广东省梅州市丙村华侨中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析

广东省梅州市丙村华侨中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有（

）种A．12

B．36

C．72

D．108参考答案：B2.函数，若曲线在点处的切线垂直于y轴，则实数a=（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】首先求得导函数的解析式，然后利用导数与函数切线的关系得到关于a的方程，解方程即可确定a的值.【详解】由函数的解析式可得：，曲线在点处的切线垂直于轴，则：，解得：.故选：A.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导函数与函数切线的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是（）A． B． C．1 D．参考答案：B【考点】K4：椭圆的简单性质；IT：点到直线的距离公式．【分析】根据题意，可得右焦点F（1，0），由点到直线的距离公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，可得右焦点F（1，0），y=x可化为y﹣x=0，则d==，故选B．4.已知且，则的最小值为（

）A．2

B．8

C．1

D．4参考答案：D5.已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足·，则的最大值是（

）A．

B．2

C．1

D．参考答案：A6.离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”.设是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个顶点，则等于（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略7.椭圆的左顶点与右焦点的距离是（

）

A．5

B．4

C．3

D．2参考答案：C略8.已知＜＜0，①＞；②＞；③＞；④＜，上述不等式中正确的个数为（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：C9.是虚数单位，等于

（

）A．

B．

C．

D． 参考答案：D10.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++ B． C． D．﹣﹣+参考答案：A【考点】相等向量与相反向量．【分析】由题意可得=+=+=+[﹣]，化简得到结果．【解答】解：由题意可得=+=+=+=+（﹣）=+（﹣）=﹣++，故选A．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“”的否命题是_________.参考答案：12.从10名大学生中选三人担任村长助理，则甲，乙至少有一人入选的选法有多少种

参考答案：6413.在等差数列中，若其前项和为，则=_______,参考答案：略14.的值是_____________．参考答案：1略15.某地区在连续7天中，新增某种流感的数据分别为4，2，1，0，0，0，0，则这组数据的方差s2=

．参考答案：216.已知在上只有一个极值点，则实数的取值范围为

．参考答案：略17.设(是两两不等的常数),则的值是____________

参考答案：0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且F1，F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，点P（，）在椭圆C上．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过F2作互相垂直的两直线AB，CD分别交椭圆于点A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点，求△MNF2面积的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知得到关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，则直线CD的方程为x=﹣y+1，分别代入椭圆方程，由于韦达定理和中点坐标公式可得中点M，N的坐标，求得斜率和直线方程，即可得到定点H，则△MNF2面积为S=|F2H|?|yM﹣yN|，化简整理，再令m+=t（t≥2），由于函数的单调性，即可得到最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a＞b＞0）经过点P（，），且F1，F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，∴，解得a2=2，b2=1，∴椭圆方程为；（Ⅱ）设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，则直线CD的方程为x=﹣y+1，联立，消去x得（m2+2）y2+2my﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，∴x1+x2=（my1+1）+（my2+1）=m（y1+y2）+2=，由中点坐标公式得M（），将M的坐标中的m用﹣代换，得CD的中点N（），kMN=，直线MN的方程为y+=（x﹣），即为y=，令，可得x=，即有y=0，则直线MN过定点H，且为H（，0），∴△F2MN面积为S=|F2H|?|yM﹣yN|=（1﹣）?||=||=||，令m+=t（t≥2），由于2t+的导数为2﹣，且大于0，即有在[2，+∞）递增．即有S==在[2，+∞）递减，∴当t=2，即m=1时，S取得最大值，为；则△MNF2面积的最大值为．19.（本题满分10分）在中，角，，的对边为，，且；

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，，求的值。参考答案：（Ⅰ）由可得，所以所以又，所以；(Ⅱ)由（Ⅰ）可知，所以由可得……①又由以及余弦定理可知即，又代入可得…………②联立①②可解得或者20.在如图所示的四棱锥中，已知PA⊥平面ABCD，，，，为的中点．（Ⅰ）求证：MC∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值．参考答案：略21.（12分）若S是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列。(1)求等比数列的公比；(2)若，求的通项公式；（3）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。参考答案：解：∵数列{an}为等差数列，∴，

∵S1，S2，S4成等比数列，∴S1·S4=S22

∴，∴

∵公差d不等于0，∴

…3分（1）

…4分（2）∵S2=4，∴，又，∴，∴。

…7分（3）∵∴…

…10分要使对所有n∈N*恒成立，∴，，∵m∈N*，∴m的最小值为30。

…12分22.（本小题满分1