理论力学第10章

第十章动量定理第十章动量定理§

10-1动量与冲量§

10-2动量定理§

10-3质心运动定理熟练掌握质点系质心、动量的计算；熟练掌握动量定理、质心运动定理的应用目标要求重点：动量定理、质心运动定理的应用难点：质点系质心位置、质心速度、加速度计算重点与难点质点的质量与速度的乘积

§10-1动量与冲量1.动量动量是度量物体机械运动强弱程度的物理量

例如：枪弹——速度大，质量小——冲击力大轮船——速度小，质量大——靠岸时破坏力大矢量，方向与质点速度的方向一致

单位：质点的动量质点系内各质点动量的矢量和质点系的动量刚体系统的动量质点系的质量分布中心。质心的位置和质点系各质点的质量分布有关质心质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积举例：（1）均质杆，质量为m,杆长L，以角速度绕O轴转动质心速度：动量：（2）质量为m,半径为R的均质圆盘，绕过质心且垂直于图面的O轴转动质心速度：动量：（3）圆盘绕O轴转动质心速度：动量：（4）均质轮在水平直线轨道上做纯滚动质心速度：动量：[例]两均质杆OA和AB质量为m，长为l，铰接于A。图示位置时，OA杆的角速度为

，AB杆相对OA杆的角速度亦为

。求此瞬时系统的动量。解：由刚体系统的动量公式其中：AB作平面运动方向水平向右。(1)常力的冲量

(2)变力的元冲量

在

～

内的冲量

2.冲量作用力与作用时间的乘积例如：推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。单位：冲量表示作用时间内对物体作用的累积效应的度量。或即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量对上式积分，在

~内,速度由

~,有：微分形式§10-2动量定理1.质点的动量定理即在某一时间间隔内,质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量.积分形式外力:,内力:

内力性质:根据质点的动量定理有:对于质点系:或微分形式即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和;或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和.2.质点系的动量定理即在某一时间间隔内,质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和.质点系动量定理微分形式的投影式：积分形式对求积分，又由于：，于是有:质点系动量定理积分形式的投影式：解：以整个系统为研究对象，受力如图[例]图示系统，重物A和B的质量分别为m1、m2。若A下降的加速度为a，滑轮质量不计。求支座O的约束力。B上升的速度为

，则由运动学关系得系统的动量在坐标轴上的投影为由质点系的动量定理电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为,转子质量为.定子和机壳质心,转子质心,,角速度为常量.求基础的水平及铅直约束力.例10-3得解:由电机不转时，，静约束力电机转动时的约束力，即动约束力动约束力-静约束力=附加动约束力本题的附加动约束力为：x方向：y方向：dt

内流过截面的质量及动量变化为:

流体在变截面弯管中流动,设流体不可压缩,且是定常流动.求管壁的附加动约束力.流体受外力如图,由动量定理,有:例10-4解:

为静约束力;

为附加动约束力由于

得即

设若

,=恒矢量若

,=恒量3.质点系动量守恒定律1.如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，则质点系的动量保持不变，即：2.如果作用于质点系的外力的主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，则质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变，即：§10-3质心运动定理1.质量中心

已知:为常量,均质杆OA

=AB

=,两杆质量皆为,滑块

B质量

.求:质心运动方程、轨迹及系统动量.例10-2设，质心运动方程为消去t得轨迹方程解:系统动量沿x,y轴的投影为:系统动量的大小为:系统动量的方向可用余弦角表示内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动由于：或质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和.2.质心运动定理对于质量不变的质点系，有：质心运动定理在直角坐标轴上的投影式为:在自然轴上的投影式为:

均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用以不变的角速度ω转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D,如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C

.在活塞上作用一恒力F.不计摩擦及滑块B的质量,求:作用在曲柄轴A处的最大水平约束力Fx

.

例10-5显然,最大水平约束力为应用质心运动定理,解得如图所示解:质心坐标：若，则常矢量

若，则常量

3.质心运动守恒定理如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线运动；若开始静止，则质心位置始终保持不变。如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；若开始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。求:电机外壳的运动.已知：地面水平,光滑,,,,初始静止,

常量.例10-6

设此时质心坐标为：解得：解:转子在静止时转子