广东省梅州市梅林中学高三数学理联考试卷含解析

广东省梅州市梅林中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是函数的极小值点，则=（

）(A)-16

(B)-2

(C)16

(D)2参考答案：D试题分析：,令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，由已知得，故选D.1考点：利用导数研究函数的单调性及极值.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值.2.某几何体的三视图入图所示，则此几何体对应直观图中△PAB的面积是（A）

（B）2

（C）

（D）参考答案：A3.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C，所以，故选C.考点：1.集合的运算；2.二次不等式的求解.4.已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|y=ln（1﹣|x|）}，则A∩（?RB）=（）A．（1，2） B．[1，2） C．（﹣1，1） D．（1，2]参考答案：B【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中函数的定义域，确定出集合B，找出R中不属于B的部分，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分即可．【解答】解：由集合A中的不等式x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2，∴A=（﹣1，2），由集合B中的函数y=ln（1﹣|x|），得到1﹣|x|＞0，即|x|＜1，解得：﹣1＜x＜1，∴B=（﹣1，1），又全集R，∴CRB=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），则A∩（CRB）=[1，2）．故选B5.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方×高），则由此可推得圆周率π的取值为（

）A．3

B．3.1

C．3.14

D．3.2参考答案：A6.已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若⊥，则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣ C． D．2参考答案：D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】直接利用向量垂直数量积为0列式求得a值．【解答】解：∵=（1，2），=（a，﹣1），∴由⊥，得1×a+2×（﹣1）=0，即a=2．故选：D．7.已知点P(3,4)和圆C:(x2)2+y2=4,A,B是圆C上两个动点,且|AB|=,则(O为坐标原点)的取值范围是(

)A．[3,9] B．[1,11] C．[6,18] D．[2,22]参考答案：D8.关于函数：①；②是奇函数；③上单调递增；④方程总有四个不同的解，其中正确的是(

）A．仅②④

B．仅②③

C．仅①②

D．仅③④参考答案：C9.（5分）（2015?浙江模拟）若a是实数，则“a2≠4”是“a≠2”的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件参考答案：C【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分必要条件的定义进行判断即可．解：若“a2≠4”，则“a≠2”，是充分条件，若“a≠2”，则推不出“a2≠4”，不是必要条件，故选：C．【点评】：本题考查了充分必要条件，考查了不等式问题，是一道基础题．10.已知集合A={0，1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=(

) A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}参考答案：A考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答： 解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+2）≤0，解得：﹣2≤x≤2，即B=，∵A={0，1}，∴A∩B={0，1}．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是__________．参考答案：(－∞,1]12.若函数f(x)=(2x2-a2x-a)lgx的值域为,则a=_________参考答案：略13.在平面几何里，已知的两边互相垂直，且,则边上的高；现在把结论类比到空间：三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，平面,且,则点到平面的距离

．参考答案：14.已知函数f(x)＝ex＋alnx的定义域是D，关于函数f(x)给出下列命题：①对于任意a∈(0，＋∞)，函数f(x)是D上的减函数；②对于任意a∈(－∞，0)，函数f(x)存在最小值；③存在a∈(0，＋∞)，使得对于任意的x∈D，都有f(x)>0成立；④存在a∈(－∞，0)，使得函数f(x)有两个零点．其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．参考答案：【知识点】函数的单调性与导数的关系；命题的真假判断与应用．A2

B3

B12【答案解析】②④

解析：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）=ex+①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）=ex+≥0，是增函数．所以①不正确，②∵a∈（﹣∞，0），∴存在x有f′（x）=ex+=0，可以判断函数有最小值，②正确．③画出函数y=ex，y=alnx的图象，如图：显然不正确．④令函数y=ex是增函数，y=alnx是减函数，所以存在a∈（﹣∞，0），f（x）=ex+alnx=0有两个根，正确．故答案为：②④【思路点拨】先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根．15.（5分）函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，2﹣）∪【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线?方程f′（x）=在区间x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x﹣y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可．解：，（x＞0）．∵函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，∴方程在区间x∈（0，+∞）上有解．即在区间x∈（0，+∞）上有解．∴a＜2．若直线2x﹣y=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x0，2x0）．则，解得x0=e．此时．综上可知：实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣）∪．故答案为：（﹣∞，2﹣）∪．【点评】：本题考查了导数的几何意义、切线的斜率、相互平行的直线之间的斜率关系、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于中档题．16.在极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣2cosθ与曲线C2：ρ=2sinθ的图象的交点个数为

