高考题中的阿基米德三角形

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高考题中的阿基米德三角形图1回顾：过抛物线x2=2py(p>0)上的点P(x0，y0)处的切线方程？结论：过抛物线x2=2py(p>0)外一点P(x0，y0)，分别作抛物线的切线PA、PB，A、B分别是切点，则直线AB的方程为

．由抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形.OABPF阿基米德三角形阿基米德是伟大数学家与力学家,并享有“数学之神”的称号。xy结论：直线AB的方程为

．图2(1,3)探究1：探究2：(a,b)性质1：若阿基米德三角形ABP的边AB即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点P的轨迹为一条直线。OABPF

Cxy性质2：若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形ABP的底边AB过定点。OABPF

CxyMOAB

xy-2pN思考：把M改成抛物线外任意一点，结论仍然成立吗？POABF

xyN性质3：如图,ABP是阿基米德三角形，N为抛物线弦AB中点，则直线PN平行于抛物线的对称轴.BBPAOxyMOQABC

PxyM(M)性质4：在阿基米德三角形ABP，则OABPF

xyB

探究4：证明：（Ⅰ）对任意固定的因为焦点F（0,1）,所以可设直线的方程为由一元二次方程根与系数的关系得性质4：在阿基米德三角形ABP，则OABPF

xyB

性质5：如图：在阿基米德三角形ABP，若F为抛物线焦点，则OABPF

xy同理可得：

分析：设切点

∴∠AFP=∠PFB.∴∴推论：在阿基米德三角形ABP，若弦AB过抛物线焦点F，则OABPF

OABPF

xyB推论：在阿基米德三角形ABP，若弦AB过抛物线焦点F，则课堂小结：2.关键点：阿基米德三角形三个顶点坐标之间的关系。QOABC

F1.一个阿基米德三角形3.方法：求导法；主元法；设而不求法。OABPF

A1B1xyOABPF

xy方法2:①当所以P点坐标为的距离为：，则P点到直线AF即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.②当时，直线AF的方程：所以P点到直线AF的距离为：同理可得到P点到直线BF的距离因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.OABPF

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