高中数学北师大版2第四章数系的扩充与复数的引入 章末分层突破

章末分层突破[自我校对]①－1②a＝c，b＝d③eq\x\to(z)＝a－bi④Z(a，b)⑤Oeq\o(Z,\s\up6(→))⑥a＋c⑦(b＋d)i⑧(a－c)＋(b－d)i________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________复数的概念正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数．【精彩点拨】根据复数的分类列方程求解．【规范解答】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x－3>0，①,log2x－3＝0，②,x－3>0，③))由②得x＝4，经验证满足①③式．所以当x＝4时，z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x－3>0，①,log2x－3≠0，②,x－3>0，③))由①得x>eq\f(3＋\r(21),2)或x<eq\f(3－\r(21),2).由②得x≠4，由③得x>3.所以当x>eq\f(3＋\r(21),2)且x≠4时，z为虚数．[再练一题]1．设i是虚数单位，若复数a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3 B．－1C．1 D．3(2)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是__________．【解析】(1)因为a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝a－eq\f(103＋i,10)＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i.由复数相等的充要条件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－b＝－3，,a＋1＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故复数z的实部是1.法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝eq\f(－3＋2i,i)＝2＋3i，故z＝1＋3i，即复数z的实部是1.【答案】(1)D(2)1复数的四则运算复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z·eq\x\to(z)为实数．(1)设i是虚数单位，eq\o(z,\s\up6(－))表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则eq\f(z,i)＋i·eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．－2 B．－2iC．2 D．2i(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()A．2＋3i B．2－3iC．3＋2i D．3－2i【精彩点拨】(1)先求出eq\x\to(z)及eq\f(z,i)，结合复数运算法则求解．(2)利用方程思想求解并化简．【规范解答】(1)∵z＝1＋i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝1－i，eq\f(z,i)＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(－i2＋i,i)＝1－i，∴eq\f(z,i)＋i·eq\o(z,\s\up6(－))＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋eq\f(5,2－i)＝2i＋eq\f(52＋i,2－i2＋i)＝2i＋2＋i＝2＋3i.【答案】(1)C(2)A[再练一题]2．已知(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i，则eq\f(z,\x\to(z))的值为()\f(3,5)＋eq\f(4,5)i B．eq\f(3,5)－eq\f(4,5)iC．－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i D．－eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i【解析】因为(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i，所以eq\x\to(z)＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1－2i,5)＝2－i，所以z＝2＋i，所以eq\f(z,\x\to(z))＝eq\f(2＋i,2－i)＝eq\f(2＋i2,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i.【答案】A复数的几何意义1.复数的几何表示法：即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．(1)在复平面内，复数eq\f(i,1＋i)对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)在复平面内，复数eq\f(1－2i,2＋i)对应的点的坐标为()A．(0，－1) B．(0,1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5)))【精彩点拨】先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标．【规范解答】(1)复数eq\f(i,1＋i)＝eq\f(i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1＋i,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i.∴复数对应点的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2))).∴复数eq\f(i,1＋i)在复平面内对应的点位于第一象限．故选A.(2)∵eq\f(1－2i,2＋i)＝eq\f(1－2i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(－5i,5)＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A.【答案】(1)A(2)A[再练一题]3．(1)已知复数z对应的向量如图4­1所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是()图4­1(2)若i为虚数单位，图4­2中复平面内点Z表示复数z，则表示复数eq\f(z,1＋i)的点是()图4­2A．E B．FC．G D．H【解析】(1)由题图知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1对应的向量应为选项A.(2)由题图可得z＝3＋i，所以eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．【答案】(1)A(2)D转化与化归思想一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．设z∈C，满足z＋eq\f(1,z)∈R，z－eq\f(1,4)是纯虚数，求z.【精彩点拨】本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.