2022-2023学年北京市昌平区高一年级上册学期期末质量检测数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市昌平区高一上学期期末质量检测数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据公式法解绝对值得即可解决.【详解】由题知，，因为，即，所以，所以.故选：B2．命题“”的否定为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】“”的否定为“”.故选：A3．如图，在矩形中，对角线交于点，则下列各式一定成立的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由矩形的几何性质，结合各线段对应向量的关系判断各项的正误.【详解】由图知：，故A错误；不相等，即，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：D4．为响应“健康中国2030”的全民健身号召，某校高一年级举办了学生篮球比赛，甲､乙两位同学在6场比赛中的得分茎叶图如图所示，下列结论正确的是（

）A．甲得分的极差比乙得分的极差小B．甲得分的平均数比乙得分的平均数小C．甲得分的方差比乙得分的方差大D．甲得分的分位数比乙得分的分位数大【答案】C【分析】根据茎叶图求出甲，乙两位同学得分的极差，平均分，方差，百分位数即可解决.【详解】由题知，甲同学6场比赛得分分别为14,16,23,27,32,38，极差为，平均数，方差，因为，所以得分的25%分位数为16，乙同学6场比赛得分分别为13,22,24,26,28,37，极差为，平均数，方差，因为，所以得分的25%分位数为22，所以ABD错误；故选：C5．已知，则的大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指对数的性质判断的大小关系.【详解】由，所以.故选：B6．已知射击运动员甲击中靶心的概率为，射击运动员乙击中靶心的概率为，且甲､乙两人是否击中靶心互不影响.若甲､乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可求出结果.【详解】设甲击中靶心为事件，乙击中靶心为事件，则，，因为与相互独立，所以与也相互独立，则甲、乙都不击中靶心的概率为，所以甲、乙至少有一人击中靶心的概率为.故选：A7．“”是“”成立的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由对数函数的性质判断题设条件间的推出关系，结合充分、必要性定义确定答案.【详解】当时，则有成立，充分性成立；当时，则有成立，必要性成立.故“”是“”成立的充分必要条件.故选：C8．已知函数，则下列函数为奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用题意先得到，，然后利用奇函数的定义进行判断即可【详解】由可得，，对于A，令，定义域为，因为，所以不是奇函数，故A错误；对于B，令，定义域为，因为，所以是奇函数，故B正确；对于C，由于，定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故C错误；对于D，由于，定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故D错误；故选：B9．某校航模小组进行无人机飞行测试，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与飞行时间（单位：分钟）的关系如图所示.若定义“速度差函数”（单位：米/分钟）为无人机在这个时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据图像分析，即可得到答案【详解】由题图知,当时,无人机做匀加速运动,,“速度差函数”;当时,无人机做匀减速运动,速度从160开始下降,一直降到80,“速度差函数”;当时,无人机做匀减速运动,从80开始下降,,“速度差函数”;当时无人机做匀加速运动,“速度差函数”.所以函数在和两个区间上都是常数.故选：C10．已知集合都是的子集，中都至少含有两个元素，且满足：①对于任意，若，则；②对于任意，若，则.若中含有4个元素，则中含有元素的个数是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】令且，，根据已知条件确定可能元素，进而写出且时的可能元素，讨论、，结合确定的关系，即可得集合A、B并求出并集中元素个数.【详解】令且，，如下表行列分别表示，集合可能元素如下：----------则，若，不妨令，下表行列分别表示，---------------------由，而，且，显然中元素超过4个，不合题设；若，则，下表行列分别表示，---------------由，而，且，要使中元素不超过4个，只需，此时，显然，即，则，即且，故，所以，即，而，故，共7个元素.故选：C【点睛】关键点点睛：令且，，结合已知写出可能元素，由且时的可能元素且研究的关系.二、填空题11．某学校有教师志愿者80人，其中小学部有24人，初中部有32人，高中部有24人.现采用分层抽样的方法从全校教师志愿者中抽出20人参加周末社区服务活动，那么应从初中部抽出的人数为__________.【答案】8【分析】利用分层抽样直接求解.【详解】从80人中抽取20人，抽样比为，所以应从初中部抽出的人数为.故答案为：8.12．已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________.【答案】【分析】由图知，应用向量数量积的运算律求得，即可得结果.【详解】由图知：，则，又，则.故答案为：13．已知函数的定义域为，满足，且在上是减函数，则符合条件的函数的解析式可以是__________.（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根据幂函数的性质可得.【详解】的定义域为，想到作分母，，说明函数为偶函数，所以的指数为偶数，所以想到幂函数，验证在单调递减成立.故答案为：（答案不唯一）三、双空题14．已知函数，则__________；的最小值为__________.【答案】

4

-1【分析】根据单调性分别讨论分段函数每段的最小值，再综合判断.【详解】，在区间内单调递减，故在上无最小值，且在区间内单调递增，故，故答案为：-115．某学校为了调查高一年级600名学生年平均阅读名著的情况，通过抽样，获得了100名学生年平均阅读名著的数量（单位：本），将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则图中的值为__________；估计高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本的人数为__________.【答案】

##

【分析】由频率和为1列方程求参数a，由图知数量不少于10本的频率为，进而求人数.【详解】由直方图知：，所以，则高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本为人.故答案为：，16．已知定义在上的函数，则的零点是__________；若关于的方程有四个不等实根，则__________.【答案】

