第二章 质点组力学

理论力学多媒体课件西南大学物理科学与技术学院基础物理教研室主讲：贾伟尧新浪微博：@贾湖居士1第2章质点组力学2§2.1

质点组§2.2动量定理与动量守恒律§2.3动量矩定理与动量矩守恒律§2.4动能定理与机械能守恒律

§2.5两体问题(难点）§2.6质心坐标系与实验室坐标系(难点）§2.7变质量物体的运动(难点）§2.8维里定理

(自学）本章主要学习内容§2.1质点组第2章质点组力学3教学基本要求和重点、难点1、教学基本要求（1）掌握质点组的特点和质点组动力学的基本定理和守恒律；（2）掌握质心和质心坐标系中的动力学基本定理以及质心系与实验坐标系的相互关系；（3）掌握变质量物体的运动方程。2、重点、难点重点：质点组动量定理与动量守恒律、动量矩定理与动量矩守恒律、动能定理与机械能守恒律。难点：两体问题；质心坐标系与实验室坐标系。§2.1质点组第2章质点组力学4本章作业1、5、7、14、§2.1质点组第2章质点组力学5§2.1质点组第2章质点组力学一、质点组的内力和外力1、内力（internalforce）质点组内部各质点之间的相互作用力（满足牛顿第三定律）。j对i

的作用力6内力的性质1：所有内力的矢量和等于零。内力的性质2：所有内力对任一点的矩（或对任一轴的矩）的矢量和等于零。内力§2.1质点组第2章质点组力学72、外力（externalforce）质点组以外的物体对质点组内任一质点的作用力。§2.1质点组第2章质点组力学8在力学中，如果一个质点组不受任何外力作用，则叫做孤立系或闭合系。3、孤立系（闭合系）§2.1质点组第2章质点组力学9二、质心（centerofmass）1、引入质心的目的（简化问题的处理）2、质心(centroid)位置矢量的定义：质心的位矢是质点组中各质点的位置以其质量为权重的平均矢量。它可以代表质点组的整体位置。§2.1质点组第2章质点组力学10可以证明，质心是存在的，而且是唯一的。质心的另一定义法：质点组质量对质心的一次矩的矢量和等于零。§2.1质点组第2章质点组力学113、质心满足叠加原理：质心位矢的分量形式为：§2.1质点组第2章质点组力学12

4、对于质量连续分布的物体，上述公式中的求和号应改为积分：(线，面，体)§2.1质点组第2章质点组力学13例1：求均匀扇形薄片的质心。此扇形的半径为r=a，所对的圆心角为2θ，并证明半圆片的质点离圆心的距离为。证法1：14证法2：15证法3：16证法4：半圆形薄片如右图所示：古鲁金定理：有一块平面图形，绕这平面上的一条不穿过这图形的直线为轴旋转而成的立体的体积，等于这图形的面积与它的重心在旋转时所经过的路径长度的乘积。这里半圆形薄片绕y轴旋转而成的球的体积，半圆形薄片的面积，由于对称性，，为质心（或者重心）到O点的距离，其旋转一周时所过的路径的长度为，根据古鲁金定理，则有17§2.2动量定理与动量守恒律第2章质点组力学一、质点组动量定理18称为质点组的动量，质点组中所有质点动量的向量和。质点组动量定理19质点组动量定理分量表达式质系动量对时间的一阶导数，等于作用在该质点组上的外力主向量－质点组动量定理。20实例分析人骑自行车在水平路面上由静止出发开始前进。是什么力使它有向前运动的速度？

内力虽可改变质点组中质点的动量，但不能改变整个质点组的动量。21根据质点组的质心公式（2）质心运动定理质系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点组上外力主向量—质心运动定理。

22对于质点：牛顿第二定律，描述单个质点运动与力之间的关系对于质点系：质心运动定理，描述质点系整体运动与力之间的关系在研究质心的运动时，可以将质点组的质量及所受的外力均集中到质心。质心运动定理揭示了动量定理的实质：外力主向量只能改变质点组质心运动状态。23实例分析质心的运动决定于外力主向量。只受力偶作用的刚体总是围绕其质心转动24（3）质点组动量守恒律质点组动量守恒质心运动守恒C1、C2