【规范解答】设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋eq\f(1,z)＝x＋yi＋eq\f(1,x＋yi)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(x,x2＋y2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(y,x2＋y2)))i，∵z＋eq\f(1,z)∈R，∴y－eq\f(y,x2＋y2)＝0，解得y＝0或x2＋y2＝1，又∵z－eq\f(1,4)＝x＋yi－eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))＋yi是纯虚数．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)＝0，,y≠0，))∴x＝eq\f(1,4)，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±eq\f(\r(15),4)，∴复数z＝eq\f(1,4)±eq\f(\r(15),4)i.[再练一题]4．满足z＋eq\f(5,z)是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．【解】设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，则z＋eq\f(5,z)＝x＋yi＋eq\f(5,x＋yi)＝x＋eq\f(5x,x2＋y2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5y,x2＋y2)))i，z＋3＝x＋3＋yi.由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－\f(5y,x2＋y2)＝0，,x＋3＝－y，))因为y≠0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝5，,x＋y＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－1.))所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件．1．(2023·全国卷Ⅱ)设复数z满足z＋i＝3－i，则eq\x\to(z)＝()A．－1＋2i B．1－2iC．3＋2i D．3－2i【解析】由z＋i＝3－i得z＝3－2i，∴eq\x\to(z)＝3＋2i，故选C.【答案】C2．(2023·广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则eq\x\to(z)＝()A．2－3i B．2＋3iC．3＋2i D．3－2i【解析】∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴eq\x\to(z)＝2－3i.【答案】A3．(2023·山东高考)若复数z满足eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋i【解析】由已知得eq\x\to(z)＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i，故选A.【答案】A4．(2023·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝()A．－3 B．－2C．2 D．3【解析】(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得【答案】A5．(2023·北京高考)复数eq\f(1＋2i,2－i)＝()A．i B．1＋iC．－i D．1－i【解析】eq\f(1＋2i,2－i)＝eq\f(1＋2i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(5i,5)＝i.【答案】A6．(2023·四川高考)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝()A．0 B．2C．2i D．2＋2i【解析】(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.【答案】C7．(2023·天津高考)i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．【解析】因为(1＋i)z＝2，所以z＝eq\f(2,1＋i)＝1－i，所以其实部为1.【答案】18．(2023·江苏高考)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．【解析】因为z＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5.【答案】5章末综合测评(四)数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a，b∈C，下列命题正确的是()A．3i<5i B．a＝0⇔|a|＝0C．若|a|＝|b|，则a＝±b D．a2≥0【解析】A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，b∈R时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))，但i≠－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i或eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i；D选项中，当a∈R时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2＝－1<0.【答案】B2．i是虚数单位，则eq\f(i,1＋i)的虚部是()\f(1,2)i B．－eq\f(1,2)i\f(1,2) D．－eq\f(1,2)【解析】eq\f(i,1＋i)＝eq\f(i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1＋i,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i.【答案】C\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋i)))＝()A．2eq\r(2) B．2\r(2) D．1【解析】由eq\f(2,1＋i)＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＝eq\f(2－2i,2)＝1－i，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋i)))＝|1－i|＝eq\r(2).故选C.【答案】C\x\to(z)是z的共轭复数．若z＋eq\x\to(z)＝2，(z－eq\x\to(z))i＝2(i为虚数单位)，则z＝()A．1＋i B．－1－iC．－1＋i D．1－i【解析】法一：设z＝a＋bi，a，b为实数，则eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，∵z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝2a＝2，∴a＝1.又(z－eq\o(z,\s\up6(－)))i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.法二：∵(z－eq\o(z,\s\up6(－)))i＝2，∴z－eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(2,i)＝－2i.又z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝2，∴(z－eq\o(z,\s\up6(－)))＋(z＋eq\o(z,\s\up6(－)))＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.【答案】D5．复数eq\f(i,1－i)的共轭复数为()A．