理论力学第3章 力系的平衡条件与平衡方程

06二月2023北京邮电大学自动化学院1第3章

力系的平衡条件与平衡方程06二月2023北京邮电大学自动化学院2平衡若平面力系的主矢及对任一点的主矩等于零，即：

FR‘＝0

｝＝>平衡

ＭO＝006二月2023北京邮电大学自动化学院3平面力系的平衡条件和平衡方程平面力系平衡的必要且充分条件是：力系的主矢以及力系对任一点的主矩都等于零。即：FR'＝0，ＭO＝0

而FR'＝((∑Fxi）2+（∑Fyi）2)1/2，ＭO＝∑ＭO（F

i）

于是得：平面力系的平衡方程（基本形式）

∑Fxi

＝0

∑Fyi

＝0

∑ＭO（F

i）＝0

即：力系中各力在任选的两直角坐标轴上投影的代数和都等于零，以及力系中各力对任一点之矩的代数和也等于零。06二月2023北京邮电大学自动化学院4平衡方程的其他形式平面力系平衡方程除上面基本形式外，还可以写成如下两种形式:两矩一投影：∑ＭA（F

i）＝0

∑ＭB（Fi

）＝0

∑Fix

＝0

附加条件：X轴不垂直于A、B

二点的连线。三矩式：∑ＭA（Fi

）＝0

∑ＭB（Fi

）＝0

∑ＭC（F

i）＝0

附加条件：A、B、C

三点不共线。

必须指出：平面力系的平衡方程只有三个独立方程，因此只能求解三个未知量！06二月2023北京邮电大学自动化学院5平行分布线载荷的简化

若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布线载荷，简称线载荷。合力的大小等于线载荷所组成几何图形的面积。合力的方向与线载荷的方向相同。合力的作用线通过荷载图的形心。06二月2023北京邮电大学自动化学院6平行分布线载荷的简化3、梯形荷载

Q=(q1+q2)l/2(自己求合力的位置)2、三角形荷载Q=ql/21、均布荷载Q=ql06二月2023北京邮电大学自动化学院7刚体系统的平衡刚体系统的平衡:

是指组成系统的每一个刚体都处于平衡状态。这类问题是常见的工程实际问题。在研究刚体系统平衡问题时，应区分两种力：

外力：刚体系统以外的物体作用在系统上的力；

内力：组成系统的物体间相互作用的力。关键：建立方程组的概念！06二月2023北京邮电大学自动化学院8例题一题：单个物体的平衡已知：梁AD

的支承及受力如图所示。F

＝500N，FA＝1000N，q＝1000N/m，Ｍ＝2000N·m，a=2m

求：支座B、C

的约束反力06二月2023北京邮电大学自动化学院9例题一的解答

步骤１：选取研究对象：梁AD。

步骤２：受力分析如图所示：

步骤３：取坐标系，列平衡方程：

步骤４：求解，得：06二月2023北京邮电大学自动化学院10例题二题：物系的平衡

已知：构架如图所示,重物重P

＝10kN,AD

＝DB

＝2m，CD

＝DE

＝1.5m，滑轮半径为R，不计摩擦及杆、滑轮的重量。

求：杆BC

所受的力和杆AB

作用于销钉D

的力。06二月2023北京邮电大学自动化学院11例题二的解答解：选取研究对象：杆CE（带有销钉D）以及滑轮、绳索、重物组成的系统（小系统）受力分析如图，列平衡方程:解得：FC＝12.5kNFDX＝20kNFDY＝2.5kN06二月2023北京邮电大学自动化学院12例题三