和

【分析】令结合即可求出零点，将转化为与有四个不同交点，画出函数图象并令，易知、分别是、的两个根，进而求.【详解】令，则，即，可得或，又，故的零点是和；由有四个不等实根，即且与有四个不同交点，因为，当且仅当时等号成立，结合对勾函数性质，在上递减，在上递增，综上，和上，上，则、上递减，、上递增，所以函数图象如下，由图知：，又，则，解得，若，则，故，，所以是的两个根，是的两个根，则，故.故答案为：和，四、解答题17．如图，在中，.设.(1)用表示；(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用表示出，即可得结果；（2）用表示，得到，根据向量共线的结论即证结论.【详解】（1）由题图，，.（2）由，又，所以，故三点共线.18．已知集合.(1)求；(2)若集合，且，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求解一元二次不等式，再求补集；（2）由可分类讨论与时画图分析即可.【详解】（1）∵∴（2）∵∴①当时，，解得：，②当时，即：，∴或∴∴综述：.19．为了践行“节能减排，绿色低碳”的发展理念，某企业加大了对生活垃圾处理项目的研发力度.经测算，企业每月平均处理生活垃圾的增量y（单位：吨）与每月投入的研发费用（单位：万元）之间的函数关系式为.(1)若要求每月平均处理生活垃圾的增量不低于100吨，则每月投入的研发费用应该在什么范围？(2)当每月投入的研发费用为多少时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值？最大值是多少？【答案】(1)每月投入的研发费用的范围是万元(2)每月投入的研发费用为20万元时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值，最大值是120吨.【分析】（1）根据题意得到，然后解不等式即可求解；（2）利用基本不等式即可求解【详解】（1）根据题意，，因为所以不等式转化为化简可得，解得所以每月投入的研发费用的范围是万元（2）因为，所以，因为，当且仅当，即时，取等号，所以当且仅当时，取得最大值.所以每月投入的研发费用为20万元时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值，最大值是120吨.20．2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号F遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，实现了两个飞行乘组首次太空“会师”.下表记录了我国已发射成功的所有神舟飞船的发射时间和飞行时长.名称发射时间飞行时长神舟一号1999年11月20日21小时11分神舟二号2001年1月10日6天18小时22分神舟三号2002年3月25日6天18小时39分神舟四号2002年12月30日6天18小时36分神舟五号2003年10月15日21小时28分神舟六号2005年10月12日4天19小时32分神舟七号2008年9月25日2天20小时30分神舟八号2011年11月1日16天神舟九号2012年6月16日13天神舟十号2013年6月11日15天神舟十一号2016年10月17日32天神舟十二号2021年6月17日3个月神舟十三号2021年10月16日6个月神舟十四号2022年6月5日6个月神舟十五号2022年11月29日预计6个月为帮助同学们了解我国神舟飞船的发展情况，某学校“航天社团”准备通过绘画､海报､数据统计图表等形式宣传“神舟系列飞船之旅”.(1)绘画组成员从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘进行绘画，求选中的神舟飞船的发射时间恰好是在10月份的概率；(2)海报组成员从飞行时长（包括预计飞行时长）大于30天的神舟飞船中随机选取2艘制作海报，求选中的神舟飞船的飞行时长（包括预计飞行时长）均为6个月的概率；(3)数据统计组成员在2022年5月计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为年12月30日又计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为.试判断和的大小.（结论不要求证明）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设“神舟飞船的发射时间恰好是在10月份”为事件列举出满足事件的样本点，即可算出概率；（2）列举基本事件，根据古典概型公式求解即可（3）比较和新加入的数，即可得到结论【详解】（1）记名称为神舟第号飞船为，则“从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘”的样本空间为，共15个样本点.设“神舟飞船的发射时间恰好是在10月份”为事件则，共4个样本点，所以（2）“从飞行时长（包括预计飞行时长）大于30天的神舟飞船中随机选取2艘”的样本空间为,共10个样本点.设“选中的神舟飞船的飞行时长(包括预计飞行时长)均为6个月”为事件B，则，共3个样本点，所以（3）易得2022年5月计算神舟一号到神舟十三号的平均数小于6个月，年12月30日又计算了一遍，新加入神舟十四号和神舟十五号的数据，一定会比要大，故会拉高平均数，所以21．设有限集合，对于集合，给出两个性质：①对于集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则称A为的封闭子集；②对于集合A中任意两个元素，都有，则称A为的开放子集.(1)若，集合，判断集合为的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）(2)若，且集合A为的封闭子集，求的最小值；(3)若，且为奇数，集合A为的开放子集，求的最大值.【答案】(1)A为的封闭子集，B为E的开放子集(2)9(3)【分析】对于（1），利用封闭子集，开放子集定义可得答案；对于（2），，设.因集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则，其中.据此可得，得，后排除8，再说明9符合题意即可；对于（3），因，且为奇数，当时，得；当，将里面的奇数组成集合A，说明集合A为E开放子集，且为最大值即可.【详解】（1）对于A，因，且，则A为E的封闭子集；对于B，由题可得，注意到其中任意两个元素相加之和都不在B中，任意元素也不是其他两个元素之和，且，故B为E的开放子集；（2）由题：，设.因集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则，其中.得，，，.因，则.若，则，则在A中存在元素，使它们的和为.又，则当时，，得，则在A中存在元素，使它们的和为.又当时，，得，则在A中存在元素，使它们的和为.注意到奇数，且，故不存在元素，使，这与集