－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i \f(1,2)＋eq\f(1,2)i\f(1,2)－eq\f(1,2)i D．－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i【解析】∵eq\f(i,1－i)＝eq\f(i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(－1＋i,2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴其共轭复数为－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i.故选D.【答案】D6．下面是关于复数z＝eq\f(2,－1＋i)的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()A．p2，p3 B．p1，p2C．p2，p4 D．p3，p4【解析】∵z＝eq\f(2,－1＋i)＝－1－i，∴|z|＝eq\r(－12＋－12)＝eq\r(2)，∴p1是假命题；∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；∵eq\x\to(z)＝－1＋i，∴p3是假命题；∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．其中的真命题为p2，p4.【答案】C7．复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数是()A．－2＋3i B．－3－2iC．2－3i D．3－2i【解析】设D(x，y)，由平行四边形对角线互相平分得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2＋－2,2)＝\f(3＋x,2)，,\f(3＋－3,2)＝\f(2＋y,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2，))∴D(－3，－2)，∴对应复数为－3－2i.【答案】B8．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则()A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2C．a≠－1 D．a≠2【解析】要使复数不是纯虚数，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a－2≠0，,|a－1|－1≠0，))解得a≠－1.【答案】C9．若a，b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在()【导学号：67720237A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解析】复数对应点的坐标为(a2－6a＋10，－b2＋4b又∵a2－6a＋10＝(a－3)2－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0.∴复数对应的点在第四象限．故选D.【答案】D10．如果复数z＝3＋ai满足条件|z－2|<2，那么实数a的取值范围是()A．(－2eq\r(2)，2eq\r(2)) B．(－2,2)C．(－1,1) D．(－eq\r(3)，eq\r(3))【解析】因为|z－2|＝|3＋ai－2|＝|1＋ai|＝eq\r(1＋a2)<2，所以a2＋1<4，所以a2<3，即－eq\r(3)<a<eq\r(3).【答案】D11．若1＋eq\r(2)i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则()A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1【解析】因为1＋eq\r(2)i是实系数方程的一个复数根，所以1－eq\r(2)i也是方程的根，则1＋eq\r(2)i＋1－eq\r(2)i＝2＝－b，(1＋eq\r(2)i)(1－eq\r(2)i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.【答案】B12．设z是复数，则下列命题中的假命题是()A．若z2≥0，则z是实数B．若z2<0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2<0【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2≥b2，))故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2<b2，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))故z一定为虚数，正确．选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．选项D，若z为纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))则z2＝－b2<0，正确．【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．(2023·重庆高考)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为eq\r(3)，则(a＋bi)(a－bi)＝________.【解析】∵|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3)，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.【答案】314．a为正实数，i为虚数单位，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝2，则a＝__________.【解析】eq\f(a＋i,i)＝eq\f(a＋i·－i,i·－i)＝1－ai，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝|1－ai|＝eq\r(a2＋1)＝2，所以a2＝3.又a为正实数，所以a＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)15．设a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i为虚数单位)，则a＋b的值为__________．【解析】a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)＝eq\f(11－7i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(25＋15i,5)＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.从而a＋b＝8.【答案】816．若复数z满足|z－i|≤eq\r(2)(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－i|≤eq\r(2)可得eq\r(x2＋y－12)≤eq\r(2)，即x2＋(y－1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，eq\r(2)为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π.【答案】2π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算：(1)(eq\r(2)＋eq\r(2)i)2(4＋5i)；(2)eq\f(2＋2i,1－i2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1＋i)))2016.