有限元方法课件第三章杆系结构有限元

第三章杆系结构有限元§3–1概述

§3–2单元刚度矩阵

§3–3单元刚度矩阵的坐标转换

§3–4结构的原始刚度矩阵

§3–5支承条件的引入

§3–6非节点荷载的处理

§3–7杆系结构有限元法的计算步骤及示例

§3–8几点补充说明

§3–9总结第三章杆系结构有限元一、杆系结构有限元法的基本思想结构力学中的电算方法—杆件有限元法

(结构矩阵分析方法)

结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手段大规模的计算方法。§3-1概述

杆系结构有限元法(矩阵位移法）——采用结点位移作为基本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。理论基础：位移法；分析工具：矩阵；计算手段：计算机

对于杆系结构，杆系结构有限元法易于编制通用的计算程序。二、杆系结构有限元法的思路：1）离散，进行单元分析，建立单元杆端力和杆端位移的关系。2）集合，进行整体分析，建立结点力与结点位移的关系。任务意义单元分析建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵用矩阵形式表示杆件的转角位移方程整体分析由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度矩阵用矩阵形式表示位移法基本方程

构造结点:杆件的转折点、汇交点、支承点和截面突变点。

非构造结点:一根等截面直杆内的单元与单元之间的结点。1.结点和单元

单元与单元之间通过结点联结，结点一经确定，则单元也就全部确定了。

单元——最基本的分析部件，最简单的单元是等截面直杆。

梁单元——受轴力、还受剪力和弯矩作用则称为梁单元（梁、刚架）。

轴力单元——只受轴力作用的单元（桁架）。

三、基本概念

2.坐标系

结构整体坐标系xoy用于描述结构整体的量——结点的坐标、结点的位移、作用在结构上的外力等。

单元局部坐标系固定在单元上，轴与杆轴重合,自轴逆时针旋转900时的方向为轴正向。用于描述单元的杆端力和杆端位移等。

离散化将结构离散成单元的分割点称作结点.634512135642结点的选择:转折点、汇交点、支承点、刚度变化、荷载作用点等整体编码：单元编码、结点编码、结点位移编码。（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）坐标系:整体(结构)坐标系;XY局部(单元)坐标系.曲杆结构:以直代曲.变截面杆结构:以等截面杆代变截面杆

不忽略单元的轴向变形时，平面结构中每个刚结点都有3个独立的位移（2个独立线位移、1个角位移），每一个铰结点则有2个独立线位移。平面刚架单元的杆力列向量为(10-1)平面刚架单元的杆端位移列向量为(10-2）

注意：杆端力与杆端位移必定是一一对应的，即有几个杆端位移分量就有几个杆端力分量。

3.杆端位移和杆端力（对单元而言）

平面桁架铰结点只有两个独立的线位移，与此对应，桁架单元的杆端力只有轴力和剪力与其对应，但实际上桁架单元的剪力总是为零的，所以有(10-3)

杆端位移向量(10-4)

其他任何单元都存在杆端力与杆端位移一一对应的关系。

杆端力向量

作用于结点上的所有的力的合力,沿坐标轴方向分解为三个分量,构成该结点的结点力向量。4.结点力和结点位移（对整体而言）

与结点力向量对应的是结点位移向量，是矩阵位移法的基本未知量。注意：结点力和结点位移都是相对于整体坐标系的。

杆端位移和杆端力（对单元而言）的正负号：

作用在结点上的外力和结点位移（对整体而言）的正负号：5.正负号规定（强调）

凡是与单元坐标轴方向一致的位移和力均为正值，反之为负值。力矩和转角以逆时针方向为正，反之为负。

与整体坐标系方向一致的结点力和结点位移为正，反之为负。以逆时针转的结点力矩和结点转角为正值,反之为负值。矩阵位移法基本思想:化整为零

------结构离散化将结构拆成杆件，杆件称作单元。单元的连接点称作结点。单元分析

对单元和结点编码.634512135642e单元杆端力集零为整------整体分析单元杆端力结点外力单元杆端位移结点外力单元杆端位移(杆端位移=结点位移)结点外力结点位移基本未知量:结点位移1.建立单元杆端力与杆端位移之间的关系