均为常向量，由初始条件确定。25实例分析1太空中拔河，谁胜谁负？系统不受外力作用，所以动量守恒不分胜负！第2章质点组力学§2.2动量定理与动量守恒律26实例分析2第2章质点组力学§2.2动量定理与动量守恒律27实例分析3炮弹在空中爆炸第一块炮弹碎片落地前和落地后质心的运动轨迹？第2章质点组力学§2.2动量定理与动量守恒律28解：本题沿水平方向（设为x方向）无外力作用，因为火药爆炸力是内力，故沿x方向动量守恒，即UVαxy（1）（用绝对速度，不能用相对速度）第2章质点组力学§2.2动量定理与动量守恒律

例一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身和炮车质量和等于M，炮车可以自由地在铁轨上反冲。如炮身与地面成一角度α，炮弹相对炮身的速度为V，试求炮弹离开炮身时对地面的速度v

及炮车反冲的速度U

。29又由相对运动关系，知：（2）UVαxy由（1）及（2）得：第2章质点组力学§2.2动量定理与动量守恒律30由于炮车反冲

而UVθxyαv第2章质点组力学§2.2动量定理与动量守恒律31例2已知:为常量,均质杆OA

=AB

=,两杆质量皆为,滑块B质量.求:质心运动方程、轨迹及系统动量.第2章质点组力学§2.2动量定理与动量守恒律32解:设，质心运动方程为消去t得轨迹方程第2章质点组力学§2.2动量定理与动量守恒律33系统动量沿x,y轴的投影为:系统动量的大小为:第2章质点组力学§2.2动量定理与动量守恒律34质量分别为mA和mB的两个物块A和B，用刚度系数为k的弹簧联结。B块放在地面上，静止时A块位于O位置。如将A块压下，使其具有初位移X0，此后突然松开，如所示。求地面对B块的约束力NB。又X0多大时，B块将跳起？BkxOA静止平衡位置XO例3第2章质点组力学§2.2动量定理与动量守恒律35例2解取系统为研究对象，画受力图。kBx平衡位置静止AONBxAmAgmBg系统的动量为A作简谐振动，初始条件为所以质系动量定理第2章质点组力学§2.2动量定理与动量守恒律36B块跳起的条件为NB=0，即kBx平衡位置静止AONBxAmAgmBg第2章质点组力学§2.2动量定理与动量守恒律37§2.3质系的动量矩定理和动量矩守恒律（1）质系中各质点对固定点O的动量矩定理（2）质系中各质点对固定点O的动量矩守恒律（3）质点组对质心的动量矩定理（4）质系对任意动点的动量矩定理（5）质点组对任意点的动量矩与对质心的动量矩之间的关系§2.3动量矩定理与动量矩守恒律第2章质点组力学38（1）质系中各质点对固定点O的动量矩定理3940质系对定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质系的外力对同轴的合力矩。41（2）质系中各质点对固定点O的动量矩守恒律42实例分析芭蕾舞演员花样滑冰运动员§2.3动量矩定理与动量矩守恒律第2章质点组力学4344（3）质点组对质心的动量矩定理

'y'yiirCrxyzC'x'zOivCviirCrxyzC'x'zOivCv45讨论：质点组每个质点受到的惯性力的合力通过质心，所以对质心的力矩为零。动量矩是一个向量，它与矩心O的选择有关。如果M’=0，则对质点组质心的动量矩J’守恒46（4）质系对任意动点的动量矩定理zmiviAiCrirCxyAriOrA47（5）质点组对固定点的动量矩与对质心的动量矩之间的关系iviviirCrxyzC'x'zOCviirCrxyzC'x'zOCv'y48思考题一半径为r的匀质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。已知圆盘对质心的转动惯量为Io，角速度为，质心O点的速度为vo。试求圆盘对水平面上O1点的动量矩。49质量均为m的A和B两人同时从静止开始爬绳。已知A的体质比B的体质好，因此A相对于绳的速率u1大于B相对于绳的速率u2。试问谁先到达顶端并求绳子的移动速率u。例150例1解取滑轮与A和B两人为研究对象，因为外力为两人所受重力，故外力合力矩为零，系统对O点动量矩守恒：设绳子移动的速率为u又因为初始动量矩为零，所以任何时间动量矩均为零，即51例1总结西南大学52质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆连接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与AB轴之间的夹角为

，轴AB以匀角速度转动。A、B轴承间的距离为h。求(1).系统对O点的动量矩；(2).A、B轴承的约束反力。例253例2解(1).系统对O点的动量矩角速度向量两小球的矢径它们的速度由质系的动量矩的定义可得取整体系统为研究对象，建立固结杆坐标系54例2解(2).求A、B轴承的约束力55由质系的质心运动定理得外力对O点的主矩为质系对质心的动量矩定理：56例2以x轴的定轴转动(非惯性系)加惯性力，画受力图由质心运动定理57§2.4动能定理与机械能守恒定律

