321《几类不同增长的函数模型》课件

几种不同增长的函数模型例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？思考投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优

比较三种方案每天回报量(2)比较三种方案一段时间内的总回报量

哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。[来源:Z|xx|k.Com]分析

我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。解：设第x天所得回报为y元，则方案一：每天回报40元；

y=40(x∈N*)方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元；

y=10x(x∈N*)方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

y=0.4×2x-1(x∈N*)x/天方案一方案二方案三y/元增长量/元y/元增长量/元y/元增长量/元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.2…………………3040030010214748364.8107374182.4图112-1从每天的回报量来看： 第1~4天，方案一最多： 每5~8天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；有人认为投资1~4天选择方案一；5~8天选择方案二；9天以后选择方案三？累计回报数：81940920410250.82512三660550450360280210150100603010二4404003603202802402001601208040一1110987654321

天数回报/元方案327616389107805204801312方案一方案二方案三

三种方案的累计回报表

投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。例题的启示解决实际问题的步骤：实际问题读懂问题抽象概括数学问题演算推理数学问题的解还原说明实际问题的解例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型能符合公司的要求？（1）奖金总数不超过5万元（2）奖金不超过利润的25%分析：选择的模型需要满足的要求如下：40060080010001200200

1

2

3

45678Xyoy=5y=0.25x解：借助于计算机先作出y=0.25x,

的图像首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万对于模型,在区间[10,1000]上递增，令0.25x=5，可得x=20,因此当x>20时，y>5，所以该模型不符合要求；对于模型,根据图像令y=5，利用计算器可知在区间（805，806）内有一个点满足，它在区间[10,1000]上递增，故当时，y>5,所以该模型也不符合要求。(1)、由函数图象可以看出，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合资金不超过5万元的要求。模型y=log7x+1(2)、再计算按模型y=log7x+1奖励时，资金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有成立。[来源:Z|xx|k.Com]令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10,1000].利用计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此f(x)<f(10)≈-0.3167<0,即

log7x+1<0.25x所以，当x∈[10,1000]，思考从上节课的两个例子中可以看到，这三类函数的增长是有差异的，那么，这种差异的具体情况到底怎么样呢？[来源:Z|xx|k.Com]结论1：一般地，对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，通过探索可以发现：在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.结论2：一般地，对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，通过探索可以发现：在区间(0,+∞)上，随着x的增大，logax增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn.综上所述：(1)、在区间(0,+∞)上，y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数。(2)、随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会远远大于y=xn(n>0)的增长速度。(3)、随着x的增大，y=logax(a>1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn(n>0)的增长速度。总存在一个x0，当x>x0时，就有

logax<xn<ax例1同一坐标系中，函数y＝x2＋7和y＝2x的图象如图.试比较x2＋7与2x的大小.5040302010510y＝x2＋7y＝2xxyO例2已知函数y＝x2和y＝log2(x＋1)的图象如图，试比较x2与log2(x＋1)的大小.4321-12