截面直杆单元e,其杆端位移列向量与杆端力列向量分别为

§3-2单元刚度矩阵单元杆端力与单元杆端位移之间的关系是：

=——单元在局部坐标系中的单元刚度方程。它可记为

（10-6a）其中

（10-7）

称为局部坐标系中的单元刚度矩阵（简称单刚）。

的行数等于杆端力向量的分量数,列数等于杆端位移向量的分量数，

的每一个元素称为单元刚度系数，其表示了一个力。

任一元素表示当j号位移为一单位时引起杆端沿i号位移方向的反力。

单刚阵中某一列的六个元素表示当某个秆端位移分量等于1时所引起的六个杆端力分量。

第1列的六个元素就是当(即端点i沿正方向发生单位位移)时，单元的六个杆端力分量。

2.单元刚度矩阵的特性（反力互等定理）（1）是对称矩阵。

表达的杆端力和杆端位移的关系，对应于一个完全的自由单元，没有任何支承约束，可以有任意的刚体位移。(2)是奇异矩阵。即，其逆矩阵不存在.可以由杆端位移确定杆端力。反之，若已知杆端力，却不能由式反求杆端位移。物理概念为：

局部坐标系中的单元刚度矩阵，只与单元的几何形状、尺寸和物理常数有关，与单元在结构中的位置无关。(3)位置无关性矩阵位移法的单元体现了更强的通用性。单元刚度矩阵为:

3.其他单元的单元刚度矩阵

（10-9）(1)平面桁架单元

若把连续梁两支座间的一跨取作单元，杆端位移条件为：，，，。单元刚度方程为(10-11)单元刚度矩阵为（10-12）（10-13）(2)

连续梁单元杆端位移向量与单元杆端力向量为:

整体分析时必须建立一个统一的坐标系，称为整体坐标系，其作用是把各单元上不同方向的量值统一到整体坐标系方向上来。整体坐标系中，单元杆端位移向量记为{δe},单元杆端力向量记为{Fe}问题的提出§3-3单元刚度矩阵的坐标变换局部坐标系下的杆端力整体坐标系下的杆端力1.

单元坐标转换矩阵

局部坐标系

与整体坐标系为xoy的夹角α以x轴逆时针转到与局部坐标系为正。

j端点杆端力转换关系端点i处的杆端力分量，有下列转换关系：（10-10a）（10-10b）整体坐标系下的杆端力与局部坐标系下的杆端力之间的关系简记为将（10-10a）和（10-10b）联合起来写成矩阵形式[T]称为单元坐标转换矩阵,[T]是一正交矩阵。[I]为与[T]同阶的单位矩阵。或同理由可得坐标转换矩阵为：

对平面桁架单元

，。整体坐标系中的单元刚度方程写为局部坐标系中的单元刚度方程写为由，

，得等式两边左乘，得2.

整体坐标系中的单元刚度矩阵从而可得两种坐标系中单元刚度矩阵转换关系式:对于平面刚架单元，整体坐标系中的单元刚度矩阵为式中：平面桁架单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵为:

整体坐标系中的单元刚度矩阵具有与类似的性质(对称性和奇异性)。

表示单元

j端产生单位位移时引起

i

端的杆端力。对于平面刚架单元

整体分析中，对每一个结点分别建立平衡方程，为了讨论方便，将单元刚度方程按两端的结点

i

、j

进行分块，写为对于平面刚架单元，它们都是3×3阶方阵。对于平面桁架单元，它们都是2×2阶方阵。例:整体单刚的计算21已知:求:各单元整体单刚解:本节开始对结构进行整体分析(后处理法)分析任务:建立结点力与结点位移的关系-结构的刚度方程例:第一步:编号，建坐标符号：与整体坐标正向为正。结点力列向量结点位移列向量其中：§3-4结构的原始刚度矩阵、

