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3.4随机变量的独立性与条件分布第三章随机变量的联合概率分布一、随机变量的独立性:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)

.1、边缘分布函数:由于X和Y都是随机变量,所以各有其分布函数.将X的分布函数FX(x),称为(X,Y)关于X的边缘分布函数;将Y的分布函数FY(y),称为(X,Y)关于Y的边缘分布函数.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),2、随机变量X和Y相互独立:2、X和Y相互独立的充要条件:例3.8设(X,Y)～N(μ1,μ2,σ12,σ22

,ρ),求证:X与Y相互独立的充要条件是ρ=0解

若(X,Y)～N(μ1,μ2,σ12,σ22

,ρ),则联合密度函数为因为例3.9设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为Y

X

1

2

3

12

1/6

1/91/18

1/3

α

β问当α

,β取何值时,X与Y相互独立?X12P1/3

1/3+α+β解

X及Y的边缘分布律为Y123P1/2

1/9+α1/18+β若X与Y相互独立,则有例3.10设X与Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的密度函数为设有a的二次方程为a2+2aX+Y=0,求此方程有实根的概率.Oy1又X与Y相互独立,故(X,Y)的联合密度为而含有a的二次方程有实根的判别式为由图所示,得x1二、条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量,其联合分布律为引入:1、定义3.6:设(X,Y)是二维离散型随机变量,若对固定的例3.11一袋中装有1个红球,2个白球,3个黑球,从中任取4球,以X,Y分别表示4球中红球及白球的数量,求(1)(X,Y)的联合分布;(2)写出当X=0时Y的条件分布律;(3)写出当X=1时Y的条件分布律.解(1)由题意知X可能的取值是0,1;

Y可能的取值是0,1,2;

于是(X,Y)的联合分布律为Y

X

0

1

2

01

0

2/153/15

1/15

6/15

3/15(2)由(X,Y)的联合分布律知X的边缘分布为X01P1/15

10/15由条件分布定义可知(3)与(2)类似地对于二维连续型随机变量(X,Y),因为对于任意不能直接利用条件概率定义.设(X,Y)是二维连续型随机变量,其联合概率密度函数为f(x,y),(X,Y)关于Y的边缘密度函数为fY

(x).对于任意给定的y及任意固定的ε>0,对于任意x,考虑条件概率当ε很小时,由于于是有2、定义3.7:设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),(X,Y)关于Y的边缘密度函数为fY(y).若对于固定的y,fY(y)>0,类似可定义例3.10设二维随机向量

(X,Y)在曲线y=x2及y=x

所围成的区域上服从均匀分布,求解设曲线y=x2及y=x围成的区域为G,如图所示,则G的面积y=xx1y=x2Oy1G由于(X,Y

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