2017-2018版高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示学案4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13学必求其心得，业必贵于专精PAGE6平面向量数量积的坐标表示学习目标1。理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模。3。能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量．思考1i·i,j·j,i·j分别是多少?思考2取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b。梳理设a＝(x1，y1)，b＝（x2,y2）,则a·b＝________________。这就是说，两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．知识点二向量模的坐标表示思考若a＝（x，y),试将向量的模｜a|用坐标表示．梳理设a＝(x，y）,则|a|2＝____________，或|a｜＝____________.知识点三向量夹角的坐标表示思考设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1），b＝（x2，y2),θ是a与b的夹角，那么cosθ如何用坐标表示？梳理设非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2)，a与b的夹角为θ，则(1)cosθ＝eq\f（x1x2＋y1y2,\r（x\o\al（2,1)＋y\o\al(2，1）)·\r（x\o\al（2，2)＋y\o\al(2，2)））.（2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0。知识点四直线的方向向量思考1什么是直线的方向向量？思考2直线的方向向量唯一吗?梳理(1)给定斜率为k的直线l，则向量m＝（1,k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．(2)对于直线l：Ax＋By＋C＝0,可取直线l的方向向量为m＝（1，－eq\f（A，B)）(B≠0）,或取直线l的方向向量为m＝（B，－A)．类型一平面向量数量积的坐标表示例1已知a与b同向，b＝(1,2），a·b＝10.（1）求a的坐标；(2）若c＝（2，－1），求a（b·c)及(a·b）c。反思与感悟此类题目是有关向量数量积的坐标运算,灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下（a·b)·c≠a·(b·c），即向量运算结合律一般不成立．跟踪训练1向量a＝(1，－1），b＝（－1,2)，则（2a＋b)·a等于（)A．－1B．0C．1D．2类型二向量的模、夹角问题例2在平面直角坐标系xOy中，O是原点（如图)．已知点A（16,12），B(－5,15)．(1)求|eq\o（OA,\s\up6（→））｜，｜eq\o(AB,\s\up6(→))｜；(2)求∠OAB.反思与感悟利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤（1）利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．(2)利用｜a｜＝eq\r(x2＋y2)求两向量的模．（3)代入夹角公式求cosθ,并根据θ的范围确定θ的值．跟踪训练2已知a＝(1，－1)，b＝(λ,1)，若a与b的夹角α为钝角,求λ的取值范围．类型三向量垂直的坐标形式例3(1）已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0），若向量λa＋b与a－2b垂直,则实数λ的值为（)A.eq\f(1，7）B．－eq\f（1,7）C.eq\f(1,6）D．－eq\f(1,6)（2）在△ABC中,eq\o(AB,\s\up6(→）)＝（2，3），eq\o（AC，\s\up6(→))＝（1，k），若△ABC是直角三角形，求k的值．反思与感悟利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．跟踪训练3在平面直角坐标系xOy中,已知A（1，4),B(－2，3),C(2，－1），若（eq\o（AB，\s\up6(→)）－teq\o（OC，\s\up6（→）))⊥eq\o(OC，\s\up6(→)),则实数t＝____。1．已知a＝（3,－1），b＝（1,－2)，则a与b的夹角为(）A.eq\f（π,6） B。eq\f(π，4)C。eq\f(π,3） D。eq\f(π，2）2．已知向量eq\o(BA，\s\up6(→））＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2），\f（\r（3）,2)）），eq\o(BC,\s\up6(→））＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r(3），2），\f（1,2)）)，则∠ABC等于（）A．30° B．45°C．60° D．120°3．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝（λ＋2,2），若（m＋n）⊥(m－n），则λ等于（）A．－4 B．－3C．－2 D．－14．已知平面向量a,b，若a＝（4,－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝____________。5．已知a＝(4，3），b＝（－1,2)．(1)求a与b的夹角的余弦值；（2）若(a－λb）⊥（2a＋b），求实数λ的值．1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径,根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆,可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1），b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0。4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时,向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角"的范围，稍不注意就会带来失误与错误．

答案精析问题导学知识点一思考1i·i＝1×1×cos0＝1,j·j＝1×1×cos0＝1,i·j＝0.思考2∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝（x1i＋y1j）·（x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1）i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.梳理x1x2＋y1y2知识点二思考∵a＝xi＋yj，x，y∈R，∴a2＝（xi＋yj）2＝(xi)2＋2xyi·j＋（yj）2＝x2i2＋2xyi·j＋y2j2.又∵i2＝1，j2＝1,i·j＝0,∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，∴｜a|＝eq\r（x2＋y2)。梳理x2＋y2eq\r（x2＋y2）知识点三思考cosθ＝eq\f（a·b，｜a｜｜b|）＝eq\f(x1x2＋y1y2，\r(x\o\al(2，1）＋y\o\al（2,1)）\r（x\o\al(2,2）＋y\o\al（2,2）)）。知识点四思考1与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．思考2不唯一．因为与直线l共线的非零向量有无数个，所以直线l的方向向量也有无数个．题型探究例1解(1）设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0),则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝（2，4）．（2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，（a·b）c＝10(2，－1）＝(20，－10)．跟踪训练1C例2解(1)由eq\o（OA，\s\up6（→））＝（16,12)，eq\o（AB,\s\up6（→））＝（－5－16，15－12)＝（－21，3)，得|eq\o(OA，\s\up6(→））|＝eq\r（162＋122）＝20，｜eq\o（AB,\s\up6(→)）｜＝eq\r（－212＋32)＝15eq\r(2).（2)cos∠OAB＝coseq\o(AO，\s\up6(→）），eq\o（AB,\s\up6（→))＝eq\f（\o（AO，\s\up6(→))·\o(AB，\s\up6(→）),|\o（AO，\s\up6(→)）||\o(AB,\s\up6（→）)｜）.其中eq\o（AO,\s\up6(→)）·eq\o（AB，\s\up6(→）)＝－eq\o（OA,\s\up6（→))·eq\o（AB，\s\up6（→））＝－（16，12）·(－21,3)＝－[16×(－21）＋12×3］＝300，故cos∠OAB＝eq\f(300,20×15\r（2))＝eq\f(\r（2)，2).∴∠OAB＝45°。跟踪训练2解∵a＝（1，－1)，b＝(λ，1）,∴|a|＝eq\r(2），|b｜＝eq\r（1＋λ2)，a·b＝λ－1.又∵a，b的夹角α为钝角,∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（λ－1<0，，\r（2)·\r(1＋λ2）≠1－λ，）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（λ〈1,,λ2＋2λ＋1≠0.）)∴λ〈1且λ≠－1。∴λ的取值范围是(－∞，－1）∪（－1，1）．例3（1）B（2)k＝－eq\f（2,3)或eq\f(11，3）或eq\f(3±\r(