山西省运城市垣曲县垣曲中学2021年高二数学理下学期期末试题含解析

山西省运城市垣曲县垣曲中学2021年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={x|x﹣m=0}，B={x|mx﹣1=0}，若A∩B=B，则m等于（） A．1 B． 0或1 C． ﹣1或1 D． 0或1或﹣1参考答案：D2.已知A、B是抛物线

=2（>0）上两点，O为坐标原点，若=,且AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是（

）（A）＝

（B）＝

（C）＝3

（D）＝参考答案：D3.设若则有（

）A

B

C

D

参考答案：D4.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（

）A． B． C． D．参考答案：C5.直线x=3的倾斜角是（

）

A.0

B.

C.p

D.不存在

参考答案：B略6.已知双曲线的离心率，则它的渐近线方程为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：7.用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．参考答案：B8.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都是偶数”，正确的反设为（

）A．中至少有一个是奇数 B．中至多有一个是奇数C．都是奇数

D．中恰有一个是奇数参考答案：A9.有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为(

)A．①② B．①③ C．②③ D．③④参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】写出“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题判断真假；写出“全等三角形的面积相等”的否命题判断真假；通过若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根，根据二次方程根的存在性，即可得到其真假，然后利用互为逆否命题的两个命题即可判定该命题的正误．利用原命题与逆否命题同真同假判断即可．【解答】解：对于①，“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是：若x，y互为相反数，则x+y=0．它是真命题．对于②，“全等三角形的面积相等”的否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等．它是假命题．对于③，若q≤1，则△=4﹣4q≥0，故命题若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根是真命题；它的逆否命题的真假与该命题的真假相同，故（3）是真命题．对于④，原命题为假，故逆否命题也为假．故选：B．【点评】本题考查四种命题的真假判断以及命题的否定，解题时要注意四种命题的相互转化，和真假等价关系，属基础题．10.用反证法证明“如果a＜b，那么”，假设的内容应是（）A. B.C.且 D.或参考答案：D解：因为用反证法证明“如果a>b，那么>”假设的内容应是＝或<，选D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，阴影部分的面积是_________．参考答案：考点：定积分在求面积中的应用．【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用，其中解答中根据直线方程与曲线方程的交点坐标，确定积分的上、下限，确定被积函数是解答此类问题的关键，同时解答中注意图形的分割，在轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．12.已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0(k≠0)的解，则k的取值范围是________．参考答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)略13.已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，则实数m=．参考答案：12【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用已知条件求出椭圆的几何量a，b，c，利用离心率公式计算求解即可．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆+=1，可知a=，b=3，c=，∵离心率是e=，∴==，解得m=12．故答案为：12．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用椭圆的基本量和离心率公式，考查运算能力，属于基础题．14.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是__________．参考答案：615.已知函数，，直线x＝m与，的图象分别交于点M,N则MN的最大值是

．参考答案：16.已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为9，离心率为3/5的椭圆的标准方程为________．参考答案：略17.若，则不等式的解集为

▲

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，矩形所在平面与平面垂直，，且，为上的动点.(Ⅰ)当为的中点时，求证：；(Ⅱ)若，在线段上是否存在点E，使得二面角的大小为.若存在，确定点E的位置，若不存在，说明理由.参考答案：方法一：不妨设，则.

(Ⅰ)证明：当为中点时，，

从而为等腰直角三角形，∴，同理可得，∴，于是，

又平面平面，平面平面，平面，

∴

，又，∴.………………6分

(Ⅱ)若线段上存在点,使二面角为。过点作于,连接,由⑴

所以为二面角的平面角，…………..8分设,则中，在中由，得,则,在中,所以,所以线段上存在点,当时，二面角为。

.12分依题意，即，解得（舍去），

所以点在线段BC上距B点处..………12分19.抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），焦点为F；（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程：（2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程．参考答案：【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程；抛物线的标准方程．【分析】（1）先设出抛物线方程，因为抛物线过点（4，4），所以点（4，4）的坐标满足抛物线方程，就可求出抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点坐标．（2）利用相关点法求PF中点M的轨迹方程，先设出M点的坐标为（x，y），P点坐标为（x0，y0），把P点坐标用M点的坐标表示，再代入P点满足的方程，化简即可得到m点的轨迹方程．【解答】解：（1）抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），设抛物线解析式为y2=2px，把（4，4）代入，得，16=2×4p，∴p=2∴抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为F（1，0）（2）设M（x，y），P（x0，y0），F（1，0），M是PF的中点则x0+1=2x，0+y0=2y

∴x0=2x﹣1，y0=2y∵P是抛物线上一动点，∴y02=4x0∴（2y）2=4（2x﹣1），化简得，y2=2x﹣1．∴M的轨迹方程为y2=2x﹣1．20.（本小题满分12分）下左图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线和平面所成角的正弦值.参考答案：解:设，建立如图所示的坐标系，则.∵为的中点，∴.……2分（1）证：，

∵，平面，∴平面.

……5分（2）证：∵，

∴，∴.

∴平面，又平面，∴平面平面.

……8分

(3)解：设平面法向量为，由可得：

，取.

又，设和平面所成的角为，则

.∴直线和平面所成角的正弦值为.……12分略21.已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于、两点，为原点，在、上分别存在异于点的点、，使得在以为直径的圆外，求直线斜率的取值范围．

参考答案：（1）依题意，可设椭圆的方程为．

由

∵椭圆经过点，则，解得∴椭圆的方程为（2）联立方程组，消去整理得∵直线与椭圆有两个交点，∴，解得

①∵原点在以为直径的圆外，∴为锐角，即．而、分别在、上且异于点，即设两点坐标分别为，则

解得

，

②综合①②可知：

略22.设，分别求，，；归纳猜想一般性结论，并证明其正确性．