范数及条件数讲课教案

范数及条件数1.向量的范数范数的另一个简单例子是三维欧氏空间的长度设x=(x1,x2,x3)，则x的欧氏范数定义为：欧氏范数也满足三个条件：

x，y

R3，a为常数(1)

x

≥0，且x=0

x=0(2)

ax

=

a

x

(3)

x+y

≤

x

+

y

前两个条件显然，第三个条件在几何上解释为三角形一边的长度不大于其它两边长度之和。因此，称为三角不等式。向量范数的一般概念：定义1：设V是数域F上的向量空间，对V中任一向量α，都有唯一实数α

与之对应，满足如下三个条件：1)正定性：α≥0，且α=0

α=02)齐次性：kα=|k|α

，这里k

F3)三角不等式：α+

α

+

则称α为α的范数。定义了范数的向量空间称为赋范向量空间.简单性质：(1)x

0——单位向量(2)||x||=||–x||(3)|||x||–||y|||||x–y||——当x

y时，||x||||y||Cn上的常见范数有：1)1-范数

2)2-范数称为欧氏范数3)-范数不难验证，上述三种范数都满足定义的条件。注：上述形式的统一：1

p

例

设x=(1,0,-1,2)T,计算

解:=1+0+|-1|+2=4有了范数的概念，就可以讨论向量序列的收敛性问题。定义2：设给定Cn中的向量序列{xk}，即x0，x1，…，xk，…其中若对任何i(i=1,2,…,n)都有则向量称为向量序列{xk}的极限，或者说向量序列{xk}依坐标收敛于向量x*，记为定理5：定义在Cn上的向量范数||x||是变量x分量的连续函数。（f(x)=||x||）定理6：在Cn上定义的任何两个范数都是等价的。即存在正数k1与k2(k1≥k2>0)，对一切xCn，不等式k1||x||b

||x||a

k2||x||b成立。对常用范数，容易验证下列不等式：矩阵的范数矩阵的范数性质矩阵的范数性质（续1）矩阵范数常见的矩阵范数对称矩阵范数例题矩阵的谱半径例题谱半径矩阵的谱半径例：设A=(aij)nn，||A||为其算子范数，如果||A||<1,则

I–A可逆，且5.5误差分析求解时，A和的误差对解有何影响？设A精确，有误差，得到的解为，即绝对误差放大因子又相对误差放大因子设精确，A有误差，得到的解为，即是关键的误差放大因子，称为A的条件数，记为cond(A),此数越则A越病态，越难得准确解。大(只要A充分小，使得注:

cond(A)的具体大小与||·||的取法有关，但相对大小一致。

cond(A)取决于A，与解题方法无关。常用条件数有：cond(A)1cond(A)cond(A)2特别地，若A对称，则条件数的性质：

A可逆，则cond(A)p

1；

A可逆，R

则cond(

A)

=cond(A)；

A正交，则cond(A)2=1；

A可逆，R正交，则cond(RA)2

=cond(AR)2

=cond(A)2。精确解为例：计算cond(A)2。A1=解：考察A的特征值39206>>1

测试病态程度：给一个扰动，其相对误差为此时精确解为2.0102>200%例：Hilbert阵cond(H2)=27cond(H3)748cond(H6)=2.9106cond(Hn)asn注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出。行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；元素间相差大数量级，且无规则；主元消去过程中出现小主元；特征值相差大数量级。近似解的误差估计及改善：设的近似解为，则一般有cond(A)误差上限改善方法：步骤1:近似解步骤2:步骤3:步骤4:若可被精确