广东省梅州市水寨中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析

广东省梅州市水寨中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，称为整数的为“希望数”，则在内所有“希望数”的个数为

．参考答案：9略2.已知，则等于（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：D由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约，故m为一确定的值，于是sinθ,cosθ的值应与m的值无关，进而推知tan的值与m无关，又<θ<π，<<,∴tan>1，故选D。3.对于非空实数集，记.设非空实数集合、满足：，且若，则.现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合、，必有；②对于任意给定符合题设条件的集合、，必有；③对于任意给定符合题设条件的集合、，必有；④对于任意给定符合题设条件的集合、，必存在常数，使得对任意的，恒有，其中正确的命题是A.①③

B.③④

C.①④

D.②③

参考答案：C对于②，假设，则，则，因此②错误；对于③，假设，则，又，则，因此③也错误，而①和④都是正确的，故选C.4.已知为第二象限角，是关于x的方程的两根，则的等于

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】已知三角函数式的值，求另一个三角函数式的值.

C7A

解析：由已知得又为第二象限角，所以==，故选A.【思路点拨】由已知得，又为第二象限角，所以==.5.椭圆的中心在原点，F1，F2分别为左、右焦点，A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率等于（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由已知可得P（﹣c，），又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），由PF2∥AB，得﹣，化为b=2c，即可求解．【解答】解：如图所示，把x=﹣c代入椭圆方程，可得P（﹣c，），又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），∴kAB=﹣，=﹣，∵PF2∥AB，∴﹣，化为：b=2c．∴4c2=b2=a2﹣c2，即a2=5c2，∴e=．故选：D6.在圆内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A7.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（

）（A）、

（B）、

（C）、

（D）、参考答案：C.由，得：，即，令，则当时，，即在是减函数，

，，，在是减函数，所以由得，，即，故选8.设是定义在R上的奇函数，且当时单调递减，若，则的值

(

）A．恒为负值

B．恒等于零

C．恒为正值

D．无法确定正负参考答案：A9.某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为A．B．C．D．A.关于原点对称

B.关于直线y=x对称

C.关于x轴对称

D.关于y轴对称参考答案：A10.设a=log36，b=2﹣2，c=log2，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log36＞1，0＜b=2﹣2＜1，c=log2＜0，∴a＞b＞c，故选：A．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列等式：…，根据以上规律，________________。（结果用具体数字作答）

参考答案：1296观察前3个等式发现左边的等式分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得.12.已知为虚数单位，则=

.

参考答案：略13.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中正确命题的序号是________．参考答案：①③④略14.设数列的前项和为，已知，，，是数列的前项和.（1）求数列的通项公式； （2）求；（3）求满足的最大正整数的值.参考答案：解：（1）∵当时，，

∴.

……………1分

∴.

……………2分

∵，，

∴.

……………3分∴数列是以为首项，公比为的等比数列.∴.

……………4分（2）由（1）得：，

……………5分

∴

……………6分

……………7分

.

……………8分（3）

……………9分

……………10分.

……………11分令，解得：.

……………13分故满足条件的最大正整数的值为.

……………14分略15.在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数.下列4个函数中是一阶格点函数的有

．①

②

③

④参考答案：②④16.过双曲线的右焦点Ｆ和虚轴端点Ｂ作一条直线，若右顶点Ａ到直线ＦＢ的距离等于，则双曲线的离心率参考答案：2略17.以线段AB：为直径的圆的方程为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知f（x）=ax++2-2a（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．

（I）求a，b满足的关系式；

（II）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（III）证明：（n∈N+）参考答案：②a≥1时，≤1，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函数，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．

综上所述，所求a的取值范围是[1，+∞）…………………8分

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知当a≥1时，f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立．

取a=1得x?≥2lnx，令x＝＞1得－＞2ln即+＞2ln所以+＞ln上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得故（n∈N+）……12分．19.（本小题满分13分，⑴小问5分，⑵小问8分）（原创）如图，在四面体中，平面，，，。是的中点，是的中点，点在线段上，且。⑴证明:平面；⑵若异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求的值。

参考答案：

法一：⑴如图，连并延长交于，连，过作交于，则，。故，从而。因平面，平面，故平面；⑵过作于，作于，连。因平面，故平面平面，故平面，因此，从而平面，所以即为二面角的平面角。因，故，因此即为的角平分线。由⑴易知，故，从而，。由题易知平面，故。由题，故。所以，从而。法二：如图建立空间直角坐标系，则，，，，。

⑴设，则，因此。显然是平面的一个法向量，且，所以平面；⑵由⑴，，，故由得，因此，从而，。设是平面的法向量，则，取得。设是平面的法向量，则，取得。故.

20.几何证明选讲如图，MN为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A，B，C，D，E，求证：AB·CD=BC·DE．参考答案：略21.已知函数 （Ⅰ）求的解析式及减区间；（Ⅱ）若的最小值.参考答案：解：（Ⅰ）令得，

——————————1 ，所以，————————————2，

，————————————5由得，的减区间为（）.——————————————7分（Ⅱ）由题意

，

，————————————8

设，.

当时，恒成立，无最大值；——————10当时，由得，得.在上为增函数，在上为减函数.，，——13，

设，，由得，得，，所以的最小值为.

———1522.已知f（x）=2sinx，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{an}，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn=，设数列{bn}的前n项和为Tn，求证Tn＜．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）根据题意求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用放缩法和裂项相消法求出结