求图示结构固定端的约束反力。解：先以BC为研究对象，受力如图。于是得：再以AB为研究对象，受力如图，建立如图坐标。AA06二月2023北京邮电大学自动化学院13例题四06二月2023北京邮电大学自动化学院14讲解：例题3-8课本第63页讨论图3-8（d）（e）的错误之处！例题3-9课本第65页讨论图3-9（d）（e）的错误之处！给出更一般的求解方法；06二月2023北京邮电大学自动化学院15课堂练习1求图示梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。解之得：06二月2023北京邮电大学自动化学院16课堂练习2组合结构的荷载和尺寸如图所示，求支座反力和各链杆的内力。解：先以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。解之得：06二月2023北京邮电大学自动化学院17多跨静定梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成，支撑和荷载情况如图所示，已知P=20kN，q=5kN⋅m，α=45°。求支座A、C的反力和中间铰B处的反力。课堂练习306二月2023北京邮电大学自动化学院1806二月2023北京邮电大学自动化学院19历史回顾之第2章例题一已知：悬臂式起重机OB=AB,θ=45.,重物D

重G=5kN,梁重OA不计。

求：钢索BC

的拉力及铰链O的反力06二月2023北京邮电大学自动化学院20历史回顾之第2章例题一：解解：1、选取研究对象：梁OA

2、画梁OA

的受力图：G、FB

、FO，构成一平面汇交力系，汇交点为E

点。

3、解析法，取坐标轴如图，列平衡方程：

解出：

FO

为负值，表示受力图中FO

假定方向与正确指向相反。06二月2023北京邮电大学自动化学院21历史回顾之第2章例题二求图示平面刚架的支反力。解：以刚架为研究对象，受力如图，建立如图坐标。由几何关系，解得06二月2023北京邮电大学自动化学院22历史回顾之第2章例题三

求图示简支梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图。解之得：06二月2023北京邮电大学自动化学院23静定与静不定的概念静定问题：未知量个数=独立的平衡方程个数静不定问题：未知量个数>独立的平衡方程个数06二月2023北京邮电大学自动化学院2406二月2023北京邮电大学自动化学院2506二月2023北京邮电大学自动化学院26摩擦角由图可知，角与静滑动摩擦系数的关系为：

当有摩擦时，支承面对平衡物体的反力包含法向反力和切向摩擦力,这两个力的合力称为支承面的全约束反力，即，它与支承面间的夹角将随主动力的变化而变化，当物体处于临界平衡状态时，角达到一最大值，如图，则称为摩擦角。角的变化范围为：06二月2023北京邮电大学自动化学院27自锁自锁：如果主动力的合力的作用线在摩擦角（锥）之内，则不论合力大小如何，物体总能平衡，这种情况称为自锁。如图所示。与主动力的大小无关而只与摩擦角有关的这一平衡条件，称为自锁条件：即φ≤φm

工程实例：千斤顶、固定螺纹等都是自锁条件的利用。06二月2023北京邮电大学自动化学院28滚动摩擦滚动摩擦：是指一物体沿另一物体表面相对滚动（或有相对滚动趋势）时接触面间产生的一种阻碍物体相对滚动的阻力偶，称为滚动摩擦，或称为滚阻。一般用Ｍ表示。06二月2023北京邮电大学自动化学院29滚动摩擦产生的物理原因实际上是面接触，分布在接触面上的约束力严格说是一空间力系，它的合力不一定通过A点。如将该力系向A点简化，即得法向反力FN、滑动摩擦力Fs

以及滚动摩擦力偶Ｍ。考虑滚动摩擦时的受力图通常如图所示。

思考：为什么自行车轮胎气不足时或者松软的地面上骑车人感到费力？06二月2023北京邮电大学自动化学院30滚动摩擦力偶的性质滚动摩擦力偶Ｍ具有如下性质（与滑动摩擦力性质类似）：

◆其大小由平衡条件确定；

◆转向与滚动趋势相反；

◆当滚子处于将滚未滚的平衡临界状态时，

Ｍ

=Ｍ

max=δFN

式中：δ—滚动摩擦系数，它的量纲为长度；

FN—法向反力（一般由平衡条件确定）。

由此得物体的平衡范围：

0≤FS≤Fmax（保证不滑动）

0≤

Ｍ≤Ｍ

max（保证不滚动）06二月2023北京邮电大学自动化学院31空间力系及其简化06二月2023北京邮电大学自动化学院32空间力系的简化(F1,F2,......Fn)<＝>(F1‘,F2’,......Fn‘)＋(Ｍ1＋Ｍ2......Ｍn)

其中:F