（1）质点动能定理（2）机械能守恒定律（3）柯尼希定理

（4）对质心的动能定理§2.5两体问题§2.4动能定理与机械能守恒律第2章质点组力学58质系动能的微分等于作用在质系上所有力的元功之和。质点动能定理（1）质系动能定理§2.4动能定理与机械能守恒律第2章质点组力学59注意：一般内力的功不为0，因为一对内力的功为：质系动能定理的积分形式质系从状态1到状态2的运动过程中，其动能的改变量等于作用于质系的所有力在这段路程中所作功的代数和。§2.4动能定理与机械能守恒律第2章质点组力学60内力虽然不能改变质系的动量和动量矩，但可能改变它的能量:实例分析炮弹爆炸碰撞若外力是保守力（如重力）,则能量不变,但是可以改变动量和动量矩.§2.4动能定理与机械能守恒律第2章质点组力学61当质系在势力场中运动，有势力所作的功：机械能守恒：（2）机械能守恒定律（3）柯尼希定理（质点组对固定点的动能定理）§2.4动能定理与机械能守恒律第2章质点组力学62（4）对质心的动能定理惯性力的功为0对质心的动能定理表明：质点组所受全部外力和内力对质心的位移的功等于质点组对质心动能的改变.

63小结质点组的三个动力学基本定理（静系）动量定理动量矩定理动能定理或或§2.4动能定理与机械能守恒律第2章质点组力学64质点组的三个动力学基本定理（C系）动量定理动量矩定理动能定理或§2.4动能定理与机械能守恒律第2章质点组力学65质点组的三个守恒律动量动量矩机械能作用在质点组上的所有外力及内力都是保守力§2.4动能定理与机械能守恒律第2章质点组力学66三个动力学基本定理在分量形式下共有上面七个方程：质点组的独立变量通常大于7，所以这些方程不能确定质点系中每一质点的运动（刚体除外）;这些方程可以得出质点组运动的总趋向和某些特征，特别是与质点有关的总趋向和某些特征；若质点组由两个质点组成，特殊情况下利用动力学定理或者相关守恒律可以求解它们的运动。67例1P96两自由质点互相吸引,力与质量成正比,与距离平方成反比.开始时,两质点静止,距离为a.求两质点距离为开始距离一半时,两质点的速度.解:动量守恒方法一：由机械能守恒求解§2.4动能定理与机械能守恒律第2章质点组力学68方法二：由动能定理求解积分得补充例题2.2和2.3P111－P112（自学）§2.4动能定理与机械能守恒律第2章质点组力学69§2.5两体问题第2章质点组力学因为太阳并非静止，故开普勒定律是近似的。一、（P,S）系统的运动特点对太阳:对行星：①+②式，得70而质心：因此，§2.5两体问题第2章质点组力学71讨论①质心不受力，作惯性运动。

(万有引力是内力，质点组动量、能量守恒）②太阳、行星绕质心作圆锥曲线运动。证明：令行星对C的运动学方程为：§2.5两体问题第2章质点组力学72同理，太阳对C的运动学方程为：

力与距离平方成反比，故太阳、行星均绕（P,S）系统的质心作圆锥曲线运动。§2.5两体问题第2章质点组力学行星对C的运动学方程为：073两体问题74③地球对太阳的相对运动方程（2）－（1）式，得定义：折合质量则§2.5两体问题第2章质点组力学a.太阳质量变大（m+M）；b.地球质量变小(折合质量)a.地球相对太阳的动力学方程b.地球相对太阳的动力学方程75④开普勒第三定理的修正即：只有当行星质量远小于太阳质量时，开普勒第三定律才是精确的。§2.5两体问题第2章质点组力学⑤两体问题：不考虑行星间的相互吸引。多体问题：天体力学、量子力学中经常用到，用微扰法（摄动法）求解。76§2.6质心坐标系与实验室坐标系第2章质点组力学散射碰撞两体问题令其中一个不动另一个为折合质量单体问题散射角θc散射角θr（可在实验室观察出来）（需由等值单体问题计算出来）77观测散射过程时所采用的静止的坐标系。一、实验室坐标系单体问题，为实验工作者采用。散射角为观测值§2.6质心坐标系与实验室坐标系第2章质点组力学78两体问题；为理论工作者采用。二、质心坐标系观测散射过程时所采用的随质心运动的坐标系。散射角为计算值。

