山西省运城市晋新中学2023年高三数学理期末试题含解析

山西省运城市晋新中学2023年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=ex+x2﹣2在区间（﹣2，1）内零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4参考答案：B考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：由已知中函数的解析式，求出导函数f'（x）的解析式，和导函数的导函数f''（x）的解析式，分析f''（x）的符号，求出f'（x）的单调性，进而分析f'（x）的符号，再分析函数f（x）在区间（﹣2，1）的单调性及极值，进而结合零点存在定理，得到答案．解答：解：∵f（x）=ex+x2﹣2得f'（x）=ex+2xf''（x）=ex+2＞0从而f'（x）是增函数，f'（﹣2）=﹣4＜0f'（0）=1＞0从而f'（x）在（﹣2，1）内有唯一零点x0，满足则在区间（﹣2，x0）上，有f'（x）＜0，f（x）是减函数，在区间（x0，1）上，f'（x）＞0，f（x）是增函数．因为f（﹣2）=+2＞0，f（x0）＜f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0从而f（x）在（﹣2，1）上有两个零点．故选B点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，使用导数法，判断函数的单调性是解答的关键，但需要二次求导，难度中档．2.已知，，…为凸多边形的内角，且，则这个多边形是（

）A．正六边形

B．梯形

C．矩形

D．含锐角菱形

参考答案：C3.已知复数为纯虚数，则m=A.

0

B.

3

C.

0或3

D.

4参考答案：B

.故选B.4.函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是A．(－∞，－1)

B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)

D．(－∞，＋∞)参考答案：C5.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A、30°B、45°C、60°D、90°参考答案：D6.已知定义在R上的连续可导函数f(x)无极值，且，若在上与函数f(x)的单调性相同，则实数m的取值范围是(

)A.(－∞,－2] B.[－2,+∞)C.(－∞,2] D.[－2,－1]参考答案：A【分析】根据连续可导且无极值，结合，判断出为单调递减函数.对求导后分离常数，利用三角函数的值域求得的取值范围.【详解】由于连续可导且无极值，故函数为单调函数.故可令，使成立，故，故为上的减函数.故在上为减函数.即在上恒成立，即，由于，故，，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查函数的单调性与极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题.7.若一个角的终边上有一点且，则的值为()A．

B．

C．或 D．参考答案：C略8.

已知集合，则有A.

B.

C.

D.参考答案：A9.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在方向上的投影为(

)A．

B．3

C．

D．-3参考答案：A略10.已知集合，，则

（

） A、 B、 C、

D、参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在二面角中，且已知

,,则二面角的余弦值为

▲

参考答案：12.已知A，B是求O的球面上两点，且∠AOB=120°，C为球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则求O的表面积为．参考答案：64π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB==，故R=4，则球O的表面积为4πR2=64π，故答案为：64π．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．13.某学校共有师生3200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本．已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是．参考答案：200【考点】分层抽样方法．【分析】根据学校的总人数和要抽取的样本容量，做出每个个体被抽到的概率，根据学生要抽取150人，做出教师要抽取的人数是10，除以概率得到教师的人数．【解答】解：∵学校共有师生3200人，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，∴每个个体被抽到的概率是=，∴=，∴学校的教师人数为10×20=200．故答案是：200．14.已知向，∥，则x=

。参考答案：【知识点】平行向量与共线向量因为，∥，所以，解得，故答案为。【思路点拨】用两向量共线坐标形式的充要条件公式即可．

15.以双曲线的左焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是__▲__.参考答案：略16.我们可以利用数列{an}的递推公式an=（n∈N+）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则a24+a25=

；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第

项．参考答案：28，640．【考点】数列递推式．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．即可求出第8个5在该数列中所占的位置．【解答】解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a24+a25=3+25=28．又因为a5=5，a10=5，a20=5，a40=5…即项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．所以第8个5是该数列的第5×28﹣1=640项．故答案为：28，640．17.直线2x﹣y+3=0与椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点和一个顶点的连线垂直，则该椭圆的离心率为．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意得：KAB=﹣=﹣，从而b=，由a2=b2+c2得：的比值，进而求出e=的值．解答：解：画出草图，如图示：，由题意得：kAB=﹣=﹣，∴b=，由a2=b2+c2得：=，∴e==，故答案为：．点评：本题考查了椭圆的简单性质，考查直线的斜率问题，是一道基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用(单位：万元)与隔热层厚度(单位：cm)满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求的值及的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．参考答案：解(1)设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为，

由,∴,∴……2分

而建造费用为

……4分

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

……6分(2)，令，则

所以，……8分(当且仅当,即时，不等式等式成立)……10分故是的取得最小值，对应的最小值为……13分答：当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.……14分19.设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）如果且关于x的方程有两解，，证明.参考答案：（1）由，可知.因为函数的定义域为，所以，①若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；②若时，当在内恒成立，函数单调递增；③若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.（2）要证，只需证.设，因为，所以为单调递增函数.所以只需证，即证，只需证.又，，所以两式相减，并整理，得.把代入式，得只需证，可化为.令，得只需证.令，则，所以在其定义域上为增函数，所以.综上得原不等式成立.20.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求a，c．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理，得，结合sinA≠0，可求，由于0＜B＜π，可求B的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理，得，利用余弦定理可求，联立即可解得a，c的值．【解答】解：（Ⅰ）由及正弦定理，得．在△ABC中，sinA≠0，∴，∴．∵0＜B＜π，∴．（Ⅱ）由及正弦定理，得，①由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得，，即，②由①②，解得．21.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=6，cos∠ABC=﹣．（Ⅰ）若∠BAC=，求AC的长；（Ⅱ）若BD=9，求△BCD的面积．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）若∠BAC=，利用同角三角函数的基本关系求得sin∠ABC的值，△ABC中，再利用正弦定理求得AC的长．（Ⅱ）若BD=9，由条件求得sin∠BCD的值．在△BCD中，根据cos∠BCD=利用余弦定理求得CD的值，从而求得S△BCD=?6?9?sin∠BCD的值．【解答】解：（Ⅰ）因为cos∠ABC=﹣，∴∠ABC为钝角，sin∠ABC==，在△ABC中，，即=，解得AC=8．（Ⅱ）因为AB∥CD，所以∠ABC+∠BCD=π，故cos∠BCD=﹣cos∠ABC=，sin∠BCD=sin∠ABC=．在△BCD中，cos∠BCD==，整理得CD2﹣4CD﹣45=0，解得CD=9，所以，S△BCD=?6?9?sin∠BCD==18．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．22.（14分）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

(I)求椭圆的方程及离心率；

(II)若求直线PQ的方程；

(III)设，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。参考答案：解析：(I)解：由题意，可设椭圆的方程为

由已知得

解得所以椭圆的方程为，离心率

。。。。。。。。。。。4分(II)解：由(I)可得设直线PQ的方程为由方程组

得

依题意得

设则

①

②由直线PQ的方程得

于是

③