2022年高考数学一轮复习 平面向量的应用（精练）（解析版）

10.3平面向量的应用（精练）【题组一平面向量与四心】1．（2021·重庆市长寿中学校）在中，是三角形的外心，过点作于点，，则=（）A．16 B．8 C．24 D．32【答案】D【解析】如图，,因为,所以，又因为是三角形的外心，所以,所以.故选：D2．（2021·广东高三月考）（多选）对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（）A．B．C．向量与共线D．过点的直线分别与、交于、两点，若，，则【答案】BCD【解析】A：为外心，则，仅当时才有，错误；B：由，又，故，正确；C：，即与垂直，又，所以与共线，正确；D：，又三点共线，则，故，正确.故选：BCD3．（2021·广东深圳市·深圳第三高中）（多选）在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（）A．满足，则点是的外心B．满足，则点是的重心C．满足，则点是的垂心D．满足，且，则为等边三角形【答案】ABCD【解析】对于，因为，所以点到的三个顶点的距离相等，所以为的外心，故正确；对于B，如图所示，为的中点，由得：，所以，所以是的重心，故B正确；对于C，由得：，即，所以；同理可得：，所以点是的垂心，故C正确；对于D，由得：角的平分线垂直于，所以；由得：，所以，所以为等边三角形，故D正确．故选：ABCD．4．（2021·深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考）（多选）已知为所在平面内一点，则下列正确的是（）A．若，则点在的中位线上B．若，则为的重心C．若，则为锐角三角形D．若，则与的面积比为【答案】ABD【解析】对于A，设中点为，中点为，，，，即，三点共线，又为的中位线，点在的中位线上，A正确；对于B，设中点为，由得：，又，，在中线上，且，为的重心，B正确；对于C，，与夹角为锐角，即为锐角，但此时有可能是直角或钝角，故无法说明为锐角三角形，C错误；对于D，，为线段上靠近的三等分点，即，，D正确.故选：ABD.5．（2021·全国高三专题练习）（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（）A．已知平面向量、、满足，且，则是等边三角形B．若，则点为的垂心C．若，则点为的外心D．若，则点为的内心【答案】AC【解析】选项A，平面向量、、满足，且，，，即，，，的夹角为，同理、的夹角也为，是等边三角形，故A正确；选项B，向量，分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心而不一定是垂心，故B错误；选项C，是以，为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示对角线垂直，从而这个平行四边形是菱形，即，同理有，于是为的外心，故C正确；选项D，由得，，即，，同理可证，，，，，即点是的垂心而不一定时内心，故D错误．故选：AC．6．（2021·全国高三月考（理））在中，点为的外心，，则______.【答案】18【解析】因为点为的外心，取点为的中点，则，所以.故答案为：【题组二平面向量与三角函数】1．（2021·辽宁高三月考）在中，内角所对的边分别为，若则的形状是（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【答案】B【解析】因为，所以所以，所以故为等边三角形.故选：B.2．（2021·河南高三月考（理））在中，角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是______．【答案】【解析】设是中点，则，，又，所以，当且仅当时等号成立．所以，．故答案为：．3．（2021·河南商丘·高三月考（理））在中，，，为的垂心，且满足，则___________.【答案】【解析】如图所示，为的中点，不妨设，则.因为，则，则，，由此可得.故答案为：.4．（2021·河南商丘·高三月考（理））在中，，，为的垂心，且满足，则___________.【答案】【解析】如图所示，为的中点，不妨设，则.因为，则，则，，由此可得.故答案为：.5．（2021·河南商丘·高三月考（理））在中，，，为的垂心，且满足，则___________.【答案】【解析】如图所示，为的中点，不妨设，则.因为，则，则，，由此可得.故答案为：.6．（2021·河南商丘·高三月考（理））在中，，，为的垂心，且满足，则___________.【答案】【解析】如图所示，为的中点，不妨设，则.因为，则，则，，由此可得.故答案为：.7．（2021·浙江温州·高三）已知中，边上的高为2，H为上一动点，满足，则的最小值是__________．【答案】8【解析】因为，H为上一动点，即B，H，C三点共线，由共点的三个向量，终点共线的充要条件得，中，边上的高AD=2，如图：令AB=c，AC=b，则，则，所以，当且仅当时取“=”，所以当时，取最小值8．故答案为：8．8．（2021·上海黄浦·格致中学高三月考）已知．（1）若，求的值；（2）设，将函数的图像向右平移个单位长度得到曲线，保持上各点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的倍得到的图像，且关于的方程在上有解，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】(1)因，且，则有，即，于是得，所以的值是；(2)依题意，，，因，则，有，于是得，因方程在上有解，即在上有解，则，所以的取值范围是.9．（2021·安徽裕安·六安二中高三月考）己知，，.（1）将函数的图象向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递减区间；（2）若函数，关于的方程在上有解，求m的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）将函数的图象向左平移个单位长度可得再将各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得由，，得：，，∴的单调递减区间为，；（2）依题意，不等式在有解，设，令，则，∵，∴，∴∴，则，，∴当时，取得最小值，∴，故实数的取值范围为.10．