:两质点相对位矢散射前后所偏转的角度；§2.6质心坐标系与实验室坐标系第2章质点组力学79质心运动的坐标系80三、θc与θr的关系设质量为m1的质点1以速度v1被另一质量为m2

的静止质点2散射。此两质点的质心在散射前后都将沿v1方向以速度V运动，在散射前，有而，所以质心速度§2.6质心坐标系与实验室坐标系第2章质点组力学81§2.6质心坐标系与实验室坐标系第2章质点组力学此时质点1相对于质心的速度的量值为而质点2

相对于质心的速度的量值则为故有两质点在质心坐标系动量守恒82从质心坐标系看，由动量守恒律，两质点散射后必将沿相反方向运动，而质点1

散射后的速度与散射前的速度之间的夹角就是§2.6质心坐标系与实验室坐标系第2章质点组力学83从实验室坐标系看,质点1散射后的速度为，它与之间的夹角为.

由相对运动速度变换关系其分量形式为§2.6质心坐标系与实验室坐标系第2章质点组力学84（2）cox

ym1

m2（3）（1）§2.6质心坐标系与实验室坐标系第2章质点组力学85由（1）、（2）、（3）可得§2.6质心坐标系与实验室坐标系第2章质点组力学86讨论还可求得：（P.102）当时，粒子将把所有能量转移给粒子。中子减速剂原理§2.6质心坐标系与实验室坐标系第2章质点组力学87§2.7变质量物体的运动第2章质点组力学一、变质量物体的运动方程讨论质量m是时间的函数，求这种变质量物体的动力学方程。设t时刻物体质量为m，速度为v。另有一微小质量Δm，速度为u。在t+Δt时间间隔内Δm与m相合并，合并后的共同速度为v+Δv。作用在m及Δm上的合外力为F。由质点组动量定理（广义的牛顿定律）可得88略去二阶小量，则变质量物体运动的基本方程为：⊿m未与m合并前或自m分出后瞬间的速度§2.7变质量物体的运动第2章质点组力学89若u=v，则若u=0，则§2.7变质量物体的运动第2章质点组力学90例(P137)

雨点开始自由下落时质量M，在下落过程中,单位时间内凝结在它上面的水汽质量λ，略去空气阻力,求雨点在t秒后所下落的距离。解:积分91再积分92方程可改写为即——密歇尔斯基方程

二、火箭§2.7变质量物体的运动第2章质点组力学93是放出物质(废气)相对于运动物体(火箭)的速度是每秒钟放出的质量是放出物质引起的反作用力(即喷射废气产生的推力)故要增加火箭的推力，应从提高或着手。§2.7变质量物体的运动第2章质点组力学94中国重型火箭有望2014年立项具备载人登月能力未来的重型火箭运载能力将达到百吨级，起飞动力达到3000吨级，一次就可完成100吨的空间站发射。95§2.8维里定理第2章质点组力学对有n个质点的质点组，其中任一质点的基本运动方程为：设求G对时间的导数，得96而右边第二项可变为右边第一项可变为§2.8维里定理第2章质点组力学97因此对上式求时间的平均值，得由积分中值定理或§2.8维里定理第2章质点组力学98维里定理的物理意义：在长时间间隔内，质点组的动能对时间的平均值取负号后等于作用在此质点组上力的维里。克劳修斯称为维里（也叫均功）。若为周期运动（τ为一周期），或所有质点的坐标和动量均为有限值但取τ足够长时，则上式左边很小，几乎为零。故在这两种情况下，均有：维里定理（VirialTheorem）§2.8维里定理第2章质点组力学99讨论1.系统中的耗散力对<T>无贡献.（反证法）2.对有心力系统（属保守力系），质点势能：§2.8维里定理第2章质点组力学100思考题2.1一均匀物体假如由几个有规则的物体并合（或剜去）而成，你觉得怎样去求它的质心？

答：因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组，然后求质点组的质心即为整个物体的质心。对被割去的部分，先假定它存在，后以其负质量代入质心公式即可。2.2一均匀物体如果有三个对称面，并且此三对称面交于一点，则此质点即均匀物体的质心，何故？答：物体具有三个对称面已足以确定该物体的规则性，该三平面的交点即为该物体的几何对称中心