2009数一真题、标准答案及解析

x0fxxsinaxgxx2ln1bx等价无穷小，则 (A)a1,b (B)a1,b 6 6(C)a1,b (D)a1,b 1111如图，正方形x,yx1,y1被其对角线划分1111四个区域Dk1,2,3,4，I ycosxdxdy，则maxI

1k (A)I1 (B)I2 (C)I3 (D)I4x设函yfx在区间13上的图ff121123x则函Fx0ftdt的图形xff1O-123-f121231 ff12123-f11O123 设有两个数列an,bn，若liman0n （A）当bn收敛时，anbn收敛 （B）当bn发散时，anbn发散 (C)当b收敛时，a2b2收敛 (D)当b发散时，a2b2 n

n

n设,,3R3的一组基，则由基11 12,23,31 1

1 0

23

3

3 3 1 1 6 2(C)

1

(D)

1 1 6

4

4 1

1 6 6 AB2A*B*A,BA2,B3 A 矩阵 3B* 2B*A B 2 O O 3A* 2A*C D O Ox12 ，其中x为标准2 (A)0 设 量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N0,1，Y的概率分布PY0PY11，记FZz为 量ZXY的分布函数则函数FZz2 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分2设函数fu,v具有二阶连续偏导数，zfx,xy，则xy 微分方程yayby0的通解为yCCxex，则 方程yaybyx满足条件y02,y00的解为y L 2，则xds L设x,y,zx2y2z21，则z2dxdydz 若3维列向量,满足T2，其中T为的转置，则矩阵T的非零特征值 ,均值和样本方差.若XkS2为np2的无偏估计量，则k 三、解答题：15~23小题，共94分（15（f(xyx22y2ylny的极值（16（na为曲线yxnyxn1n12所围成区域的面n S1anS2a2n1S1S2的值

是椭x2y21x轴旋转而成，圆锥面

是过 y4,0且与椭圆x y2 相切的直线 轴旋转而成 S1S2的方S1S2之间的立体体积（18（证 日中值定理：若函数fx在a,b上连续，在(a,b)可导，则存ab，使fbfafb证明：若函数fxx0处连续，在0,0内可导，且

fxA则f0存在，且f0A19（

xdydzydzdx3x2y2z23

，其中2x22y2z24的外侧（20（ 设A 1，1 2

2 （I）A的.A2的所有向量 （II）对（Ⅰ）中的任意向量23证明123无关（21）（11分）fxxxax2ax2a1x22xx2x 1 2f fy2y2，求a 22（两次，每次取一球，以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.（Ⅰ）pX1Z求二维 量X,Y概率分布（23）（11分）X的概率密度为

2xex,xf(x)0,

(Ⅰ)求参数的矩估计量；（Ⅱ）求参数的最大似然估计量x0fxxsinaxgxx2ln1bx等价无穷小，则 a1,b 6 6(C)a1,b (D)a1,b f(xxsinaxg(x)x2ln(1bxlimf(x)limxsin xsinax洛lim1acosax洛lima2sinx0 x0x2ln(1 x0x2 lima2sinaxa31x06b a

a3 另外lim1acosax存在，蕴含了1acosax0x0故a 排除 所以本题选1111D1D如图，正方形x,yx1,y1被其对角1111D1D四个区域Dk1,2,3,4，I ycosxdxdy，则maxI

1k I1 (B)

(C)

(D)I4xD2D4xf(xyycosxf(xyI2I40D1D3yf(xyycos(xycosxf(xy关于x的偶函数，所以I1 ycosxdxdy0(x,y)I3 ycosxdxdy0.所以正确答案为(x,y)y设函yfx在区间13上的图形为ff121123x则函Fx0ftdt的图形xff1O-123x-f12123- ff12123-f11O123 【答案】yf(xxyx0,1F(x)0，且单调递减x12F(x)单调递增x23F(x)为常函数x10F(x)0为线性函数，单调递增设有两个数列an,bn，若liman0 （A）当bn收敛时，anbn收敛 （B）当bn发散时，anbn发散 (C)当b收敛时，a2b2收敛 (D)当b发散时，a2b2 n

n

n【答案】n举反例：（A）ab1)nn 11（B）取anbn1（D）

bn故答案为方法二：因为liman0,则由定义可知N1nN1an又因为

收敛，可得limnn

0,则由定义可知N2nN2bnnNNa2b2b，则由正项级数的比较判别法可知a2b2收敛 n 设,,3R3的一组基，则由基11

n 12,23,31 1

1 0

23(A) 0 (B) 3

3 3 1 1 6 2(C)

