《体育与健康》课件学习资料

《体育与健康》PPT课件第三章知识的状态空间表示法第三章知识的状态空间表示法第三章知识的状态空间表示法第三章知识的状态空间表示法1课前思考：人类的思维过程，可以看作是一个搜索的过程。某个方案所用的步骤是否最少？也就是说它是最优的吗？如果不是，如何才能找到最优的方案？在计算机上又如何实现这样的搜索？这些问题实际上就是本章我们要介绍的搜索问题。2学习目标：掌握回溯搜索算法、深度优先搜索算法、宽度优先搜索算法和A搜索算法，对典型问题，掌握启发式函数的定义方法。3学习指南：了解算法的每一个过程和细节问题，掌握一些重要的定理和结论，在有条件的情况下，程序实现每一个算法，求解一些典型的问题。4难重点：回溯搜索算法、算法及其性质、改进的Ａ＊算法。5知识点：

本章所要的讨论的问题如下：有哪些常用的搜索算法。问题有解时能否找到解。找到的解是最佳的吗？什么情况下可以找到最佳解？求解的效率如何。3.1状态空间表示知识一、状态空间表示知识要点1．状态状态（State）用于描述叙述性知识的一组变量或数组，也可以说成是描述问题求解过程中任意时刻的数据结构。通常表示成：Q={q1，q2，……，qn}当给每一个分量以确定的值时，就得到一个具体的状态，每一个状态都是一个结点（节点）。实际上任何一种类型的数据结构都可以用来描述状态，只要它有利于问题求解，就可以选用。2．操作（规则或算符）操作（Operator）是把问题从一种状态变成为另一种状态的手段。当对一个问题状态使用某个可用操作时，它将引起该状态中某一些分量发生变化，从而使问题由一个具体状态变成另一个具体状态。操作可以是一个机械步骤、一个运算、一条规则或一个过程。操作可理解为状态集合上的一个函数，它描述了状态之间的关系。通常可表示为：F={f1,f2,………fm}3．状态空间状态空间（StateSpace）是由问题的全部及一切可用算符（操作）所构成的集合称为问题的状态空间。用三元组表示为：（{Qs}，{F}，{Qg}）Qs：初始状态，Qg：目标状态，F：操作（或规则）。4．状态空间（转换）图状态空间也可以用一个赋值的有向图来表示，该有向图称为状态空间图，在状态空间图中包含了操作和状态之间的转换关系，节点表示问题的状态，有向边表示操作。二、状态图搜索1.搜索方式用计算机来实现状态图的搜索，有两种最基本的方式：树式搜索和线式搜索。2.搜索策略大体可分为盲目搜索和启发式（heuristic）搜索两大类。搜索空间示意图

例3.1钱币翻转问题设有三枚硬币，其初始状态为（反，正，反），允许每次翻转一个硬币（只翻一个硬币，必须翻一个硬币）。必须连翻三次。问是否可以达到目标状态（正，正，正）或（反，反，反）。问题求解过程如下：用数组表示的话，显然每一硬币需占一维空间，则用三维数组状态变量表示这个知识：Q=（q1,q2,q3）取q=0表示钱币的正面q=1表示钱币的反面构成的问题状态空间显然为：Q0=（0，0，0），Q1=（0，0，1），Q2=（0，1，0），Q3=（0，1，1）Q4=（1，0，0），Q5=（1，0，1），Q6=（1，1，0），Q7=（1，1，1）引入操作：f1：把q1翻一面。f2：把q2翻一面。f3：把q3翻一面。显然：F={f1，f2，f3}目标状态：（找到的答案）Qg=（0，0，0）或（1，1，1）