．参考答案：2略17.已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为

．参考答案：，表示点与点连线的斜率，因为，所以，，即函数图象在区间内任意两点连线的斜率大于1，即在内恒成立。由定义域可知，所以，即，所以成立。设，则，当时，函数的最大值为15，所以，即的取值范围为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)

已知函数,

(1)若存在x>0，使f(x)≤0成立，求实数m的取值范围，

(2)设1<m≤e，H(x)=f(x)一(m+1)x，证明：对任意的x1，，x2∈[1，m]，恒有H(x1)-

H(x2)<1．参考答案：（1）（-∞，-e]∪（0，+∞）(2)略【知识点】导数的应用B12（1）由题意f(x)=x2+mlnx，得f′(x)=x+．

①当m＞0时，f′(x)=x+＞0，因此f（x）在（0，+∞）上单调递增，由对数函数的性质，知f（x）的值域为R，因此x＞0，使f（x）≤0成立；

②当m=0时，f(x)=＞0，对x＞0，f（x）＞0恒成立；

③当m＜0时，由f′(x)=x+得x=，

x

(，+∞)

-0+f（x）↘极小值↗此时f(x)min=f()=-+mln．

令f(x)min＞0-e＜m＜0．

所以对x＞0，f（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（-e，0]．

故x＞0，使f（x）≤0成立，实数m的取值范围是（-∞，-e]∪（0，+∞）．

（2）∵H(x)=f(x)-(m+1)x=x2+mlnx-(m+1)x，

∴H′(x)=x+-(m+1)=．

x∈[1，m]，H′(x)=≤0，所以函数H（x）在[1，m]上单调递减．

于是H(x1)-H(x2)≤H(1)-H(m)=m2-mlnm-．

H(x1)-H(x2)＜1m2-mlnm-＜1m-lnm-＜0．

记h(m)=m-lnm-(1＜m≤e)，则h′(m)=-+＞0，

所以函数h(m)=m-lnm-在（1，e]上是单调增函数，

所以h(m)≤h(e)=-1-＜0，故对x1，x2∈[1，m]，恒有H（x1）-H（x2）＜1【思路点拨】（1）由题意f(x)=x2+mlnx，得f′(x)=x+．讨论m的范围判断函数的单调性与其最值，通过最小值与0的关系得到m的范围．

（2）H′(x)=x+-(m+1)=≤0，所以函数H（x）在[1，m]上单调递减．H(x1)-H(x2)＜1?m2-mlnm-＜1?m-lnm-＜0，所以设h(m)=m-lnm-(1＜m≤e)判断其单调性求其最值即可证得．19.本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲：已知函数(1)解不等式;

(2)若不等式的解集为空集，求实数的取值范围.参考答案：.(1)

解得

……………5分(2)由的图像可得

……………10分略20.已知公差不为零的等差数列{an}中，，且，，成等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列的前n项和Sn，求Sn.参考答案：（1）；(2)见解析。（1）设公差为d，则由，，成等比数列.得整理得，所以。（2）利用“错位相减法”求和21.（本小题满分12分）某创业团队拟生产A，B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2).(注:利润与投资额的单位均为万元)（注：利润与投资额的单位均为万元）(1)分別将A，B两种产品的利润、表示为投资额x的函数；(2)该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A，B两种产品的生产，问:当B产品的投资额为多少万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少?参考答案：（1），；（2）6.25,4.0625.

试题分析：（1）由产品的利润与投资额成正比，产品的利润与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；（2）由（1）的结论，我们设产品的投资额为万元，则产品的投资额为万元，这时可以构造出一个关于收益的函