【解】(1)(eq\r(2)＋eq\r(2)i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.(2)eq\f(2＋2i,1－i2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1＋i)))2023＝eq\f(2＋2i,－2i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2i)))1008＝i(1＋i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,i)))1008＝－1＋i＋(－i)1008＝－1＋i＋1＝i.18．(本小题满分12分)已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＋i＝y－3－yi，①,2x＋ay－4x－y＋bi＝9－8i，②))有实数解，求实数a，b的值．【解】由①得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝y，,y－3＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4，))将x，y代入②得(5＋4a)－(6＋b所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＋4a＝9，,－6＋b＝－8，))所以a＝1，b＝2.19．(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.【解】(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数．(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．(3)当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－3k－4＝0，,k2－5k－6≠0，))即k＝4时，z是纯虚数．(4)当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－3k－4＝0，,k2－5k－6＝0，))即k＝－1时，z是0.20．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝eq\r(2)，z2的虚部是2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．【解】(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.21．(本小题满分12分)已知复数z1＝eq\r(5)i，z2＝eq\r(2)－eq\r(3)i，z3＝2－i，z4＝－eq\r(5)在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.【导学号：67720238】(1)求证：A，B，C，D四点共圆；(2)已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，求点P对应的复数．【解】(1)证明：∵|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝eq\r(5)，即|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，∴A，B，C，D四点都在圆x2＋y2＝5上，即A，B，C，D四点共圆．(2)∵A(0，eq\r(5))，B(eq\r(2)，－eq\r(3))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，－eq\r(3)－eq\r(5))．设P(x，y)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y－eq\r(5))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，那么(eq\r(2)，－eq\r(3)－eq\r(5))＝(2x,2y－2eq\r(5))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)＝2x，,－\r(3)－\r(5)＝2y－2\r(5)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)，,y＝\f(\r(5)－\r(3),2)，))∴点P对应的复数为eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(5)－\r(3),2)i.22．(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量Oeq\o(Z,\s\up6(→))1，Oeq\o(Z,\s\up6(→))2分别对应复数z1，z2，且z1＝eq\f(3,a＋5)＋(10－a2)i，z2＝eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i，a∈R.若eq\x\to(z)1＋z2可以与任意实数比较大小，求Oeq\o(Z,\s\up6(→))1·Oeq\o(Z,\s\up6(→))2的值．【解】由题意，得eq\x\to(z)1＝eq\f(3,a＋5)－(10－a2)i，则eq\x\to(z)1＋z2＝eq\f(3,a＋5)－(10－a2)i＋eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a＋5)＋\f(2,1－a)))＋(a2＋2a－15)i.因为eq\x\to(z)1＋z2可以与任意实数比较大小，所以eq\x\to(z)1＋z2是实数，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a又因为a＋5≠0，所以a＝3，所以z1＝eq\f(3,8)＋i，z2＝－1＋i.所以Oeq\o(Z,\s\up6(→))1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，1))，Oeq\o(Z,\s\up6(→))2＝(－1,1)．所以Oeq\o(Z,\s\up6(→))1·Oeq\o(Z,\s\up6(→))2＝eq\f(3,8)×(－1)＋1×1＝eq\f(5,8).模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2023·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A．i B．－iC．1 D．－1【解析】因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.【答案】A2．根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为()A．工序流程图 B．程序流程图C．知识结构图 D．组织结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．【答案】B3．下列框图中，可作为流程图的是()\x(整数指数幂)→eq\x(有理指数幂)→eq\x(无理指数幂)\x(随机事件)→eq\x(频率)→eq\x(概率)\x(入库)→eq\x(找书)→eq\x(阅览)→eq\x(借书)→eq\x(出库)→eq\x(还书)\x(推理)eq\x(图像与性质)eq\x(定义)【解析】流程图具有动态特征，只有答案C符合．【答案】C4．(2023·安庆高二检测)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除．则假设的内容是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有一个不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”．