初中数学华东师大版八年级下册第十九章矩形菱形与正方形单元复习“衡水杯”一等奖

第19章矩形、菱形与正方形单元测试卷一、选择题(每题3分,共30分)1.如图,在矩形OABC中,OA=2,OC=1,把矩形OABC放在数轴上,O在原点,OA在正半轴上,把矩形的对角线OB绕着原点O顺时针旋转到数轴上,点B的对应点为B',则点B'表示的实数是() C.5 52.下列命题是真命题的是()A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形3.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为() 4.如图,把一张长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为()°或30° °或45° °或60° °或60°5.如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为()A.12 B.98 6.如图,已知正方形ABED、正方形BCFE,现从A、B、C、D、E、F六个点中任取三点,使得这三个点构成直角三角形的三个顶点,这样的直角三角形有()个 个 个 个7.如图,在菱形ABCD中,M、N分别在AB、CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连结BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为()° ° ° °8.如图,在正方形ABCD外侧,作等边三角形ADE,AC、BE相交于点F,则∠BFC为()° ° ° °9.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则EF的最小值为() 如图所示的矩形是由六个正方形组成的,其中最小的正方形的面积为1,则此矩形的面积为() 二、填空题(每题3分,共24分)11.已知正方形ABCD的对角线AC=2,则正方形ABCD的周长为_______________.12.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连结AE,如果∠ADB=30°,则∠E=______________.

13.如图,在平面直角坐标系中,▱MNEF的两条对角线ME、NF交于原点O,点F的坐标是(3,2),则点N的坐标是_____________.14.如图,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1和2,则正方形的边长是_____________.

15.如图,在矩形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,连结DE和BF,分别取DE、BF的中点M、N,连结AM、CN、MN,若AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为_____________.16.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是_____________.17.如图,已知在正方形ABCD中,延长BC至E,使CE=CA,连结AE交CD于F,则∠DFE=_____________度.18.在平面直角坐标系中,已知A、B、C三点的坐标分别是A(0,4)、B(-3,0)、C(m,0)(m≠-3).如果存在点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形,则点m的值等于_____________.三、解答题(19,20题每题6分,21,22题每题8分,其余每题9分,共46分)19.如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交BC于点G,连结AG.(1)求证:△ABG≌△AFG;(2)求BG的长.20.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AM⊥BC,垂足为M,AN⊥DC,垂足为N.若∠BAD=∠BCD,AM=AN,求证:四边形ABCD是菱形.21.如图,在正方形ABCD中,E是边AB的中点,F是边BC的中点,连结CE、DF.求证:CE=DF.22.如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥OF于点F.(1)求证:四边形CDOF是矩形;(2)当∠AOC为多少度时,四边形CDOF是正方形?并说明理由.23.如图,在菱形ABCD中,E为边BC的中点,DE与对角线AC交于点M,过点M作MF⊥CD于点F,∠1=∠2.求证:(1)DE⊥BC;(2)AM=DE+MF.24.在▱ABCD中,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点,连结EG、GF、FH、HE.(1)如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由;(2)如图②,当EF⊥GH时,四边形EGFH的形状是_____________;

(3)如图③,在(2)的条件下,若AC=BD,四边形EGFH的形状是____________;