—

支座反力、

—

结点外力{F}=[K]{Δ}——表示整个结构在整体坐标系中的结点位移与结点力之间的变换关系。--明确任务有n个结点的平面刚架，Δ是3n阶向量。有n个结点的平面桁架,Δ是2n阶向量。

{F}——结构的结点力向量。它是由作用在每个结点上的外力

(包括已知的荷载和未知的支座反力)构成的。注意：{F}与{Δ}的阶数相同,而且是一一对应的。{Δ}——结构的结点位移向量。矩阵位移法的基本未知量。

[K]——结构的整体刚度矩阵（总刚）。其行、列数等于结构结点的位移数。

第二步：单元分析第三步，利用变形条件和平衡条件建立与的关系。分别对结点1，2，3，4进行分析由变形条件：

由平衡条件：如结点2：即：

即：

同理，对结点1、3、4的平衡条件为：

写成矩阵形式：上式称为结构的原始刚度方程，简写为：称为结构的原始刚度矩阵，简称总刚。总刚度矩阵特性：（1）[K]是对称方阵；

kij=kji（反力互等定理），贮存总刚度矩阵时，只需贮存它的一半就行了。（2）[K]是稀疏矩阵；非零元素只分布在主对角线两侧的带状区域内。

表示结点位移{}和结点力{F}之间的关系，反映了结构的刚度性质，而不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。

当尚未引进支座条件的情况下，结构刚度方程是无法求解的（未引进支座条件时，结构存在刚体位移）。（3）K是一个奇异矩阵。

特称没有引进支座条件的总刚度矩阵称为原始总刚度矩阵。建立总刚度矩阵有两种方法:

1）理论推导,即刚度法。2）直接由单刚阵按一定的规律集成总刚度矩阵，称为直接刚度法由总刚中元素的物理意义形成：2(4,5,6)1(1,2,3)3(7,8,9)12

则有:

若令:其他Ki1为0，这种方法太麻烦。桁架的指示矩阵为：

任何一个杆端都与一个结点对应。图示桁架，其单元杆端与结点号可用一个矩阵来表示。矩阵的行数为单元数，列数为2。每一行的两个数分别表示该单元i、j

端对应的结点号。这个矩阵称为指示矩阵（定位矩阵）。指示矩阵实际上也给出了各单元坐标系。ij直接刚度法形成总刚度矩阵

直接刚度法——直接由各单元刚度矩阵装配形成总刚度矩阵。是目前编制计算机程序最常用的方法。1.首先应将结构的结点和单元编号。编号可以任意编，并不影响计算结果。2.首先列出整体坐标表示的单元刚度矩阵。3.将单元刚度矩阵划分为4个子块：4.按“子块搬家，对号入座”的原则将单元刚度矩阵中的子块，一块块地搬入总刚度矩阵中，而搬入的位置则根据指示矩阵G

