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复习1:直角坐标系下二重积分的计算

若积分区域为则

若积分区域为则复习2:交换积分顺序二、利用极坐标计算二重积分9.2二重积分的计算

第九章补、二重积分的应用补:极坐标xy点的直角坐标与极坐标的关系为极坐标系下的方程xy极坐标下常用曲线xy1.圆2.射线xy4.心形线3.阿基米德螺线下列各图中域D

分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)练习:二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积及射线

=常数,分划区域D为即极坐标系下的面积元素对应有在内取点0ABFEDD:rr区域特征如图在极坐标下的积分0ABFED.rD:区域特征如图从小到大，从边界到边界积分箭头：,如图,则表为特别地,积分区域于是解在极坐标系下

与圆域有关,考虑用极坐标展开．化成二次积分，其中解：所以例7.将例8.计算其中解:

在极坐标系下原式故的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于坐标计算.补、二重积分的应用当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．2性质3若为D的面积，1二重积分的几何意义3空间曲面的面积.P117求两底半径为R的直交圆柱所围成的立体体积．解：设两柱面方程分别为

由对称性,所求立体体积为其在第一卦限部分体积的8倍例5.1求空间体的体积曲顶为：

第一卦限部分的底面区域为：所以例+.

求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:

由对称性可知例+.求由抛物线和直线图形的面积.2求平面区域的面积所围成平面解:3求空间曲面的面积.曲面面积公式为：３、设曲面的方程为：曲面面积公式为：1、设曲面的方程为：２、设曲面的方程为：曲面面积公式为：则极坐标系二重积分转换为二次积分的情形:内容小结若积分区域为特别原点在边界上原点在区域内二重积分的计算•

画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便直角坐标－区域边界多为折线极坐标－区域边界多为圆弧直角坐标下根据X、Y型确定极坐标先半径后角度图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式

作业

P935(2,3)6(2,6,8,10),8练习1.交换积分顺序提示:

积分域如图2.计算其中D

为由圆所围成的及直线解：

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