(4)如图④,在(3)的条件下,若AC⊥BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.参考答案一、1.【答案】C解：∵四边形OABC是矩形,OC=1,OA=2,∴∠BAO=90°,AB=OC=1.∴在Rt△OAB中,由勾股定理得OB=AO2+AB2=22.【答案】A3.【答案】C解：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC.又∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.∴AC=AB=4.∴以AC为边长的正方形ACEF的周长为4×4=16.4.【答案】D解：如图,设所得四边形为菱形ABCD.则∠CBD=12当∠BAD=120°时,有∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°,∴∠CBD=30°.当∠ABC=120°时,有∠CBD=60°.∴剪口与第二次折痕所成角的度数应为30°或60°.故选D.5.【答案】C解：∵AB=8,AD=6,纸片折叠,使得AD边落在AB边上,∴DB=8-6=2,∠EAD=45°.又∵△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,∴AB=AD-DB=6-2=4,△ABF为等腰直角三角形,∴BF=AB=4,∴CF=BC-BF=6-4=2,而EC=DB=2,∴△CEF的面积=126.【答案】B解：从A、B、C、D、E、F六个点中任取三点,以这三点为顶点可得到14个直角三角形,分别为△ABE、△ADE、△ABD、△BED、△BCE、△CFE、△BCF、△BEF、△ACF、△ADF、△ACD、△CDF、△AEC、△DBF.7.【答案】C8.【答案】C9.【答案】C解：连结AP,由题意易知∠BAC=90°,根据三个角都是直角的四边形是矩形,得四边形AEPF是矩形,根据矩形的对角线相等,得EF=AP,则EF的最小值即为AP的最小值,根据垂线段最短,知AP的最小值等于直角三角形ABC斜边BC上的高.10.【答案】C解：如图,由题意知正方形FGHI的边长为1,设GJ的长度为x,则正方形GJKL的边长为x,正方形LKCM的边长为x,正方形EBJF的边长为x+1,正方形AEIN的边长为x+2,正方形NHMD的边长为x+3.因为四边形ABCD为矩形,所以AD=BC,所以x+2+x+3=x+1+x+x,解得x=4.所以AB=x+2+x+1=2x+3=11,BC=3x+1=13,所以矩形ABCD的面积为11×13=143.故选C.二、11.【答案】412.【答案】15°解：如图,连结AC,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BE,AC=BD,∴∠E=∠DAE.又∵BD=CE,∴CE=CA,∴∠E=∠CAE.∵∠CAD=∠CAE+∠DAE,且易知∠CAD=∠ADB=30°,∴∠E+∠E=30°,∴∠E=15°.13.【答案】(-3,-2)解：要求点N的坐标,根据平行四边形的中心对称性和关于原点对称的点的坐标特征写出点N的坐标.在▱MNEF中,点F和点N关于原点对称,∵点F的坐标是(3,2),∴点N的坐标是(-3,-2).14.【答案】5解：观察题图易得两直角三角形全等,由全等三角形的性质和勾股定理得正方形的边长为22+115.【答案】3解：由题意易证得△BCN与△DAM全等,△AEM与△CFN全等,所以△BCN与△DAM的面积相等,△AEM与△CFN的面积相等.又易知▱DFNM与▱BEMN的面积也相等,所以阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半,即1216.【答案】10解：连结DE,交AC于P',连结BP',则当P在P'位置时PB+PE的值最小.∵四边形ABCD是正方形,∴点B、D关于直线AC对称,∴P'B=P'D,∴P'B+P'E=P'D+P'E=DE.∵BE=2,AE=3BE,∴AE=6,∴AD=AB=8,∴DE=AE2+A故PB+PE的最小值是10.17.【答案】解：由题意易知∠ACB=45°,因为CA=CE,所以∠E=∠CAF=12∠ACB=°,所以∠DFE=∠E+∠FCE=°+90°=18.【答案】2或-8或3或76解：要使以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形,则△ABC必定是等腰三角形.分三种情况讨论:①若AB=AC,则m=3;②若AB=BC.则m=2或-8;③若AC=BC,则m=76三、19.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠D=90°,AD=AB.由折叠的性质可知,AD=AF,∠AFE=∠D=90°,∴AB=AF,∠AFG=90°.∴∠AFG=∠B=90°.又∵AG=AG,∴Rt△ABG≌Rt△AFG.).(2)解:∵Rt△ABG≌Rt△AFG,∴BG=FG.设BG=FG=x,则GC=6-x,∵E为CD的中点,∴CE=DE=EF=3,∴EG=x+3,在Rt△CEG中,由勾股定理,得32+(6-x)2=(x+3)2,解得x=2,∴BG=2.20.证明:∵AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°,∠BCD+∠D=180°.又∵∠BAD=∠BCD,∴∠B=∠D.∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AM⊥BC,AN⊥DC,∴∠AMB=∠AND=90°.在△AMB和△AND中,∠B=∠D∴△AMB≌△AND,∴AB=AD.∴四边形ABCD是菱形.21.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD,∠EBC=∠FCD=90°.又∵E、F分别是AB、BC的中点,∴BE=CF,∴△CEB≌△DFC,∴CE=DF.22.(1)证明:∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB,∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF.∵∠AOC+∠COB=180°,∴2∠COD+2∠COF=180°,∴∠COD+∠COF=90°,∴∠DOF=90°.∵OA=OC,OD平分∠AOC,∴OD⊥AC,即∠CDO=90°.∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°,∴四边形CDOF是矩形.(2)解:当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.理由如下:当∠AOC=90°时,∵OA=OC,OD平分∠AOC,∴∠ACO=∠A=45°,∠COD=1223.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴∠BCA=∠ACD,AB∥CD.∴∠1=∠ACD.∵∠1=∠2,∴∠ACD=∠2.∴MC=MD.又∵MF⊥CD,∴∠CFM=90°,CF=12CD.∵E为BC的中点,∴CE=BE=1∵CD=BC,∴CF=CE.在△CFM和△CEM中,∵CF=CE∴△CFM≌△CEM.∴∠CEM=∠CFM=90°,即DE⊥BC.(2)如图,延长AB交DE的延长线于点N,∵AB∥CD,∴∠N=∠2,又∵∠BEN=∠CED,BE=CE,∴△BEN≌△CED,∴NE=DE.∵∠1=∠2,∠N=∠2,∴∠1=∠N.∴AM=MN.又∵NM=NE+ME,∴AM=DE+ME.又由(1)得△CEM≌△CFM,∴ME=MF,∴AM=DE+MF.24.解:(1)四边形EGFH是平行四边形.理由:∵▱ABCD的对角