的规定来确定。

一般的规律是：第e单元i端对应结点号为g,

j

端对应结点号为h。“搬家”时将该单元单元刚度矩阵中的子块Kij搬到总刚度矩阵中的子块位置Kgh，即搬到总刚度矩阵中第g子块行，第h子块列中去。→K11

→K13→K31→K33

例如,图示桁架第⑤号单元的4个子块，根据指示矩阵G

的指示，分别搬到：2）用上述

“子块搬家，对号入座”装配总刚度矩阵的方法也适用于其他任何杆件结构。各单元都按此原则“搬家”后，桁架的总刚度矩阵为：

1234

注意：1）总刚的一个子块位置中搬入几个子块时，这几个子块应叠加。总刚度矩阵的构造

图示桁架有4个结点，有8个位移分量。Δ=｛u1v1

u2v2

u3v3

u4v4｝T总刚度矩阵则为8阶方阵：子块行元素行

子块列

1234

元素列

12345678

将其分成4个子块。平面桁架，每一结点具有两个位移分量，每一子块中就有两行两列共4个元素。

1.K32的物理意义是什么？思考：2.k35的物理意义是什么？

1.子块K32表示结点2产生单位位移时引起的结点3的结点力。

2.k35表示第5号位移（结点3沿X方向的位移）为一单位时引起沿第3号位移（结点2沿y方向的位移）方向的力。这个力应该理解为相当于按位移法的基本结构所规定的结点2的竖向附加约束的约束反力。4.总刚度矩阵中某一元素的物理意义是什么？

3.对于空间桁架和平面刚架，每个子块中含多少个元素？思考：

答：1）首先对其结点和单元进行编号如图示。每个子块都是由3×3阶的9个元素构成的。3）列出刚架的指示矩阵

ij2）列出各单元的用整体坐标表示的单元刚度矩阵为：平面刚架对号入座装配总刚度矩阵为：

12345主子块：主对角线上的子块，副子块：非主对角线上的子块，，相关单元：连接结点，单元。相关结点：与结点相邻的结点。

相关单元：与结点相连的单元。总刚的特点：1）（为结点的相关单元）

2）若，非相关，则

，若为相关，则（为结点,的相关单元）

总刚的形成：对号入座，同号相加。单刚子块在总刚中的分布规律总结：解：有关参数单刚见教材（略）例：试求图示刚架的原始刚度矩阵。已知各杆注：课本上有详细求解过程图示刚架原始刚度方程未知未知未知未知已知已知已知已知§3-5支承条件的引入未知未知未知未知已知已知已知已知由于结点1、4为固定端，故支承约束条件为代入结构原始刚度方程，有和其中为引入支承条件后的结构刚度方程，可写为：式中：只包括已知结点荷载，只包括未知结点位移，此时的矩阵即为从结构的原始刚度矩阵中删去与已知为零的结点位移对应的行和列而得到，称为结构的刚度矩阵或缩减的总刚。

此时，由于引入支承条件，消除了结构的任意刚体位移，故结构刚度矩阵为非奇异矩阵，可得到未知结点位移的唯一解。（若此时结构刚度矩阵仍奇异，说明原结构为几何可变或瞬变体系）。

求出未知结点位移后，可由单元刚度方程计算各单元的内力。整体坐标系下，单元杆端力为：可求得局部坐标系下单元杆端力或：局部坐标系下单元杆端结点位移同样可求得局部坐标系下单元杆端力求出未知结点位移后，由式可计算支座反力。

但是，当全部杆件的内力都求出后，一般可由结点平衡条件求支座反力更方便。24图示刚架的原始刚度矩阵

舍弃与约束所对应的行和列，得到引进了支座条件后的总刚度矩阵：

这就是后处理法，即先集成总刚度矩阵，然后再引进约束条件。还有先处理法，即先引进支座条件，然后集成总刚度矩阵。(暂略)

1234引进约束条件后的刚度方程：

通过求解线性代数方程组的方法求出未知的结点位移向量。图示平面桁架结构，结构的原始刚度方程为：123431241234②③①(a)(b)(c)

对于平面刚架单元，若单元上作用着非结点荷载，则单元的杆端力将由两部分构成。一部分是由结点位移所引起的，另一部分是非结点荷载作用而直接引起的杆端力,即固端内力。§3-6非结点荷载的处理3124(b)

同位移法，刚结点处施加附加链杆和附加刚臂阻止所有结点的线位移和角位移，此时各单元有固端力，附加链杆和附加刚臂上有附加反力和附加反力矩。由结点平衡条件可知，附加联系上的附加反力等于汇交于该结点的各固端力的代数和。某单元e受非结点荷载作用，单元局部坐标系中的固端力为：固端大小可由固端内力表查得，P252表10-3。1234（c）取消附加联系，相当于在结点上施加了与上述附加反力和附加反力矩反号的荷载，此荷载成为原结构上非结点荷载的等效结点荷载。注意：这里“等效”指图（a）和图（c）的结点位移相等整体坐标系中的固端力为：将各分量反号并对号入座送到荷载列阵中去，即为等效结点荷载。任一结点i上的等效结点荷载FEi为：

