，由正态分布的对称性知，P(4<x〈5）＝P（7<x<8)，∴P(4〈x〈5）＝eq\f(1,2)[P（4<x〈8)－P（5<x〈7)］＝eq\f(1，2）×0.271≈0。136。例3解由题可知μ＝110，σ＝20，P（X〉90）＝P(X－110〉－20)＝P（X－μ〉－σ）,∵P（X－μ<－σ)＋P（－σ<X－μ〈σ）＋P(X－μ>σ）＝2P(X－μ〈－σ)＋0.683＝1,∴P(X－μ〈－σ）＝0.159，∴P(X〉90）＝1－P(X－μ〈－σ）＝1－0.159＝0。841.∴54×0.841≈45（人），即及格人数约为45.∵P（X>130)＝P（X－110〉20)＝P(X－μ〉σ），∴P（X－μ<－σ)＋P(－σ<X－μ〈σ)＋P(X－μ>σ)＝0.683＋2P(X－μ〉σ）＝1，∴P（X－μ>σ）≈0.159，即P（X>130）≈0.159.∴54×0。159≈8（人），即130分以上的人数约为8.跟踪训练3解(1）∵X~N（20，4),∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，∴尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比大约是68.3％。(2）∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24,∴尺寸在14～26mm间的零件所占的百分比大约是99.7％，而尺寸在16~24mm间的零件所占的百分比大约是95。4%.∴尺寸在24～26mm间的零件所占的百分比大约是eq\f(99.7％－95。4%，2）＝2。