应用随机过程讲义一

应用随机过程讲义一第一页，共八十二页，2022年，8月28日学习要求不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想学会把抽象的概率和实际模型结合起来第二页，共八十二页，2022年，8月28日学习重点用随机变量表示事件及其分解——基本理论全概率公式——基本技巧数学期望和条件数学期望——基本概念第三页，共八十二页，2022年，8月28日第一讲

第四页，共八十二页，2022年，8月28日随机事件与概率

随机试验第五页，共八十二页，2022年，8月28日要点：在相同条件下，试验可重复进行；试验的一切结果是预先可以明确的，但每次试验前无法预先断言究竟会出现哪个结果。第六页，共八十二页，2022年，8月28日样本点

对于随机试验E，以ω表示它的一个可能出现的试验结果，称ω为E的一个样本点。

样本空间

样本点的全体称为样本空间，用Ω表示。Ω＝{ω}第七页，共八十二页，2022年，8月28日随机事件粗略地说，样本空间Ω的子集就是随机事件，用大写英文字母A、B、C等来表示。

事件的关系与运算

第八页，共八十二页，2022年，8月28日第九页，共八十二页，2022年，8月28日第十页，共八十二页，2022年，8月28日示性函数是最简单的随机变量用随机变量来表示事件第十一页，共八十二页，2022年，8月28日用示性函数的关系及运算来表示相关事件的关系及运算第十二页，共八十二页，2022年，8月28日公理化定义集类第十三页，共八十二页，2022年，8月28日第十四页，共八十二页，2022年，8月28日概率第十五页，共八十二页，2022年，8月28日第十六页，共八十二页，2022年，8月28日第十七页，共八十二页，2022年，8月28日概率是满足非负性；归一性；可列可加性；的集函数。可测集粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的点集即为可测集；反之称为不可测集。第十八页，共八十二页，2022年，8月28日概率的性质1.

2.3.有限可加性

第十九页，共八十二页，2022年，8月28日4.

5.6.

第二十页，共八十二页，2022年，8月28日7.8.可列次可加性9.概率连续性第二十一页，共八十二页，2022年，8月28日这部分的详细讨论可以参见

《随机数学引论》

林元烈，清华大学出版社第二十二页，共八十二页，2022年，8月28日Buffon试验：最早用随机试验的方法求某个未知的数。测度：满足非负性、可列可加性的集函数。第二十三页，共八十二页，2022年，8月28日第二十四页，共八十二页，2022年，8月28日实际上，设集类以上集类和A生成相同的σ-代数,都是上面提到的一维Borelσ-代数，即第二十五页，共八十二页，2022年，8月28日直观地说，中包含一切开区间，闭区间，半开半闭区间，半闭半开区间，单个实数，以及由它们经可列次并交运算而得出的集类。第二十六页，共八十二页，2022年，8月28日第二十七页，共八十二页，2022年，8月28日

第二十八页，共八十二页，2022年，8月28日第二十九页，共八十二页，2022年，8月28日第三十页，共八十二页，2022年，8月28日事件的独立性第三十一页，共八十二页，2022年，8月28日

几个事件的独立性第三十二页，共八十二页，2022年，8月28日第三十三页，共八十二页，2022年，8月28日第三十四页，共八十二页，2022年，8月28日第三十五页，共八十二页，2022年，8月28日比较甲乙两人的结果，从以上结果可以得到什么结论？第三十六页，共八十二页，2022年，8月28日机遇偏爱有心人！第三十七页，共八十二页，2022年，8月28日

一次成功的概率只有2％，是典型的小概率事件；但重复次数足够多，如n=400，至少一次成功就是大概率事件！

第三十八页，共八十二页，2022年，8月28日只要功夫深，铁杵磨成针！第三十九页，共八十二页，2022年，8月28日随机变量定义解释第四十页，共八十二页，2022年，8月28日离散型随机变量的示性函数表示法