如果除了非结点荷载的等效结点荷载FEi外，结点i上还作用有直接结点荷载FDi，则i点总的结点荷载为：结点i的综合结点荷载整个结构的综合结点荷载

各单元最后的杆端力是固端力和综合结点荷载作用下产生的杆端力之和，即和或表

:

单元固端约束力（局部坐标系）

荷载简图

始

端

1末

端

21

2

122abFP-表

:

单元固端约束力（局部坐标系）

3

4

表

:

单元固端约束力（局部坐标系）

5

6

表

:

单元固端约束力（局部坐标系）

7

计算步骤：（1）对结点和单元进行编号，选定整体坐标系和局部坐标系；（2）计算各杆的单元刚度矩阵；（3）形成结构原始刚度矩阵；（4）计算固端力、等效结点荷载和综合结点荷载；（5）引入支承条件，修改结构原始刚度方程，得到缩减总刚；（6）结算结构刚度方程，求出结点位移；（7）计算各单元杆端力。§3-7杆系结构有限元法的计算步骤和示例[K]

求单元常数[T]{F}原始数据、局部码、总码解方程{F}=[K]{}

求出结点位移{}开始单元刚度矩阵ke单元固端力e结束[K]{}={F}{FP}+=程序设计框图求杆端力eeee123430KN/m100KN50KN2m2m4mxy②①③10-1求图示刚架的内力。已知各杆材料及截面相同。（1）将单元、结点编号，确定坐标系，如图所示。（2）求出各单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵，见书P247。（3）将各单刚子块对号入座，形成结构原始刚度矩阵，见书P248。（4）计算非结点荷载作用下的各单元固端力、等效结点荷载及综合结点荷载。对局部坐标和整体坐标不一致的单元，要对刚度、荷载进行坐标转换。各单元在其局部坐标系下的固端力为：经过坐标转换，得到各单元在整体坐标系下的固端力为：结点2、3上的等效结点荷载为：结点2、3上的综合结点荷载为：123430KN/m100KN50KN2m2m4mxy②①③结构的结点外力列向量为这里，F1和F4应为综合结点荷载和支座反力的代数和，其中支座反力仍为未知量；引入支承条件时，F1和F4将被划掉，因此不必计算其等效结点荷载和综合结点荷载。结构原始刚度方程见书P256（5）引入支承条件，修改原始刚度方程。结点1、4为固定端，位移已知：代入原始刚度方程，得到修改后的结构刚度方程为（6）解方程，求得未知结点位移为：（7）计算各单元杆端力，见书P258。解:(1)

对应结点及各单元编号。

例3-3平面刚架如图所示，各杆截面相同。A=0.24m2,

E=1×107kN/m2,I=0.0072m4，试求各杆端力，并画出内力图。Cx单元单元坐标x轴αCy1→3①45°14×105

0.12×105

②2→30°2.8285×105

0.0849×105

0°lEAB=lEIi=3→410.707110.7070.12×105

4×105

(2)列出单元参数表

整体坐标表示的单元刚度矩阵公式

(3)列出单元刚度矩阵单元①，③为：

单元②为：

(4)集合总刚

123

4

(5)引入支座条件

取出自由结点3所对应的子块,构成考虑约束条件后的总刚度矩阵123

4

(6)计算荷载向量

先求出单元3的非结点荷载引起的固端内力，然后将固端内力反向加到结点上去。

荷载向量为(7)建立结构刚度方程并求解结构刚度方程为F=KΔ

即由此解出u3=7.428×105v3=－48.285×10-5θ3=47.995×10-5所以结点位移向量为：(8)计算杆端力Δ(e)可根据单元两端结点号直接由结点位移向量Δ中取出

