2017年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆的定义与标准方程同步练习湘教版1-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE7学必求其心得，业必贵于专精2。1。1椭圆的定义与标准方程1．椭圆x2＋eq\f（y2,k）＝1的一个焦点是(0，eq\r(5））,那么k等于（)．A．－6B．6C．eq\r（5）＋1D．1－eq\r（5）2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()．A．（0，＋∞)B．（0,2)C．（1，＋∞)D．（0,1）3．方程eq\r（(x－2)2＋y2）＋eq\r((x＋2)2＋y2)＝10化简的结果是（)．A．eq\f（x2，25）＋eq\f（y2，16）＝1B．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,21）＝1C．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2，4）＝1D．eq\f（y2，25)＋eq\f(x2，21)＝14．椭圆eq\f（x2,16)＋eq\f（y2,25）＝1的焦点坐标为(）．A．（±4，0）B．（0，±4）C．(±3,0)D．(0，±3)5．椭圆eq\f(x2,12）＋eq\f（y2,3)＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1｜是|PF2｜的（)．A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍6．已知F1，F2为椭圆eq\f(x2,25）＋eq\f(y2,9)＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A｜＋｜F2B|＝12，则|AB|＝________.7．椭圆eq\f(x2，9)＋eq\f（y2，2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若｜PF1｜＝4，则｜PF2|＝__________，∠F1PF2的大小为__________．8．已知动圆M过定点A（－3，0),并且在定圆B:（x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切,则动圆圆心M的轨迹方程是__________．9．已知A,B两点的坐标分别是(－1，0)，（1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为m(m＜0)，求点M的轨迹方程并判断其轨迹的形状．10．求焦点在坐标轴上，且经过A（eq\r(3)，－2)和B（－2eq\r（3），1)两点的椭圆的标准方程．

参考答案1．B由焦点坐标为（0，eq\r(5)），知焦点在y轴上，∴k－1＝(eq\r(5））2。∴k＝6。2．D∵x2＋ky2＝2，∴eq\f(x2,2)＋eq\f(y2，\f（2,k）)＝1.∵焦点在y轴上，∴∴0＜k＜1.3．B此题可从椭圆的定义入手．方程表示动点（x,y)到（2,0）与（－2，0)的距离之和等于10,且10大于两定点的距离4，故该动点（x，y）的轨迹为椭圆．∴2a＝10,即a＝5。又c＝2，∴b2＝a2－c2＝21.∴方程为eq\f(x2，25）＋eq\f(y2，21)＝1.4．D根据椭圆的方程形式,知椭圆的焦点在y轴上，且c＝eq\r（25－16)＝3.故焦点坐标为(0，±3)．5．A不妨设F1(－3,0)，F2（3，0），P(x，y），由题意,知eq\f(x－3,2)＝0，即x＝3，代入椭圆方程，得y＝±eq\f（\r(3)，2),故P点坐标为(3，±eq\f（\r（3），2）），即|PF2｜＝eq\f(\r(3),2）。由椭圆的定义知|PF1｜＋|PF2|＝2a＝4eq\r（3），∴｜PF1｜＝eq\f(7\r(3）,2），即｜PF1|＝7｜PF2|.6．8由椭圆的定义知（|BF1｜＋｜BF2|）＋（｜AF1｜＋｜AF2|)＝4a＝20.又∵｜AB｜＝｜AF1｜＋|BF1｜,｜F2A｜＋|F2∴｜AB|＋12＝20。∴|AB|＝8。7．2120°解析：∵｜PF1｜＋|PF2|＝2a∴|PF2｜＝6－|PF1｜＝2。在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝，∴∠F1PF2＝120°。8．eq\f（x2，16）＋eq\f（y2，7)＝1设动圆M和定圆B内切于点C，动圆圆心M到定点A(－3,0)，定圆B的圆心B（3，0)的距离之和恰好又等于定圆B的半径长，即｜MA｜＋｜MB|＝｜MC|＋|MB｜＝｜BC｜＝8。所以动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，并且2a＝8,2c＝6，所以b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(7）。所以动圆圆心M的轨迹方程是eq\f（x2,16)＋eq\f(y2，7)＝1.9．解：设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－1，0)，所以直线AM的斜率为kAM＝eq\f（y,x＋1)（x≠－1）．同理，直线BM的斜率为kBM＝eq\f(y，x－1)(x≠1)．由已知,有eq\f（y，x＋1)×eq\f(y，x－1)＝m(x≠±1)，化简得点M的轨迹方程为x2＋eq\f(y2,－m）＝1(x≠±1）．当m＝－1时，M的轨迹方程为x2＋y2＝1（x≠±1），M的轨迹是单位圆去掉两个点(±1,0）．当－1＜m＜0时，M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆去掉两个点(±1,0）．当m＜－1时，M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆去掉两个点（±1，0）．10．解法一：（1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．依题意，有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（（\r(3）)2,a2)＋\f（(－2)2,b2)＝1,,\f（(－2\r（3））2，a2）＋\f（1,b2)＝1，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a2＝15，，b2＝5.）)所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,15)＋eq\f（y2，5）＝1。(2）当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为eq\f（y2,a2)＋eq\f(x2,b2）＝1（a＞b＞0)．依题意，有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（（－2)2,a2)＋\f（(\r（3））2，b2）＝1，，\f（1，a2)＋\f(（－2\r(3）)2，b2）＝1,）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a2＝5,,b2＝15.)）因为a＜b，所以方程无解．故所求椭圆的标准方程为eq\f（x2，15)＋eq\f(y2,5)＝1.解法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0,n＞0，且m≠n)．依题意,有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(3m＋4n＝1，，12m＋n＝1,）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m