例3.2分油问题。有两只空油瓶，容量分别为8斤和6斤，另有一个大油桶，里面有足够的油。我们可以任意从油桶中取出油灌满某一油瓶，也可以把某瓶中的油全部倒回油桶，两个油瓶之间可以互相灌。问如何在8斤油瓶中精确的得到4斤油。问题的求解显然用2维数组或状态空间描述比较合适，第一位表示8斤油瓶油量，第二位表示6斤油瓶油量，构成整数序列偶（E，S）E：=0，1，2，3，4，5，6，7，8。表示8斤油瓶中含有的油量。S：=0，1，2，3，4，5，6。表示6斤油瓶中含有的油量。总结出如下分油操作规则：f1：8斤油瓶不满时装满（E，S）且E<8—→（8，S）f2：6斤油瓶不满时装满（E，S）且S<6—→（E，6）f3：8斤油瓶不空时倒空（E，S）且E>0—→（0，S）f4：6斤油瓶不空时倒空（E，S）且S>0—→（E，0）f5：8斤油瓶内油全部装入6斤油瓶内（E，S）E>0且E+S≤6—→（0，E+S）f6：6斤油瓶内油全部装入8斤油瓶内（E，S）S>0且E+S≤8—→（E+S，0）f7：用6斤油瓶内油去灌满8斤油瓶（E，S）且E<8且E+S≥8—→（8，E+S-8）f8：用8斤油瓶内油去灌满6斤油瓶（E，S）且S<6且E+S≥6—→（E+S-6，6）3.2搜索问题讨论（1）求任一解路的搜索策略回溯法（Backtracking）爬山法（HillClimbing）宽度优先法（Breadth-first）深度优先法（Depth-first）限定范围搜索法（BeamSearch）好的优先法（Best-first）（2）求最佳解路的搜索策略大英博物馆法（BritishMuseum）分枝界限法（BranchandBound）动态规划法（DynamicProgramming）最佳图搜索法（A﹡）（3）求与或关系解图的搜索法一般与或图搜索法（AO﹡）极小极大法（Minimax）α－β剪枝法（Alpha-betaPruning）启发式剪枝法（HeuristicPruning）3.3图搜索用计算机进行状态空间问题求解的基本思路：首先把问题的初始状态（即初结点）作为当前状态，选择合适的算符对其进行操作，生成一组子状态，然后检查目标状态是否在其中出现。若出现，则搜索成功，若不出现，则按某种搜索策略从已生成的状态中再选一个状态作为当前状态，重复上述过程，直到目标状态出现，或者不在有可供操作的状态为止。一、显示图与隐式图1．显式图（显式存储）把与问题有关的全部状态空间以及相应的有关知识（叙述性知识、过程性知识、控制性知识)都直接存入知识库，称为显式图，或“显式存贮”。2．隐式图（隐式存贮）只存贮与问题有关的部分知识，存贮的状态由初始状态开始运用相应的知识，逐步生成所需的部分状态空间，通过搜索推理，逐渐转移到要求的目标状态，只需在知识库中存贮局部的状态空间，称为“隐式图”或“隐式存贮”。通常采用隐式图进行解题（搜索推理）。二、“隐式图”求解问题的一般过程open表：用于存放刚生成的结点closed表：用于存放将要扩展或者已扩展的结点3.3图搜索（续）状态节点

