微专题四　一线三等角模型

第四章三角形微专题四一线三等角模型1.定义：一线三等角是一个常见的模型，指的是有三个相等的角的顶点在同一条直线上构成的相似（或全等）图形，也可称为“K形图”或“M形图”.2.一线三等角的性质（1）一般情况下，由一条直线上三个相等的角，易得两个相似三角形；（2）当等角所对的边相等时，相似的两个三角形全等.注：三个相等的角可以是锐角、直角或钝角.3.构造一线三等角的基本步骤做题过程中，若出现一角的顶点在一条直线上的形式，就可以构造两侧的两个相等的角，利用全等三角形或相似三角形解决相关问题，本质就是找角、定线、构相似.

类型条件图示结论一线三等角（不包含直角）同侧型（三个等角都在直线的同侧）点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，三个角在AB同侧△ACP∽△BPD点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，P是AB的中点△ACP∽△BPD∽△PCD类型条件图示结论一线三等角（不包含直角）异侧型（三个等角分居在直线的两侧）点P在射线AB上，∠1＝∠2＝∠3，三个角在AB两侧△ACP∽△BPD一线三直角特别地，当∠1＝∠2＝∠3＝90°时，为一线三直角模型△ACP∽△BPD.特殊地，当PC＝PD时，△ACP≌△BPD

▶类型1：一线三等角（不包含直角）【例1】【问题发现】如图1，直线m经过点A，已知AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（0°＜α＜90°），则线段DE、BD、CE之间的数量关系是

DE＝BD＋CE

⁠；

【类比探究】如图2，在（1）的条件下，若90°＜α＜180°，则线段DE、BD、CE之间的数量关系是

DE＝BD＋CE

⁠；

【拓展探究】如图3，若点A是DE的中点，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α，请问线段AD、BD、CE之间满足什么数量关系？并说明理由.DE＝BD＋CE

DE＝BD＋CE

思路点拨

（2）同（1）易得DE＝BD＋CE

▶类型2：一线三直角【例2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.图1

图2（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE.（2）当直线MN绕点C旋转到如图2所示的位置时，求证：DE＝AD－BE.（3）当直线MN绕点C旋转到如图3所示的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明.图3

思路点拨

↓

证明：（1）①∵AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，

∴∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠DAC＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE.

又∵AC＝BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）；

②由①知，△ADC≌△CEB，

∴AD＝CE，CD＝BE.

∴DE＝CE＋CD＝AD＋BE.图1

证明：（2）∵AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，

∴∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，

∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE.

又∵AC＝BC，∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD＝CE，CD＝BE，

∴DE＝CE－CD＝AD－BE.图2证明：（3）DE＝BE－AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE）.图3

▶类型1：一线三等角（不包含直角）1.已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°.（1）当∠DEC＝120°时，求∠BDA的度数；解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝45°.

∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC

＝∠BAD＋45°.

又∵∠ADC＝∠CDE＋45°，

∴∠BAD＝∠CDE，

∴△ABD∽△DCE，

∴∠BDA＝∠DEC＝120°.（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式.

▶类型2：一线三直角

（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；

（2）若OD＝1，求点C的坐标，判断四边形ABCD的形状并说明理由；

解：（2）∵CD∥AB，∴设直线CD的解析式为y＝－x＋m.又∵OD＝1，点D在x轴的正半轴上，∴点D的坐标为（1，0）.将D（1，0）代入y＝－x＋m，得m＝1.∴直线CD的解析式为y＝－x＋1.对于y＝－x＋1，当x＝0时，y＝1，∴C（0，1）.以点A，B，C，D构成的四边形是矩形.理由如下：∵A（3，2），B（2，3），C（0，1），D（1，0），

又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，则E（0，3）.∵CE＝OE－OC＝2，BE＝2，∴△BEC和△COD都为等腰直角三角形，∴∠ECB＝∠OCD＝45°，∴∠BCD＝90°，∴▱ABCD是矩形.

解：（3）①当∠MAD＝90°时，如图2，作PD⊥x轴，过A点作PQ∥x轴，QM⊥PQ于点Q.∵△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM.又∵∠PAD＋∠PDA＝90°，∠PAD＋∠QAM＝90°，∴∠PDA＝∠Q