广东省广州市中学(高中部)2022-2023学年高二数学理期末试题含解析

广东省广州市中学(高中部)2022-2023学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=(

)A．1+ B．1﹣ C．3+2 D．3﹣2参考答案：C【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数∴q＞0，q=1+∴==3+2故选C【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解．2.用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（

）A.24个

B.30个

C.40个

D.60个参考答案：A略3.已知是定义在R上的函数，且，当时，，若方程有两个不等实根，那么实数a的值为（

）

A.

B.C.

D.参考答案：A略4.若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣2} B．{1} C．{﹣2，1} D．{﹣2，0，1}参考答案：C【考点】1E：交集及其运算．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，∴A∩B={﹣2，1}．故选：C．5.定义的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中A，B可能是下列（）的运算的结果

（）

A．，

B．，C．，

D．，参考答案：B略6.如下图所示，对应关系f是从A到B的映射的是()

参考答案：D7.某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得（）A．当时，该命题不成立

B．当时，该命题成立C．当时，该命题成立

D．当时，该命题不成立参考答案：D略8.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，] B．[，] C．[，] D．[，]参考答案：B【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N?平面AEF，AE?平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，=，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，==，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[，]．故选B．9.函数的定义域是

A． B．

C． D．参考答案：A略10.在一次研究性学习中,老师给出函数,三位同学甲,乙,丙在研究此函数时给出命题:甲:函数的值域为;乙:若,则一定有;丙:若规定,则对任意恒成立.你认为上述三个命题中正确的个数有(

)A.0个

B.1个

C.2个

D.3个参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，且是,的公垂线，在上，在上，则线段的长度为

参考答案：12.已知f（x）=m（x+m+5）（x+m+3），g（x）=x﹣1．若?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是．参考答案：（﹣4，0）【考点】函数恒成立问题；全称命题．【专题】函数思想；转化法；简易逻辑．【分析】先求出g（x）＜0得解，然后满足：?x∈R，f（x）＜0恒成立即可，结合一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：由g（x）＜0得x﹣1＜0得x＜1，即当x≥1时，g（x）≥0，又∵?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，∴f（x）=m（x+m+5）（x+m+3），在x≥1时恒成立，则二次函数f（x）=m（x+m+5）（x+m+3）的图象开口只能向下，且与x轴交点都在（1，0）的左侧，∴，即，解得﹣4＜m＜0，所以实数m的取值范围是：（﹣4，0）．故答案为：（﹣4，0）．【点评】本题主要考查函数恒成立问题，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．13.五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数为2，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2013个被报出的数为

参考答案：2略14.设函数则的值为

．参考答案：略15.函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________．参考答案：816.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程__________

.参考答案：y=2x或x+y-3=0略17.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是．其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知动点P与双曲线x2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，（1）求动点P的轨迹方程；（2）设M(0，－1)，若斜率为k(k≠0)的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|＝|MB|，试求k的取值范围．参考答案：(1)∵x2－y2＝1，∴c＝.

PF1|＋|PF2|＝a=

b=1

∴P点的轨迹方程为＋y2＝1.(2)设l：y＝kx＋m(k≠0)，则由，

将②代入①得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0

(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点Q(x0，y0)的坐标满足：x0＝

即Q(－)

∵|MA|＝|MB|，∴M在AB的中垂线上，∴klkAB＝k·＝－1，解得m＝…③

又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，即(6km)2－4(1＋3k2)[3(m2－1)]＝12(1＋3k2－m2)＞0

④

，将③代入④得12[1＋3k2－()2]＞0，解得－1＜k＜1，由k≠0，∴k的取值范围是k∈(－1，0)∪(0，1).

19.（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）；以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2交于点A，B，求线段AB的长．

参考答案：（1），．

………6分（2）圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为．所以．

………10分

20.已知椭圆C:经过点，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l交椭圆于A，B两点，F为椭圆C的左焦点，若，求直线l的方程.参考答案：（1）；（2）或【分析】（1）由椭圆的离心率可得，，从而使椭圆方程只含一个未知数，把点的坐标代入方程后，求得，进而得到椭圆的方程为；（2）因为直线过定点，所以只要求出直线的斜率即可，此时需对直线的斜率分等于0和不等于0两种情况进行讨论，当斜率不为0时，设直线的方程为，点、，利用得到关于的方程，并求得.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，∴，，所以，椭圆的方程为，将点的坐标代入椭圆的方程得，解得，则，，因此，椭圆的方程为.（2）①当直线斜率为0时，与椭圆交于，，而.此时，故不符合题意.②当直线斜率不为0时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程代入椭圆的方程，并化简得，，解得或，由韦达定理可得，，，同理可得，所以，即解得：，符合题意因此，直线的方程为或.【点睛】本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系并与向量进行交会，求解过程中要始终领会设而不求的思想，即利用坐标运算解决几何问题，考查运算求解能力.21.已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，?q也为假命题，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】命题的真假判断与应用；点与圆的位置关系；双曲线的定义．【专题】计算题；综合题．【分析】根据双曲线的标准方程的特点把命题p转化为a＞1或a＜﹣3，根据点圆位置关系的判定把命题q转化为﹣1＜a＜3，根据pΛq为假命题，?q也为假命题，最后取交集即可．【解答】解：∵方程表示双曲线，∴（3+a）（a﹣1）＞0，解得：a＞1或a＜﹣3，即命题P：a＞1或a＜﹣3；∵点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部，∴4+（a﹣1）2＜8的内部，解得：﹣1＜a＜3，即命题q：﹣1＜a＜3，由pΛq为假命题，?q也为假命题，∴实数a的取值范围是﹣1＜a≤1．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，以及点圆位置关系的判定方法．考查了学生分析问题和解决问题的能力．属中档题．22.已知直线l：x+y﹣1=0，（1）若直线l1过点（3，2）且l1∥l，求直线l1的方程；（2）若直线l2过l与直线2x﹣y+7=0的交点，且l2⊥l，求直线l2的方程．参考答案：【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】（1）由题意和平行关系设直线l1的方程