2022年高考数学一轮复习 等比数列（精讲）（解析版）

6.2等比数列（精讲）思维导图思维导图常见考法常见考法考点一等比数列基本量的运算【例1】（1）（2021·安徽合肥市）设正项等比数列的前项和为，若，，则（）A． B．2 C． D．4（2）（2020·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1【答案】（1）A（2）B【解析】（1）设等比数列的公比为且由，所以又，则所以即，所以故选：A（2）设等比数列的公比为，由可得：，所以，因此.故选：B.【一隅三反】1．（2021·全国）设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3=a4﹣3，3S2=a3﹣3，则公比q=（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】根据题意，等比数列{an}中，有3S3=a4﹣3，3S2=a3﹣3，则有3S3﹣3S2=(a4﹣3)﹣(a3﹣3)，即3a3=(a4﹣a3)，所以a4=4a3，即q=4；故选：B.2（2021·广东）已知等比数列为，则该数列的第二十项为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由等比数列的前四项分别为，知该数列是首项为，公比为的等比数列，则通项，得.故选：B.3．（2021·临川一中实验学校）已知是等比数列的前项和，若，，则数列的公比是（）A．8 B．4 C．3 D．2【答案】D【解析】由，所以，.故选：D.4．（2021·陕西西安市）等比数列中，，．设为的前项和，若，则的值为（）．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】设公比为，因为，所以，解得或，当时，，解得；当时，，无解，故选:B.考点二等比数列的性质【例2】（1）（2021·山西）若三个数1，2，m成等比数列，则实数（）A．8 B．4 C．3 D．2（2）（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）若1，，，，4成等比数列，则（）A．16 B．8 C． D．（3）（2021·四川雅安市）若是等比数列，且前项和为，则=（）A． B． C．-1 D．1（4）（2021·正阳县高级中学）设等比数列的前项和为，若，，则（）A．66 B．65 C．64 D．63【答案】（1）B（2）B（3）B（4）B【解析】（1）因为为等比数列，故即，故选：B.（2）因为1，，，，4成等比数列，，，(负不合题意，奇数项符号相同)，则，故选：B.（3）由，得，，，因为是等比数列，所以，即，得.故选：B（4）由题知：，，，所以，，成等比数列，即5，15，成等比数列，所以，解得.故选：B.【一隅三反】1．（2021·全国高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列∴，∴，∴.故选：A.2．（2021·西藏拉萨市）等比数列各项均为正数，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，又，，，故选：A.3．（2021·陕西渭南市）在等比数列中，是方程的根，则的值为（）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】因为在等比数列中，是方程的根，所以，所以，由等比数列的性质得，所以，所以，故选：B4．（2021·吉林吉林市·高三三模）已知是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（）A． B．或2 C． D．或【答案】B【解析】由是和的等比中项，可得，当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的椭圆，离心率，当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的双曲线，离心率，故选：B.5．（2020·全国高考真题（理））数列中，，，若，则（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，则，解得.故选：C.6．（2021·辽宁沈阳市·高三一模）在正项等比数列中，，则______．【答案】10【解析】因为，所以，即，因为数列是正项数列，所以，故答案为：.考点三等比数列的证明或判断【例3】（1）（2021·全国高三其他模拟）已知数列满足，，，求证：数列是等比数列；（2）（2021·四川成都市）已知各项均为正数的数列满足：，，.若，求证：数列为等比数列，并求的通项公式；【答案】证明见解析；【解析】（1）因为，所以，因为，所以，，因为，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，.（2）且，，，即，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；，，…，，各式相加可得：，，；【一隅三反】1.（2021·全国课时练习）以下条件中，能判定数列是等比数列的有（）①数列1，2，6，18，…；②数列中，已知，；③常数列，，…，，…；④数列中，，其中.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列.故选：A.2．（2021·全国高三专题练习）已知数列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且满足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2.求证：数列{an－bn}为等比数列；【答案】证明见解析【解析】证明：an－bn＝(3an－1－bn－1)－(an－1－3bn－1)＝2(an－1－bn－1)，即，又a1－b1＝3－(－1)＝4，所以{an－bn}是首项为4，公比为2的等比数列；3．（2021·陕西）已知数列{an}满足a1=2，an+1=4an-3n+1，(n∈N*)”.（1）证明：数列{an-n}是等比数列；（2）求出{an}的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：由an+1=4an-3n+1得an+1-(n+1)=4(an-n)，n∈N*.因为a1-1=1≠0，所以an-n≠0，所以，所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列.（2）由（1）可知，所以数列{an}的通项公式为.4．（2021·浙江金华市·高三三模）已知数列{an}满足，，，成等差数列，证明:数列是等比数列，并求{an}的通项公式；【答案】证明见解析，；【解析】由已知得4an+1=3an+anan+1,∵a1≠0，∴由递推关系可得an≠0恒成立，∴,∴，即,又∵,∴数列是首项为，公比为的等比数列，，,；考点四实际生活中的等比数列【例4】（2021·河南新乡市·高三三模（文））《九章算术》卷第三中有个关于织布的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”，意思为“今有一女子善于织布，每天所织布是前一天的两倍，她五天织布五尺，试问她每天各织布多少”，则该女子第三天织布___________尺.【答案】【解析】依题意可知该女子前5天所织布的尺数依次成公比为2的等比数列，设她第一天织布尺，则，解得，∴她第三天织布尺数为.故答案为：.【一隅三反】1．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十四里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，七朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走254里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了7天后到达目的地，请问第四天走了（）A．64里 B．32里 C．16里 D．8里【答案】C【解析】由题意知：此人每天所走里程成等比数列.且.解得：,所以.故选：C.2．（2021·山西高三其他模拟（理））明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为，则有，解得，从塔底数第二层灯的盏数为，故选：C.3．（2021·广东中山市）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（）A．“宫、商、角”的频率成等比数列 B．“宫、徵、商”的频率成等比数列C．“商、羽、角”的频率成等比数列 D．“徵、商、羽”的频率成等比数列【答案】A【解析】设“宫”的频率为，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是；“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率是，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率是；最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是，由于成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列．故选：A．考点五等比数列的最值【例5】（1）（2021·全国高三）在等比数列中，，则的最大值是（）A． B． C． D．（2）（2021·全国高三专题练习）（多选题）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，下列结论正确的是（）A．S2019<S2020 B．C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值【答案】（1）B（2）AB【解析】（1）由等比数列性质知：，（当且仅当时取等号），，，即的最大值为.故选：B.【解析】当时，，不成立；当时，，不成立；故，且，故，正确；，故正确；是数列中的最大值，错误；故选：【一隅三反】1．（2021·北大附中深圳南山分校高三一模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn+1>Sn”是“{an}单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】，例如，但是数列不单调递增，故不充分；数列单调递增，例如，但是，故不必要；故选：D2．（2021·山东菏泽市·高三一模）在等比数列中，若则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，不满足题意;当时，等式左边，所以，等式右边，不满足题意，所以，，则中奇数项为正，偶数项为负．故选B.3．（2021·浙江）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上，而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，如图所示当时，如下图所示，当公差时，如下图所示，如图可知当时，，，，.故选：D4．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（理））数列是等比数列，首项为，公比为，则“”是“数列递增”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由已知，解得或，，此时数列不一定是递增数列；若数列为递增数列，可得或，所以“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件.故选：B.5（2021·辽宁丹东市·高三月考）等比数列的公比为，前项积，若，，，则