1)计算单元坐标变换矩阵T(e)2)计算各单元的单元坐标表示的单元刚度矩阵3)计算各单元杆端力向量单元①单元②单元③作用非结点荷载,固端内力向量为

(9)画出结构内力图

解:(1)整理原始数据并编号。各跨的线刚度相等,i=EI／12。进行结点编号、位移编号、单元编号。

例3-4用矩阵位移法计算图所示的连续梁的内力。EI=常数。(2)建立结点位移向量Δ

(3)

建立各单元的定位向量

各单元的单元定位向量分别由该单元两端的位移编号组成:(4)计算单元刚度矩阵。连续梁的单元局部坐标系与结构整体坐标系平行，0

1

12

23有(5)

集成整体刚度矩阵K(注意定位与累加)

011223；；；(6)形成荷载向量F

计算单元固端内力；将固端内力反向加到结点上去；同一结点上同向的力叠加而成。荷载向量为:(7)建立结构整体刚度方程，并求解结点位移向Δ解得结点位移向量Δ为整体刚度方程K⊿=F(8)计算各杆的杆端内力

由

算得各杆的杆端内力（弯矩）为

由各杆的杆端内力（弯矩），则可绘出弯矩图。其结果与用力矩分配法计算的结果相同。

1、结点位移分量的编号，单元定位向量(2)对位移编号时，按结点的顺序进行，一个结点内的编号又按x方向、y方向的线位移和转角顺序进行。(1)对每一个结点编号，还要对每一个位移也编号。凡是约束对应的位移编为零号（前处理法）。

结点位移编号数组中的最后一个数就表示了该结构未知数的数目。

编号:§3-8几点补充说明

建立各单元的定位向量

单元的定位向量λ(e)

：把某一单元两端结点所对应的位移号按照由始端到末端的次序所列成的列向量称为该单元的定位向量。图示刚架各单元的定位向量为：形成总刚度矩阵

思考:定位向量中“零”所对应的单元刚度矩阵中的元素搬入总刚度矩阵中何位置？

按定位向量所指示的位置把单元刚度矩阵中的各元素搬入总刚度矩阵

2、总刚的带宽与存储方式

结构的总刚度矩阵具有大量的零元素，这种矩阵称为稀疏矩阵。同时，那些非零元素通常集中在主对角线附近的斜带形区域内，成为带状矩阵

在带状矩阵中，每行(列)从主对角线元素起至该行(列)最外一个非零元素止所包含的元素个数，成为该行(列)的带宽。某行(列)带宽=该行(列)结点位移分量号-最小相关结点位移分量号+1所有各行(列)带宽中的最大值称为矩阵的最大带宽最大带宽=相关结点位移分量号的最大差值+1等带宽存贮满阵存贮634512135642（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（13,14,15）（10,11,12）（16,17,18）

等半带宽与结点编码有关19层12343940总刚占用存贮单元:122021401922总刚占用存贮单元:39最大带宽=(相关结点编号的最大差值+1)×

3即:

最大带宽＝［max(j-i)+1］×33、关于支承条件的引入(1)置大数法（N为一个充分大的数）做法:取大数N,总刚中元素乘以N;并用替换若已知第j个位移分量为已知值

(2)化零置一法（精确方法）做法:(1)用[中的第j列]代替(2)将总刚中第j行第j列的非主对角元素置0;(3)将总刚中主对角元素置为1,总荷中元素置成经边界条件处理后的总刚称为结构刚度矩阵

