初中数学沪科版七年级上册第3章一次方程与方程组3．2一元一次方程的应用(x)

3.4.2二元一次方程组的应用(二)【教学目标】1．学会利用二元一次方程组解决简单的实际问题，会归纳列方程组解决实际问题的一般步骤．2．通过解决实际问题的教学，掌握使用方程去反映现实世界中的等量关系的方法与思想，体会代数方法的优越性，再次感受二元一次方程组与现实生活的联系和作用．【教学重难点】以方程组为工具分析、解决含有多个未知数的实际问题是重点，根据题意找出等量关系是难点．【教学过程】一、导入新课导入方式一：前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．(说明：开门见山，直接提出本节学习目标，强化本章的中心问题．)导入方式二：出示问题：养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18～20kg，每只小牛1天约需饲料7～8kg.你能否通过计算检验他的估计？(说明：以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系．)二、推进新课(一)探索新知活动1．探索分析，解决问题学生思考、讨论．判断李大叔的估计是否正确的方法有两种：(1)先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验．(2)根据问题中给定的数量关系求出平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确．学生在比较探究后发现用方法(2)较简便．(说明：引导学生探寻解题思路，并对各种方法进行比较，方法(1)主要是估算的运用，而方法(2)是方程思想的应用．)设问1.如果选择方法(2)，如何计算平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料量？(有前面几节的知识准备，学生可以回答)列方程组求解．主要思路：学生先独立思考，然后师生共同讨论解题过程．解：设平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料xkg和ykg，根据题意可列方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30x＋15y＝675，①,42x＋20y＝940.②))解这个方程组，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝5.))(说明：规范解题步骤，培养学生有条理地思考、表达的习惯．)这就是说，平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料20kg和5kg.饲养员李大叔对大牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确．(说明：让学生认识到检验的重要性，并学会正确作答．)归纳：活动2．拓广探索，比较分析设问2.以上问题还能列出不同的方程组吗？结果是否一致？个别学生可能会列出如下方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30x＋15y＝675，,12x＋5y＝265.))但结果一致．(说明：比较分析，加深对方程组的认识．)活动3．归纳总结列二元一次方程组解应用题的步骤可归纳如下：(1)审题，弄清题意和题目中的数量关系；(2)设未知数，用字母(如x，y)表示题目中的两个未知数，可以直接设，也可以间接设；(3)找出能够表示实际问题全部含义的两个相等关系；(4)根据这些相等关系列出需要的代数式，再列出方程并组成方程组；(5)解这个方程组，求出未知数的值；(6)检验方程组的解，看所求得的解是否符合题意，不符合题意的解应该舍去；(7)写出答语(包括单位名称)．(二)应用新知【例2】据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1.5.现要把一块长200m，宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4(结果取整数)?1．探索分析，研究策略如何解决这一实际问题呢？学生自主探索，合作交流，整理思路：(1)先明确有两种方法可分割长方形，即横向或纵向．(2)确定分割线的位置，也就是确定面积比．(3)面积比与总产量比及单位面积产量比之间有关．(4)选取数学工具求解．……学生经讨论后发现列方程组求解较为方便．2．合作交流，解决问题总结学生的讨论结果：种植方案一：如图，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和EBCF，设AE＝xm，EB＝ym，长方形土地的长为200m，所以x＋y＝200.①总产量＝面积×单位面积产量．设甲的单位面积产量为a，因为甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1.5，所以乙的单位面积产量就是1.5a.甲种作物的总产量为100xa，乙种作物的总产量为100y×1.5a，根据总产量比值是3∶4可以列出第二个方程(100xa)∶(100y×1.5a)＝3∶4.②将①②两个方程联立就可以得到方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝200，,(100xa)∶(100y×1.5a)＝3∶4.))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))将方程②化简，得2x∶3y＝3∶4.所以8x＝9y.③由①，得y＝200－x.④将④代入③，得8x＝9(200－x)．所以x＝eq\f(1800,17)≈106.把x＝106代入④，得y＝200－106＝94.所以这种种植方案为：过长方形土地长边上离一端约106m处，把这块地分为两个长方形，较大一块地种甲种作物，较小一块地种乙种作物．你能求出第二种种植方案吗？试试看．(具体过程由学生写出．)(三)拓展提升学生在手工实践课中，遇到这样一个问题：要用20张白卡纸制作包装纸盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个．如果1个盒身和2个盒底盖可以做成一个包装纸盒，那么能否将这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请你设计一种分法．按以下步骤展开问题的讨论：(1)学生独立思考，选择数学模型．(2)小组讨论达成共识，形成解题思路．(3)学生板书交流．(4)对方程组的解进行探究和讨论，从而得到实际问题的结果．【引申问题1】如果用1个盒身和1个盒底做成无盖的纸盒，这20张白卡纸如何分法才能使做成的盒身和盒底正好配套？【引申问题2】针对这一问题背景，你能提出一个探索性问题吗？(说明：安排开放题，以利于培养学生的探索精神和创新意识．)三、本课小结通过学习用二元一次方程组解决实际问题，同学们不仅要学会分析阅读材料，从给定问题中寻找等量关系，从而建立数学模型，还要了解同一数学问题并非只有一种方案，往往是多元化的，要从不同角度来观察问题、解决问题．四、趣味练习有趣的诗歌算题在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥乏味之感，令人耳目一新、回味无穷．下面采撷几例用方程组解的应用题，共同赏析．（一）周瑜寿属而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗中的“寿”指的是年龄．诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数．解：设这个两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝y，,6y＝10x＋y.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝6.))答：这个两位数是36，即周瑜共活了36岁．（二）官兵分布一千官兵一千布，一官四尺无零数；四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，问军官和士兵各多少名？解：设有x名军官，y名士兵，根据题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1000，,4x＋\f(1,4)y＝1000，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝200，,y＝800.))答：有200名军官，800名士兵．三、老头买梨一群老头去赶集，半路买了一堆梨；一人一个多一个，一人两个少两梨；请问君子知道否，几个老头几个梨？这首诗的意思是：若干个