（2021·湖北高三月考）已知向量，.（1）若，且，求的值；（2）若函数，且，求的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）由，得，即，所以或.当时，，则；当时，得，，则.综上，x的值为或.（2）.由，得，所以.【题组三平面向量与数列】1．（2021·全国高三专题练习）设数列的各项都为正数且，内的点均满足与的面积比为，若，则的值为__．【答案】31【解析】延长，交于，因为与的面积比为，故到的距离为到的距离的两倍，故，故即，，，因为且共线，为三角形内部的点，故存在非零常数，使得，所以，故，故，即，又，故，所以，即是以2为首项，以2为公比的等比数列，故，，故，故答案为：31．2．（2021·全国高三专题练习）在中，是上一点，且，点列在线段上，且满足，若，则数列的通项__．【答案】【解析】由题可知，，即，又，故点在线段的延长线上且为的中点，故，故，又点列在线段上，故共线，而，，所以，故数列为等比数列，所以通项，故答案为：．3．（2021·全国高三专题练习（理））已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，，，满足，，，若，，在同一直线上，则___________.【答案】【解析】设，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以是周期为的周期数列，因为，所以，所以，所以，故答案为：.4．（2021·全国高三专题练习）设，，是一组向量，若，且，且，则__【答案】【解析】设，，则，，由，且，，，，，，，……，……，，累加可得，，，，，，故答案为：【题组四平面向量与其他知识】1（2021·四川高三（理））设椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线与交于，两点（点在轴上方），且满足，则直线的斜率为______.【答案】【解析】方法1：设，，由题意可设直线的方程为.由，得，则有.①由消去，得.则，②；.③由①②得，代入③得即，则的斜率为.方法2：设，，则，.由，得，即，①由，得，即.②由①②得，，则，则直线倾斜角为60°.方法3：如图，设直线的倾斜角为，为椭圆的右准线，过点作交于点，过点作垂直于轴，且交轴于点，过点作交于点，过点作垂直于轴，且交轴于点，则有，即；，即.而，则，即，解得，则直线的斜率为.故答案为：2．（2021·四川高三（文））设椭圆的左，右焦点分别为，，过作倾斜角为45°的直线与交于，两点（点在轴上方），且，则______.【答案】【解析】设，，由题意知直线的方程为.由，得，则有.①由消去，得.所以，，代入①得.故答案为：3．（2021·广东广州市·高三月考）已知椭圆的左焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A，B两点（点B在x轴上方），且，则椭圆的离心率为___________.【答案】【解析】设，由题意知，的斜率为，则直线方程为，设，联立直线和椭圆的方程得，整理得，则，，且，可得，则，，所以，可得，所以故答案为：．4．（2021·沙坪坝·重庆一中高三月考）已知双曲线的左、右焦点分別为，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，且，则双曲线C的离心率的取值范围为________．【答案】【解析】由题意，双曲线C的渐近线为，若过作直线l垂直于B，交于A，.∵且，∴在、之间，如上图示，令，∴，，则，，∴，即，∴，故，得，又，∴.故答案为：【题组五最值（范围）】1．（2021·全国（文））已知是等腰直角三角形，，，是平面内一点，则的最小值为（）A． B．4 C．6 D．【答案】A【解析】如图建立坐标系，则，设,最小值为-4，故选：A.2．（2021·天津南开·高三）在直角梯形中，，，，为边上一点，，为直线上一点，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】以为原点，、所在的直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以，设，则，，因为，所以，解得，，所以直线所在的直线方程为，设，，，所以，因为为直线上一点，所以当时有最大值，为，故选：C.3（2021·全国高三专题练习）已知A，是圆上的两个动点，且满足，点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设AB中点为M，则，且，所以M在以O为圆心，1为半径的圆上，所以，又M的轨迹方程为：，所以P到M轨迹的圆心的距离，所以的最小值为d-r=3-1=2，所以的最小值为.故选：C4．（2021·江西上饶·高三（理））如图，是圆的一条直径且，是圆的一条弦，且，点在线段上，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，，为使最小，只需，根据圆的性质可得，此时为中点时；又，因此，所以的最小值为.故选：B.5．（2021·全国高三专题练习）已知向量，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值是_________．【答案】【解析】由向量三角不等式的关系，又对任意单位向量，，当且仅当与共线时等号成立又则的最大值是．故答案为：6．（2021·浙江省富阳中学）在平面内，若有，，则的最大值为________．【答案】【解析】根据条件，；；，如图，作，则，连接，取的中点，连接，则；由得，；；作，连接，，则；；点在以为直径的圆上；当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，即最大；又,又,且,所以,所以在上的最大投影为，所以,故答案为：7．（2021·浙江省普陀中学高三开学考试）已知平面向量、、满足，，，则的取值范围为______．【答案】【解析】如图，设