4、先处理支承条件及忽略轴向变形影响

先处理法：将约束已经消除的结点位移排除在刚度方程之外。集成总刚度矩阵时根本不需考虑约束结点的存在。目的是减少未知数的数目，缩小总刚度矩阵的体积，减少计算工作量。

集成总刚阵时必须使用整体坐标表示的单元刚度矩阵。

用先处理法集成总刚阵时必须先建立各单元的定位向量λ根据定位向量的指引将单刚阵中的元素逐个搬入总刚度矩阵中。

用后处理法集成总刚阵时必须先集成原始总刚度矩阵。集成原始总刚阵时应根据结点编号情况指示矩阵G以子块搬家的方式将单刚阵中的子块逐个搬入总刚度矩阵中。如不考虑轴向变形的单元由6×6刚度矩阵划去1、4行和列后可得平面刚架程序的扩大功能:1.平面桁架2.桁梁组合体系3.斜向支座4.弹性支座5.弹性地基6.带铰结点的刚架

例3-5

平面桁架如图所示，各杆截面EA均为常数。已知F1=20kN,F2=30kN,F3=40kN，试用先处理法求各杆轴力。

解(1)对结点和单元编号。

(2)

列表表示各单元参数

→→→→→→单元参数表(3)

列出各单元的定位向量

(4)列出各单元刚度矩阵(整体坐标)并配以定位向量。

0

0010123

23000000

00230100(5)

集成总刚度矩阵

按照单元刚度矩阵各行列对应的定位向量中的数值将该元素搬入总刚阵中。得：

123

(6)建立刚度方程并求解刚度方程为：即解出

结点位移向量为(7)

计算单元杆端力（拉）由公式F(e)=K(e)

T(e)

Δ(e)，得单元②（拉）单元⑤

(压)

其他单元计算过程从略，结果为

④单元⑥单元

(拉)

单元③单元(压）

对于平面刚架单元，若单元上作用着非结点荷载，则单元的杆端力将由两部分构成。一部分是由结点位移所引起的，另一部分是非结点荷载作用而直接引起的杆端力,即固端内力。

单元的杆端力将是两部分之和,即这就是计算杆端力的完整的公式。固端内力向量可由固端内力表查得。

矩阵位移法与位移法在理论上并无区别，只是在表达方式上有所不同。(1)矩阵位移法的理论基础与一般位移法完全相同，只是表达方式不同。用矩阵形式表示具有更强的概括性。

(2)总刚度矩阵是由各单元刚度矩阵装配成的，只要找出了装配的规律，总刚度矩阵不必计算而可直接由单元刚度矩阵装配而成。(3)矩阵位移法与一般位移法解题步骤的对应关系可以由下表表示：§3-9总结

例：图示梁用矩阵位移法求解时的基本未知量数目为多少？解：基本未知量数目为2，即A点的竖向位移和转角。三、例题例：图示结构中单元①的定位向量为——。C.（001324）T

B.（234001）T

D.（324001）T

A.（001234）T

解：答案为B。

例：图示结构整体刚度矩阵K中元素k22等于（）

D.16EI/l

A.28EI/3l

B.12EI/l

C.20EI/3l

解：答案选A。

例：矩阵位移法中，结构的原始刚度方程是表示下列两组量值之间的相互关系：（）A．杆端力与结点位移B．杆端力与结点力

C．结点力与结点位移D．结点位移与杆端力

解：答案选C。

例：平面杆件结构用后处理法建立的原始刚度方程组,（）A．可求得全部结点位移B．可求得可动结点的位移C．可求得支座结点位移D．无法求得结点位移解：答案选D。

例：图示结构若考虑轴向变形，在未引入支撑条件时，其整体刚度矩阵K是____阶方阵。

解：答案为21×21。

例：图示结构若只考虑弯曲变形，括号中的数字为结点位移分量编码，则其整体刚度矩阵中元素k11等于（）.A.

B.

C.

D.

解：答案选D。

提示：在不考率轴向变形时，结点2和结点3只有水平位移和转角，杆件12对k11的贡献为12×（2EI）／l3，杆件34对k11的贡献为12×EI／（l／2）3。

例：用矩阵位移法计算图a所示连续梁,并画M图，EI=常数。q=12kN/m,l=6m。

解：

(1)建立坐标系、对单元和结点编号如图b，单元刚度矩阵

单元定位向量λ①=（0