广东省揭阳市东园中学2023年高一数学理联考试题含解析

广东省揭阳市东园中学2023年高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.以下给出了4个命题：(

)（1）两个长度相等的向量一定相等；

（2）相等的向量起点必相同；

（3）若，且，则；

（4）若向量的模小于的模，则.其中正确命题的个数共有Ａ．3个

Ｂ．2

个

Ｃ．1

个

Ｄ．0个参考答案：D略2.把直线x-2y+λ=0向左平移1个单位,再向下平移2个单位后,所得直线正好与圆x2+y2+2x-4y=0相切,则实数λ的值为

A.3或13

B.-3或13

C.3或-13

D.-3或-13参考答案：A

直线x-2y+λ=0按a=(-1,-2)平移后的直线为x-2y+λ-3=0,与圆相切,则圆心(-1,2)到直线的距离,求得λ=13或3.3.把89化成五进制数的末位数字为（

）

A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：D略4.从编号为1，2，3，4，5的5张卡片中，任意的抽出两张，则两张卡片编号数字之和为6的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.已知，则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.下列四个函数中，在(0，+∞)上单调递减的是（）A.y＝x+1 B.y＝x2﹣1 C.y＝2x D.参考答案：D【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x+1，为一次函数，在(0，+∞)上单调递增，不符合题意；对于B，y＝x2﹣1，为二次函数，在(0，+∞)上单调递增，不符合题意；对于C，y＝2x，为指数函数，在(0，+∞)上单调递增，不符合题意；对于D，，为对数函数，在(0，+∞)上单调递减，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．7.若直线：与直线：平行，则a的值为（）A.1 B.1或2 C.-2 D.1或-2参考答案：A试题分析：因为直线：与直线：平行，所以或-2，又时两直线重合，所以。考点：两条直线平行的条件。点评：此题是易错题，容易选C，其原因是忽略了两条直线重合的验证。8.使得函数f（x）=lnx+x﹣2有零点的一个区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数的定义域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2，然后根据f（a）?f（b）＜0，结合零点判定定理可知函数在（a，b）上存在一个零点，可得结论．【解答】解：由题意可得函数的定义域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2∵f（1）=﹣＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0由函数零点的判定定理可知，函数y=f（x）=lnx+x﹣2在（2，3）上有一个零点故选C．【点评】本题主要考查了函数的零点判定定理的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．9.直线a、b、c及平面、、，下列命题正确的是：（

）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则参考答案：D10.已知中，，，为平面内一点，则的最小值为（

）A．-8

B．

C.-6

D．-1参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下面四个命题：①在定义域上单调递增；②若锐角满足，则；③是定义在[－1,1]上的偶函数，且在[－1,0]上是增函数，若，则；④函数的一个对称中心是；其中真命题的序号为

．参考答案：②③④12.在中,若,,且,则________.参考答案：13.设向量

绕点

逆时针旋转

得向量,且,则向量

____.参考答案：解析：设,则,所以.即

解得

因此，.故填

．14.给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域为R，值域为；②函数的图像关于直线对称；ks5u③函数是偶函数；④函数在上是增函数．其中正确的命题的序号是

．参考答案：①②③15.已知函数，给出下列命题：①若，则；②对于任意的，，，则必有；③若，则；④若对于任意的，，，则，其中所有正确命题的序号是_____．参考答案：见解析解：，对于①，当时，，故①错误．对于②，在上单调递减，所以当时，即：，故②正确．对于③表示图像上的点与原点连线的斜率，由的图像可知，当时，，即：，故③错误．对于④，由得图像可知，，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②④．16.已知扇形的半径为9，圆心角为120°，则扇形的弧长为______，面积为______.参考答案：6π；27π【分析】直接利用扇形弧长和面积公式计算得解.【详解】由题得扇形的弧长扇形面积.故答案为：6π；27π.【点睛】本题主要考查扇形的弧长和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.17.若数列的前项和，则________．参考答案：48三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示,平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形，ABEF是矩形,且AF=AD=,G是EF的中点.(1)求证:平面AGC⊥平面BGC;(2)求三棱锥A－GBC的体积.参考答案：(1)证明:∵G是矩形ABEF的边EF的中点,∴AG=BG=2,从而得:AG2+BG2=AB2,∴AG⊥BG.又∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,且BC⊥AB,∴BC⊥平面ABEF.∵AG?平面ABEF,∴BC⊥AG.∵BC∩BG=B,∴AG⊥平面BGC,∵AG?平面AGC,∴平面AGC⊥平面BGC(2)解:由(1)得BC⊥平面ABEF,∴CB是三棱锥A-GBC的高.∴VA-GBC=VC-ABG=略19.某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（Ⅰ）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；（Ⅱ）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？参考答案：【考点】RJ：平均值不等式在函数极值中的应用；5D：函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）从甲地到乙地的运输成本y（元）=每小时的燃料费用×时间+每小时其它费用×时间；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得函数表达式y=150，（且0＜x≤50）；用基本不等式可求得最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，每小时的燃料费用为：0.5x2（0＜x≤50），从甲地到乙地所用的时间为小时，

则从甲地到乙地的运输成本：，（0＜x≤50）

故所求的函数为：，（0＜x≤50）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

当且仅当，即x=40时取等号．

故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．20.设两个非零向量与不共线．（1）若，求证：A，B，D三点共线（2）试确定实数k，使和反向共线．参考答案：【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示；96：平行向量与共线向量．【分析】（1）利用向量共线定理即可证明．（2）利用向量共线定理即可证明．【解答】（1）证明：∵，∴=．∴共线，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．（2）解：∵与反向共线，∴存在实数λ（λ＜0），使，即，∴.．∵是不共线的两个非零向量，∴k﹣λ=λk﹣1=0，∴k2﹣1=0，∴k=±1，∵λ＜0，∴k=﹣121.[12分]已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线：x＋y＋3＝0上，直线经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．参考答案：(1)设点P的坐标为(x，y)，则化得可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．-------------------4分(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，

22.函数（其中A＞0，ω＞0）的振幅为2，周期为π．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调增区间；（3）求f（x）在的值域．参考答案：【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H4：正弦函数的定义域和值域；H5：正弦函数的单调性．【分析】（1）利用振幅的定义和周期公式，即可得出；（2）利用正弦函数