2022-2023学年天津市天津一中高二年级1月期末考试数学 解析版

天津一中2023年高二年级1月期末考试数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.第Ⅰ卷为第1页，第Ⅱ卷为第2页.考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线：，：，若，则实数（）A.－2 B.－1 C.0 D.1【答案】D【解析】【分析】两直线平行，则斜率相等求解.【详解】已知直线：，：，因为，所以故选：D【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，属于基础题.2.若圆截直线所得弦长为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先将圆的方程转化为标准方程形式,可得圆心为,半径为,再求出圆心到直线距离,根据弦长为,即可求得.【详解】由题,由圆的一般方程可得圆的标准方程为,则圆心为,半径为,所以圆心到直线距离为,则弦长为,即,所以,故选:C【点睛】本题考查利用弦长求参数,考查点到直线距离公式的应用,考查圆的一般方程与标准方程的转化.3.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（）A.12 B.20 C.28 D.30【答案】B【解析】【分析】根据递推关系求得，进而可得答案.【详解】由已知得，，，，故选：B.4.与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出所求椭圆的焦点坐标，可得出的值，由已知条件可得出的值，由此可得出的值，进而可得出所求椭圆的标准方程.【详解】椭圆可化为标准方程，可知椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，故可设所求椭圆方程，则.又，即，所以，故所求椭圆的标准方程为.故选：B.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，要注意分析椭圆焦点的位置，考查计算能力，属于基础题.5.已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】由，可得，，，根据双曲线的定义求得，进而得到，即可求得双曲线的渐近线方程.【详解】由题意，、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，且满足，可得，，，由双曲线的定义可知，即，又由，所以双曲线的渐近线方程为.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．6.已知等差数列，是其前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设数列的公差为，由等差数列的通项公式和前项和公式列关于和的方程，解方程求出和，再计算和即可得正确选项.【详解】设数列的公差为，由题意可得，解得，所以，，故选项D正确，故选：D.7.设是等比数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为，求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，若，则，矛盾.所以，，故，则，所以，，，因此，.故选：B.8.已知等差数列的前n项和为，，，则当S取得最小值时，n的值为（）A.4 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】利用等差数列前n项和公式可知，，即，从而可确定当S取最小值时n的值.【详解】因为，故.同理，故，所以，即当时，取得最小值.故选：C.【点睛】本题考查等差数列性质和等差数列前n项和的应用，属于基础题.9.已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出点坐标，作关于准线的对称点，利用连点之间相对最短得出为的最小值．【详解】解：抛物线的准线方程为，∵，∴到准线的距离为4，故点纵坐标为2，把代入抛物线方程可得．不妨设在第一象限，则，点关于准线的对称点为，连接，则，于是故的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．10.已知F是双曲线C：的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设的左焦点为，连接，过作于，根据已知及双曲线性质有为线段的中垂线，结合双曲线定义及关系得到关系，即可得离心率.【详解】设的左焦点为，连接，过作于，易知，所以为的中位线，又图中双曲线的渐近线方程为则，，则为线段的中点，所以为等腰三角形，即又，即，，得.故选：B.第Ⅱ卷二、填空题：（每小题6分，共24分）.11.圆的圆心为，且圆与直线相切，则圆的方程为_________________.【答案】【解析】【分析】先求圆心到直线的距离，再求出半径，即可由圆的标准方程求得圆的方程．【详解】圆的圆心为，与直线相切，圆心到直线的距离等于半径，即，圆的方程为．故答案为：．【点睛】本题考查圆的标准方程，直线与圆相切关系的应用，是基础题．12.若抛物线准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为______.【答案】或【解析】【分析】先求出抛物线的准线，再根据距离列方程求解即可.【详解】抛物线的准线为，则，解得或，故抛物线的方程为或.故答案为：或.13.等比数列中，，是方程的两根，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】由韦达定理可得，易知，再由等比数列的性质有，结合等比数列通项公式判断的符号，进而求目标式的值.【详解】由题设知：，又为等比数列，∴，且，而，∴，故.故答案：14.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为_________；【答案】【解析】【分析】由椭圆离心率和关系可得关系，再由点差法和中点坐标公式、两点的斜率公式可得所求值.【详解】由题意可得，整理可得，设，则，两式相减可得，的中点为，，则直线斜率.故答案为：.15.已知各项为正数的数列的前项和为，且，，则数列的通项公式为_________.【答案】【解析】【分析】先由题干求出是以为首项，公差为的等差数列，并且求得，进而写出数列的通项公式.【详解】解：，，当时，由，可得，即.是以为首项，公差为的等差数列...当时，.当时，上式成立.故数列的通项公式为.故答案为：.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质，考查转化思想，分析问题能力，属于中档题.16.已知等差数列中，，，记数列的前n项和为，若对任意的都成立，则实数m的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】先利用等差数列的通项公式列方程求出数列的通项公式，令，通过计算的正负确定的单调性，进而求出的最大项，则可求出实数m的取值范围.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，则等差数列的通项公式为，则数列的通项公式为，令，则即，即为递减数列，的最大项为，，故答案为：三、解答题：（本题共4小题，共46分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.若数列的前n项和为，且，等差数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用得到数列是等比数列，利用等比数列的通项公式可得数列，再代入数列满足的等式可得的通项公式；（2）利用错位相减法可求和.【小问1详解】，又，两式相减得，即，故数列是以3为公比的等比数列，又当时，，得，，，，等差数列的公差为，【小问2详解】由（1）可得，，上两式相减得，18.已知数列，，满足，，且.（1）求数列，的通项公式；（2）记，求证：．【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分别利用累乘法和累加法求通项即可；（2）利用裂项相消得到，即可证明【小问1详解】根据可得，所以，当时，，成立，所以，，所以，当时，，成立，所以.【小问2详解】由（1）可得，所以，因为，所以.19.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点A在椭圆C上，，，过与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点.（1）求椭圆C的方程；（2）已知点，且，求直线l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)根据椭圆的几何性质和条件列方程求出a，b，c；(2)设直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出中点N的坐标，再利用，求出直线l的斜率.【小问1详解】，在中，，即，，解得：，，椭圆C的方程为：；【小问2详解】由题意设l的方程为：，，联立方程，得，，，，，，即，化简得：，，直线l的方程为或者；综上，椭圆C的方程为：，直线l的方程为或者.20.已知数列中，，，，数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和；（3）在（2）的条件下，设，求证：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】