2022年高考数学一轮复习 二项式定理（精讲）（解析版）

8.5二项式定理（精讲）思维导图思维导图常见考法常见考法考点一无参数特定项的系数【例1】（1）（2021·吉林长春市·高三（理））展开式中，的系数是（）A． B． C． D．（2）（2021·河北唐山·）若，则（）A．56 B．448 C． D．（3）（多选）（2021·广东执信中学高三月考）在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（）A．B．展开式中没有常数项C．展开式所有二项式系数和为1024D．展开式所有项的系数和为256【答案】（1）B（2）D（3）BD【解析】（1）展开式的通项为，令，故，故选：B.（2）由题意，通项令可得故选：D（3）因为只有第5项的二项式系数最大，且第5项的二项式系数为，所以，A错误；因为，，因为，所以展开式中没有常数项，B正确；展开式所有二项式系数和为，C错误；令，可得展开式所有项的系数和为256，D正确．故选：BD.【一隅三反】1．（2021·四川省资中县第二中学高三月考（理））的二项展开式中含项的系数为（）A．240 B．16 C．160 D．60【答案】D【解析】展开式的通项为，令，所以含项的系数为，故选：D.2．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）已知等差数列的第项是展开式中的常数项，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由二项式定理，展开式中的常数项是，即，因为是等差数列，所以．故选：D．3．（2021·上海外国语大学附属大境中学高三月考）在的展开式中，有理项共有（）项A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】因为展开式的通项为，因为为整数且，所以可取，所以有理项一共有项，故选：C.4．（2021·全国高三专题练习（理））若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则（）A．11 B．10 C．9 D．【答案】C【解析】因为第5项二项式系数为，第6项的二项式系数为，由题意知，所以，即，所以，故选：C.考点二系数相关参数【例2】（1）（2021·贵州高三月考（理））在的展开式中，的系数是-10，则()A．-2 B．-1 C．1 D．2（2）（2021·全国高三）若的展开式中，含的项是第四项，则展开式中的二项式系数和为______．【答案】（1）D（2）256【解析】（1）展开式的通项公式为，令，得，由，得.故选：D.（2）由题意，二项式展开式的通项为，当时，，解得，则二项式系数和为256．故答案为：256【一隅三反】1．（2021·榆林市第十中学高三月考（理））在的展开式中的系数为20，则常数（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得二项展开式的通项公式为，依题意，令，则，，解得.故选：A.2．（2021·河南（理））已知，若与的展开式中的常数项相等，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，，令，解得，常数项为.在中，，令，解得，常数项为.所以，又因为，所以.故选：C3．（2021·广东西关外国语学校高三月考）展开式中的常数项为－160，则a＝（）A．－1 B．1 C．±1 D．2【答案】B【解析】的展开式通项为，∴令，解得，∴的展开式的常数项为，∴∴故选：B.考点三二项式（系数）和【例3】（1）（2021·四川省乐至中学高三月考（理））的展开式中，各项二项式系数的和是（）A．1 B．-1 C． D．（2）（2021·眉山市彭山区第一中学高三开学考试（理））已知，则（）A． B． C． D．（3）（2021·张家口市宣化第一中学高三月考）令，则（）A． B． C． D．【答案】（1）C（2）B（3）C【解析】（1）由题得各项二项式系数和为.故选：C（2）令，得，令，得，所以，故选：B（3）由题可知，，对等式，两边分别求导可得：，所以，令，有：，故选：C．【一隅三反】1．（2021·陕西高三（理））若展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，一次项系数为C，则（）A．4095 B．4097 C．-4095 D．-4097【答案】C【解析】由展开式的通项公式为，所以一次项系数，二项式系数和，令，则所有项的系数和，所以.故选：C.2．（多选）（2021·广东高州一中高三月考）已知，下列命题中，正确的是（）A．展开式中所有项的二项式系数的和为；B．展开式中所有奇次项系数的和为；C．展开式中所有偶次项系数的和为；D．.【答案】ACD【解析】A：由二项式知：，正确；当时，有，当有，B：由上，可得，错误；C：由上，可得，正确；D：由二项式通项知：，则，，…，，所以，正确.故选：ACD3．（多选）（2021·全国高三课时练习）已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，且展开式中各项系数之和为，则（）A．展开式中奇数项的二项式系数之和为B．展开式中第项的系数最大C．展开式中不存在常数项D．展开式中的系数为【答案】BD【解析】展开式中第项与第项的二项式系数相等，，解得：；令，则，又，；对于A，奇数项的二项式系数之和为，A错误；对于B，由，可知展开式中共有项，中间项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大，因为与的系数均为，所以该展开式的二项式系数与系数相同，所以第项的系数最大，B正确；对于C，展开式的通项，令，解得：，故该展开式中存在常数项，C错误；对于D，令，解得：，所以的系数为，D正确.故选：BD.4．（2021·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知，则=__________，=_____________．【答案】【解析】由题设，，则，即；对等式两边求导得：，∴当时，.故答案为：-240；0考点四多项式系数（和）【例4】（1）（2021·广西高三开学考试（理））展开式中常数项是__________．（2）（2021·吉林长春外国语学校高三开学考试（理））已知的展开式中常数项为240，则的展开式中项的系数为（）A． B． C． D．（3）（2021·乐清市知临中学）已知多项式，则______，______.【答案】（1）240（2）C（3）【解析】（1）二项展开式的通项为：，，令，解得，此时，令，解得，因为，所以不合题意，即的展开式中的常数项为240．故答案为：240.（2）设的展开式中常数项为第r+1项，又，∴∴∴的展开式中常数项为，∴，又∴∴的展开式中项为，∴的展开式中项的系数为.故选：C.（3）设，则，因为，所以，，因此，.故答案为：；.【一隅三反】1．（2021·广东高三月考）的展开式中，常数项为______．（用数字作答）【答案】【解析】，展开式的通项公式为，令，可得，所以.故答案为：2．（2021·全国高三月考（理））在展开式中，含项的系数为________．（结果用数值表示）【答案】【解析】展开式中，通项公式：，依题意，只需考虑时，即只需中项的系数，其展开式中通项．令，解得．.故答案为：70．3．（2021·浙江）的展开式中的常数项为32，则实数a的值为________；展开式中含项的系数为________.【答案】【解析】因为的展开式的通项公式为，所以的展开式中的常数项为，解得.所以的展开式中含项的系数为.故答案为：，4．（2021·全国高三专题练习）已知多项式，若，则正整数n的值为___________．【答案】5【解析】令，得，令，得，即，，显然，∴，又，∴，即，故．故答案为：5.考点五二项式定理的运用【例5】（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（理））已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（）A．1 B．3 C．7 D．13【答案】D【解析】由，∴要使恰能被14整除，只需能被14整除即可且，∴，当k=1时，m=13满足题意.故选：D【一隅三反】1．（2021·河北衡水中学高三月考）今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过天后是（）A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二【答案】C【解析】，故它除以7的余数为，故经过7天后还是星期日，那么经过天后是星期一，故选：C．2．（2021·江苏南通