1

1 6

4

4 1

1 6 6 【答案】【解析】因为1,2,L,n1,2,L,nAA称为基1,2,L,n到1,2,L的过渡矩阵 则由基

22

3到12,23,31的过渡矩M3,,,1,1 12233 ,1,1 1

3

3AB2A*B*A,B A 矩阵 3B* 2B*A B 2 O O 3A* 2A*C D

A2,B3 O【答案】

O【解析】根据CCCE，若CCC1,C11 A 分块矩阵 O的行列式 O

AB236 A A A B1 1B 6 6 O 0 O O 1 1B 2B6 O

O 故答案为

x12 ，其中x为标准2 (A)0 【答案】x12 2 Fx0.3x0.7x12 2 EXxFxdx

x0.3 x1 20.3xxdx

xx1

2 xxdx0，xx1 x1u

2u1udu 2 EX00.3520.7设 量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N0,1，Y的概率分布1PY0PY1 ，记FZz为 量ZXY的分布函数，则函数FZz12 【答案】FZ(z)P(XYz)P(XYzY0)P(Y0)P(XYzY1)P(Y1[P(XYzY0)P(XYzY1)]1[P(X0zY0)P(XzY1)]QX,Y

(z)1[P(X0z)P(Xz)]11（1）z0FZ(z211（2）z0FZ(z2(1z0为间断点，故选二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上2设函数fu,v具有二阶连续偏导数，zfx,xy，则xy xf"f 2 xf1f2yxyxf12f2yxf22xf12f2xyf22 微分方程yayby0的通解为yCCxex，则 方程yaybyx满足条件y02,y00的解为y yxexx2yccx)ex，得1a2,b y''2y'yy*AxByAA2AAxB2B0,B 特解y*x y(ccx)exx 把y(0) ，y'(0)0代入，得c10,c2yxexx

2，则Lxds 62【解析】由题意可知，xx,yx2,0x ，2ds x2y2dx 14x2dx所以xds

x14x2dx1214x2d14x22L18

81414x2206设x,y,zx2y2z21，则z2dxdydz 4 2dcos2dcos1 2cos31d4 0 z2dxdydz1x2y2z2dxdydz1d2d1r4sin 3 3 2sind1r4dr21sind 若3维列向量,满足T2，其中T为的转置，则矩阵T的非零特征值 【答案】【解析】QTTT2 T的非零特征值为值和样本方差.若XkS2为np2的无偏估计量，则k E(XkX2)npknp(1p)1k(1p)k(1p)pk三、解答题：15~23小题，共94分（15（f(xyx22y2ylny的极值fx(x,y)2x(2y2)fy(x,y)2x2ylny11x0,yef2(2y2),f2x21,f 则f 12(21)，f 0，f eexx(0, ee

xy(0,e

yy(0,1eQf0而f)2ff xx

f(0,

1) )（16（na为曲线yxnyxn1n12,所围成区域的面n S1anS2a2n1S1S2的值 n2 所以an0(x )dx(n

n

n n 从而S1anlimanlim( L - )l N N N1N N N S

1 11L1 )1111 n1 1 (n1)由ln(1+x)=x-2

L x1nln(2)1(111L)1S2S21ln2

是椭x2y21x轴旋转而成，圆锥面

是过 y4,0且与椭圆x y2 相切的直线绕轴旋转而成 S1S2的方S1S2之间的立体体积

x y2

1 过点4,0与 1的切线为y x2 Sy2z21x2 （II）S1S2之间的体积等于一个底面半径

2

4积V之差，其中V32(4x2)dx5.954 （18（证 日中值定理：若函数fx在a,b上连续，在(a,b)可导，则存ab，使fbfafb证明：若函数fxx0处连续，在0,0内可导，且

fxA则f0存在，且f0A【解析】（Ⅰ）作辅助函数(xf(xf(a

f(b)fb

(xa，易验证(x)(a(b)(x)在闭abab'(x)f'(x)

f(b)f.b根 定理，可得在a,b内至少有一点，使'()0， f'()f(b)f(a)0,f(b)f(a) b

0（Ⅱ）任取x0(0,)，则函数f(x)满足：在闭区间0,x0上连续，开区间0,x0内可导， 日中值定理可得：存在x0,x00,，使得0 ……xf' f(x0) ……x 00f'0

fxA，对上式（*式）两x0时的极限0f(x0)ff(x0)ff'x0x0x0x f0)f0)A19（

xdydzydzdx3x2y2z23

，其中2x22y2z24的外侧xdydzydxdz I

，其中2x2yz(x2y2z2Q

y2z2 x

)3/

)

x2z22(x2y2z2)5/2,y(x2y2z2)3/ )

x2y2(x2y2z2)5/2,z(x2y2z2)3/①+②+③= )x(x2y2z2

)y(x2y2z2

z(x2y2z2

):x2y2z2R2.0R1 xdydzydxdz xdydzydxdz 43 (x2y2z2 3R

R3

3dV

（20（ 设A 1

1 1 （I）A的.A2的所有向量 （II）对（Ⅰ）中的任意向量23证明123无关

1 1 11

1

1 22 1 0 x1x20x31 0

，其k1为任意常数.解方程A231A2

2 2 0 0 2 0 012A2, 1 0 2 0 x1A2x0x1,x12

12求特解200 0

故3k210 0

，其k2为任意常数

122k2122 由于

2kk(2k1)(k

)2k(k

)k(2k1 2k1

1 12

故

线性无关（21）（11分）fxxxax2ax2a1x22xx2x 1 2f fy2y2，求a 1

a