这说明对于任一.，总可以分解为互不交的事件的示性函数的迭加。第四十一页，共八十二页，2022年，8月28日随机变量等价定义分布函数第四十二页，共八十二页，2022年，8月28日连续型随机变量的概率密度函数微元法求概率密度函数第四十三页，共八十二页，2022年，8月28日二维随机变量的分布函数二维Borel-σ代数由平面上矩形的全体生成的σ－代数第四十四页，共八十二页，2022年，8月28日联合密度函数亦可用微元法求第四十五页，共八十二页，2022年，8月28日常用随机变量的分布（列出,期望方差）两点分布正态分布二项分布指数分布Poisson分布均匀分布几何分布二维正态分布第四十六页，共八十二页，2022年，8月28日两点分布若只取1和0两个值，且则称服从参数为p的两点分布。简记为：X~B(1,p).即EX=p,DX=p(1-p)第四十七页，共八十二页，2022年，8月28日EX=np,DX=np(1-p)EX=1/p,DX=(1-p)/p2第四十八页，共八十二页，2022年，8月28日EX=λ,DX=λEX=(a+b)/2,DX=(b-a)2/12第四十九页，共八十二页，2022年，8月28日EX=1/λ,DX=1/λ2EX=μ,DX=σ2第五十页，共八十二页，2022年，8月28日二维正态分布的优良性质

X,Y相互独立X,Y不相关第五十一页，共八十二页，2022年，8月28日随机变量的数字特征及条件数学期望第五十二页，共八十二页，2022年，8月28日数学期望（复习）

“加权平均”为了引出一般随机变量的定义，我们先介绍R-S积分的概念。第五十三页，共八十二页，2022年，8月28日黎曼－斯蒂尔吉斯积分第五十四页，共八十二页，2022年，8月28日任分任取求和取极限第五十五页，共八十二页，2022年，8月28日第五十六页，共八十二页，2022年，8月28日在定义了R-S积分之后，我们可以将所有随机变量的数学期望形式进行统一。第五十七页，共八十二页，2022年，8月28日第五十八页，共八十二页，2022年，8月28日数学期望的性质（E|Xi|<∞）第五十九页，共八十二页，2022年，8月28日

交换求和顺序第六十页，共八十二页，2022年，8月28日同理，对连续型随机变量有相似的结论成立第六十一页，共八十二页，2022年，8月28日第六十二页，共八十二页，2022年，8月28日第六十三页，共八十二页，2022年，8月28日第六十四页，共八十二页，2022年，8月28日第六十五页，共八十二页，2022年，8月28日Chebyshev不等式第六十六页，共八十二页，2022年，8月28日

条件数学期望第六十七页，共八十二页，2022年，8月28日第六十八页，共八十二页，2022年，8月28日第六十九页，共八十二页，2022年，8月28日用示性函数的线性组合表示离散型随机变量（见前面“随机变量”部分）第七十页，共八十二页，2022年，8月28日例：将概率运算纳入求期望运算的范畴第七十一页，共八十二页，2022年，8月28日理解E(X|Y)是ω的函数，也是Y(ω)的函数，即Y(ω)取值不同，E(X|Y)也取相应的值；当Y是离散型随机变量时，E(X|Y)也是离散型随机变量。第七十二页，共八十二页，2022年，8月28日第七十三页，共八十二页，2022年，8月28日推广至一般随机变量第七十四页，共八十二页，2022年，8月28日将x替换成X第七十五页，共八十二页，2022年，8月28日求条件数学期望的一般步骤先写出固定条件(如Y=yj)的情况下X的条件分布律或条件密度函数；根据条件数学期望的定义，通过求和或积分得到条件下的数学期望；将条件(Y=yj)替换成一般情况下的随机变量(Y)第七十六页，共八十二页，2022年，8月28日条件数学期望的性质设E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y)),E{g(X)h(Y)}存在，则(重要!)全期望公式第七十七页，共八十二页，2022年，8月28日第七十八页，共八十