广东省梅州市东石中学2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析

广东省梅州市东石中学2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在数列{}中，若且对所有,满足，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】数列的概念D1B解析：因为，所以，，，故选B．此题也可求，，，．【思路点拨】由可得通项为，因此可求得，的值.2.函数的定义域是A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.的展开式中含项的系数为(

)A．16

B．40

C.－40

D．8参考答案：D4.已知，则

（

）

A．

B．C．

D．参考答案：B略5.已知中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，若，，则的最小值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略6.已知动点P（x,y）在椭圆上，若A点坐标为（1，0），M是平面内任一点，的最小值是

A．

B．

C．4

D．参考答案：B7.已知是两条不同的直线，是一个平面，且∥，则下列命题正确的是()A．若∥，则∥

B．若∥，则∥C．若，则

D．若，则参考答案：D8.已知集合，，则=（

）A． B．C．（0,3) D．(1,3)参考答案：D考点：集合的运算试题解析：所以故答案为：D9.已知数列{an}满足a2=102，an+1﹣an=4n，（n∈N*），则数列的最小值是(

)A．25 B．26 C．27 D．28参考答案：B【考点】数列递推式；数列的函数特性．【专题】综合题；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用累加法可求得an，表示出后利用基本不等式可求得其最小值，注意求通项时验证n=1的情形．【解答】解：由an+1﹣an=4n得，a3﹣a2=8，a4﹣a3=12，a5﹣a4=16，…，an﹣an﹣1=4（n﹣1），以上各式相加得，an﹣a2=，所以an=102+（n﹣2）（2n+2）（n≥2），而a2﹣a1=4，所以a1=a2﹣4=98，适合上式，故an=102+（n﹣2）（2n+2）（n∈N*），=﹣2=26，当且仅当即n=7时取等号，所以数列的最小值是26，故选B．【点评】本题考查由数列递推式求数列通项、基本不等式求最值，考查学生综合运用知识解决问题的能力．10.已知函数的图象如右图,则函数在上的大致图象为(

)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=1﹣，g（x）=lnx，对于任意m≤，都存在n∈（0，+∞），使得f（m）=g（n），则n﹣m的最小值为．参考答案：1【考点】函数恒成立问题；全称命题．【专题】转化思想；换元法；导数的综合应用；简易逻辑．【分析】由题意可得1﹣=lnn；从而可得n=；令1﹣=t，t＜1；则m=t﹣，从而得到y=n﹣m=et﹣t+；求导求函数的最小值即可．【解答】解：由m≤知，1﹣≤1；由f（m）=g（n）可化为1﹣=lnn；故n=；令1﹣=t，t≤1；则m=t﹣，则y=n﹣m=et﹣t+；故y′=et+t﹣1在（﹣∞，1]上是增函数，且y′=0时，t=0；故y=n﹣m=et﹣t+在t=0时有最小值，故n﹣m的最小值为1；故答案为：1．【点评】本题考查了函数恒成立问题，利用导数法以及换元法转化为求函数的最值是解决本题的关键．12.某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高三年级应抽取的人数为

人参考答案：【知识点】分层抽样B420

解析：高三年级应抽取的人数为,故答案为20.【思路点拨】利用分层抽样的定义即可。13.若(为虚数单位)为纯虚数，则实数的值为

．参考答案：2因为为纯虚数，所以，解得。14.若变量x，y满足约束条件，则的最小值是_________．参考答案：15.已知向量满足，且，则与的夹角为

.参考答案：【知识点】向量的数量积.

F3【答案解析】

解析：，所以，所以，所以与的夹角为.【思路点拨】利用向量数量积的运算性质以及数量积的定义求解.16.的二项展开式中常数项是

（用数字作答）．参考答案：答案：84解析：根据二项式展开式通项公式到展开式中常数项是：,令得,故有:17.在数列{an}中，已知a1=1，an+1﹣an=sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2017=．参考答案：1009【考点】数列的求和．【分析】a1=1，an+1﹣an=，a2=a1+sinπ=1，同理可得a3=1﹣1=0，a4=0+0=0，a5=0+1=1，a5=a1，以此类推可得an+4=an．即可得出．【解答】解：∵a1=1，an+1﹣an=，∴a2=a1+sinπ=1，同理可得a3=1﹣1=0，a4=0+0=0，a5=0+1=1，∴a5=a1，以此类推可得an+4=an．∴则S2017=504×（a1+a2+a3+a4）+a1=504×2+1=1009．故答案为：1009．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.一个多面体的直观图及三视图分别如图1和图2所示（其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图是直角三角形），分别是的中点，.(Ⅰ)求实数的值并证明平面；(Ⅱ)在上面结论下，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

参考答案：解:(Ⅰ)由图可知，为直三棱柱，侧棱，底面为直角三角形，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，所以，，因为，所以，解得：………3分此时，，平面的法向量与平面的法向量垂直，且平面，所以，平面…………6分(Ⅱ)平面的法向量设平面的法向量为,平面与平面所成锐二面角的大小等于其法向量所成锐角的大小，法向量满足:

………………8分因为,所以,所以,，…………10分所以,，平面与平面所成锐二面角的余弦值为………12分19.（本题满分12分）已知曲线C1的参数方程是（为参数），曲线C2的参数方程是（t为参数）．（Ⅰ）将曲线C1，C2的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）求曲线C1上的点到曲线C2的距离的最大值和最小值．

参考答案：解：（1）曲线C1的参数方程是（θ为参数），则cosθ=，∵sin2θ+cos2θ=1，＋y2＝1，∴曲线C1的普通方程是＋y2＝1；

……3分曲线C2的参数方程是（t为参数），消去参数t，t=3﹣x，代入，即2x+3y﹣10=0∴曲线C2的普通方程是2x+3y﹣10=0．

……6分（2）设点P（2cosθ，sinθ）为曲线C1上任意一点，则点P到直线2x+3y﹣10=0的距离为d，则（其中）……10分∵sin（θ+φ）∈[﹣1，1]∴，此时，，此时

……12分

20.在三棱柱中，，侧棱面，分别是棱的中点，点在棱上，且．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．参考答案：解：（1）证明：取的中点，，为的中点，又为的中点，，在三棱柱中，分别是的中点，，且，则四边形为平行四边形，,,又面，面,则面...........................................6分(2)空间直角坐标系，则，，，，∴，，．设面BC1D的一个法向量为，面BC1E的一个法向量为，则由得取，又由得取，则，故二面角E－BC1－D的余弦值为．............................12分略21.选修4—5：不等式选讲已知函数（I）求不等式的解集；（II）若关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（I）原不等式等价于或

解得,即不等式的解集为

---------（5分）（II）

----（10分）略22.已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤恒成立，求x的取值范围；（2）解不等式f（x）≤3x．参考答案：【考点】：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：（1）根据|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|，可得≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，由此求得x的范围．（2）不等式即|2x﹣1|≤3x，可得，由此求得不