【答案】B5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误【解析】一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选C.【答案】C6．(2023·安徽高考)设i是虚数单位，则复数eq\f(2i,1－i)在复平面内所对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解析】eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(2i－1,2)＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.【答案】B7．考察棉花种子是否经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：种子处理种子未处理总计得病32101133不得病61213274总计93314407根据以上数据，则()A．种子经过处理跟是否生病有关B．种子经过处理跟是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．以上都是错误的【解析】计算eq\f(32,93)与eq\f(101,314)可知相差很小，故选B.【答案】B8．给出下面类比推理：①“若2a<2b，则a<b”类比推出“若a2<b2，则a<b”②“(a＋b)c＝ac＋bc(c≠0)”类比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”；③“a，b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a，b∈C，若a－b＝0，则a＝b”；④“a，b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a，b∈C，若a－b>0，则a>b(C为复数集)”．其中结论正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.【答案】B9．(2023·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图1，如果输入的t＝，则输出的n＝()图1A．5 B．6C．7 D．8【解析】逐次运行程序，直至输出n.运行第一次：S＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＝，m＝，n＝1，S>；运行第二次：S＝－＝，m＝，n＝2，S>；运行第三次：S＝－＝，m＝5，n＝3，S>；运行第四次：S＝－5＝5，m＝25，n＝4，S>；运行第五次：S＝25，m＝625，n＝5，S>；运行第六次：S＝625，m＝8125，n＝6，S>；运行第七次：S＝8125，m＝90625，n＝7，S<.输出n＝7.故选C.【答案】C10．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为()A．3 B．－3C．6 D．－6【解析】a1＝3，a2＝6，a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，…，观察可知{an}是周期为6的周期数列，故a33＝a3＝3.【答案】A11．(2023·大同高二检测)设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】必要性显然成立；PQR>0，包括P，Q，R同时大于0，或其中两个为负两种情况．假设P<0，Q<0，则P＋Q＝2b<0，这与b为正实数矛盾．同理当P，R同时小于0或Q，R同时小于0的情况亦得出矛盾，故P，Q，R同时大于0，所以选C.【答案】C12．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：平均气温/℃－2－3－5－6销售额/万元20232730根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程y＝bx＋a的系数b＝－，则预测平均气温为－8℃A．万元 B．万元C．万元 D．万元【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(－2－3－5－6,4)＝－4，eq\x\to(y)＝eq\f(20＋23＋27＋30,4)＝25，所以这组数据的样本中心点是(－4,25)．因为b＝－，把样本中心点代入线性回归方程得a＝，所以线性回归方程为y＝－＋.当x＝－8时，y＝.故选A.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．【解析】z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，∴m2－m＝0，∴m＝0或1.【答案】0或114．在平面几何中，△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比|AE|∶|EB|＝|AC|∶|CB|(如图2①)，把这个结论类比到空间，如图2②，在三棱锥ABCD中，平面CDE平分二面角ACDB且与AB相交于E，结论是__________________．图2【解析】依平面图形与空间图形的相关元素类比，线段之比类比面积之比．【答案】S△ACD∶S△BCD＝AE2∶EB215．(2023·山东高考)执行下边的程序框图3，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________．图3【解析】当x＝1时，1<2，则x＝1＋1＝2；当x＝2时，不满足x<2，则y＝3×22＋1＝13.【答案】1316．(2023·江西吉安高二检测)已知等差数列{an}中，有eq\f(a11＋a12＋…＋a20,10)＝eq\f(a1＋a2＋…＋a30,30)，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论________.【导学号：67720239】【解析】由等比数列的性质可知，b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴eq\r(10,b11b12…b20)＝eq\r(30,b1b2…b30).【答案】eq\r(10,b11b12…b20)＝eq\r(30,b1b2…b30)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2023·哈尔滨高二检测)设z＝eq\f(1－4i1＋i＋2＋4i,3＋4i)，求|z|.【解】z＝eq\f(1＋i－4i＋4＋2＋4i,3＋4i)＝eq\f(7＋i,3＋4i)，∴|z|＝eq\f(|7＋i|,|3＋4i|)＝eq\f(5\r(2),5)＝eq\r(2).18．(本小题满分12分)给出如下列联表：患心脏病患其他病总计高血压201030不高血压305080总计5060110由以上数据判断高血压与患心脏病之间在多大程度上有关系？(参考数据：P(χ2≥＝，P(χ2≥＝【解】由列联表中数据可得χ2＝eq\f(110×20×50－10×302,30×80×50×60)≈.又P(χ2≥＝，所以在犯错误的概率不超过的前提下，认为高血压与患心脏病有关系．19．(本小题满分12分)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1(分别用综合法、分析法证明)．【证明】综合法：∵2ax≤a2＋x2,2by≤b2＋y2，∴2(ax＋by)≤(a2＋b2)＋(x2＋y2)．又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，∴2(ax＋by)≤2，∴ax＋by≤1.分析法：要证ax＋by≤1成立，只要证1－(ax＋by)≥0，只要证2－2ax－2by≥0，又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，∴只要证a2＋b2＋x2＋y2－2ax－2by≥0，即证(a－x)2＋(