父节点

编号

状态节点

父节点

open表closed表搜索过程如下：1：把初始结点s0放入open表中。2：检查open表是否为空，若空，问题无解，退出。3：把open表中的第一个结点取出放入closed表中，并证实该结点为n结点。4：考察结点n为是否为目标结点，若是，退出。5：扩展结点n,生成一组子结点，把其中不是先辈的那些结点加入open表的尾部，并配以指向父结点的指针。6：按某种搜索策略对open表中的结点进行排序7：转入第2步。一般的图搜索算法1、G=G0(G0=s)，OPEN:=(s);2、CLOSED:=();3、LOOP:IFOPEN=()THENEXIT(FAIL);4、n:=FIRST(OPEN),REMOVE(n,OPEN),ADD(n,CLOSED),5、IFGOAL(n)THENEXIT(SUCCESS);6、EXPAND(n)→{mi},G:=ADD{mi,G};7、标记和修改指针:ADD(mi,OPEN),并标记mi到n的指针;计算是否要修改mk、ml到n的指针；计算是否修改ml到其后续节点的指针；8、对OPEN中的节点按某种原则重新排序；9、GOLOOP；一些基本概念节点深度根节点深度=0其它节点深度=父节点深度+1路径设一节点序列为（n0，n1，…，nk）,对于i=1,…,k，若节点ni-1具有一个后续节点ni，则该序列称为从n0到nk的路径。路径的耗散值一条路径的耗散值等于连接这条路径各节点间所有耗散值的总和。用C(ni,nj)表示从ni到nj的路径的耗散值。扩展一个节点生成该节点的所有后续节点,并给出它们之间的耗散值.这一过程称为“扩展一个节点”.三、广度优先搜索流程图广度优先搜索的含义：在对第n层结点没有搜索考察完之前，不对第n+1层结点进行搜索，但在隐式图优先搜索中是讲：从初始结点s0开始，按生成规则逐步生成下一级各子结点，在检查同级子结点同时，生成下级子结点并放在open表的末尾，而后再检查下一个同级结点，如不是目标结点，则按规则生成下级子结点，并放在open表末尾，如此下去，直到找到目标为止。广度优先搜索算法流程①G:=G0（G0=s）,OPEN:=(s),CLOSED:=（）；②LOOP：IFOPEN＝（）THENEXIT（FAIL）；③n:＝FIRST（OPEN）；④IFGOAL（n）THENEXIT（SUCCESS）；⑤REMOVE（n，OPEN），ADD（n，CLOSED）；⑥EXPAND（n）→{mi}，G:＝ADD（mi，G）；⑦IF目标在{mi}中，THENEXIT（SUCCESS）；⑧ADD（OPEN，mj），并标记到n的指针；⑨GOLOOP宽度优先搜索示例8数码问题的宽度优先搜索树广度优先搜索的性质当问题有解时,一定能找到解当问题为单位耗散值时,且问题有解时,一定能找到最优解方法与问题无关,具有通用性效率较低属于图搜索方法四、深度优先搜索流程从初始结点s0开始，按生成规则逐步生成下一级各子结点，在检查同级子结点同时，生成下级子结点并放在open表的首部，而后再检查下一个同级结点，如不是目标结点，则按规则生成下级子结点，并放在open表首部，如此下去，直到找到目标为止。深度优先搜索1、G=G0(G0=s)，OPEN:=(s);，CLOSED:=();2、LOOP:IFOPEN=()THENEXIT(FAIL);3、n:=FIRST(OPEN),4、IFGOAL(n)THENEXIT(SUCCESS);5、REMOVE(n,OPEN),ADD(n,CLOSED),6、IFDEPTH(n)>DmGOLOOP;7、EXPAND(n)→{mi},G:=ADD{mi,G};8、IF目标在{mi}中THENEXIT(SUCCESS);9、ADD(mi,OPEN),并标记mj到n指针;10、将mi重排序到open表头部。11、GOLOOP;深度优先搜索性质一般不能保证找到最优解当深度限制不合理时,可能找不到解,可以将算法改为可变深度限制最坏情况时,搜索空间等于穷举与回溯法的差别:图搜索是一个通用的与问题无关的方法3.4回溯策略所谓回溯策略，简单地说是这样一种策略：首先将规则给出一个固定的排序，在搜索时，对当前状态（搜索开始时，当前状态是初始状态）依次检测每一条规则，在当前状态未使用过的规则中找到第一条可触发规则，被应用于当前状态，得到的新状态重新设置为当前状态，并重复以上搜索。如果当前状态无规则可用，或者所有规则已经被试探用过仍未找到问题的解，则将当前状态的前一个状态（即直接生成该状态的状态）设置为当前状态。重复以上搜索，直到找到问题的解，或者试探了所有可能后仍找不到问题的解为止。一个递归的例子Intabc(intn){…abc(m);…}八数码游戏回溯控制方式①新生成的状态在通向初始状态的路径上已出现过；②从初始状态开始，应用的规则数目达到所规定的数目之后还未找到目标状态（这一组规则的数目实际上就是搜索③对当前状态，再没有可应用的规则。回溯搜索算法BACKTRACK（DATA）功能：如果从当前状态DATA到目标状态有路径存在，则返回以规则序列表示的从DATA到目标状态的路径（以规则表的形式表示）；如果从当前状态DATA到目标状态没有路径存在，则返回FAIL。递归过程BACKTRACK（DATA）①IFTERM（DATA），RETURNNIL；TERM取真即找到目标，则过程返回空表NIL。②IFDEADEND（DATA），RETURNFAIL；DEADEND取真，即该状态不合法，则过程返回FAIL，必须回溯。③RULES：＝APPRULES（DATA）；APPRULES计算DATA的可应用规则集，依某种原则（任意排列或按启发式准则）排列后赋给RULES。④LOOP：IFNULL（RULES），RETURNFAIL；NULL取真，即规则用完未找到目标，过程返回FAIL，必须回溯。⑤R：＝FIRST（RULES）；取头条可应用规则。⑥RULES：＝TAIL（RULES）；删去头条规则，减少可应用规则表的长度。⑦RDATA：＝GEN（R，DATA）；调用规则R作用于当前状态，生成新状态。⑧PATH：＝BACKTRACK（RDATA）；对新状态递归调用本过程。⑨IFPATH＝FAIL，GOLOOP；当PATH＝FAIL时，递归调用失败，则转移调用另一规则进行测试。⑩RETURNCONS（R，PATH）；过程返回解路径规则表（或局部解路径子表）。回溯搜索算法１（１）BACKTRACK1（DATALIST）DATALIST：从初始到当前的状态表（逆向）返回值：同前面的算法一样，是以规则序列表示的路径表（当求解成功时），或者是FAIL（当求解失败时）。回溯搜索算法１（续）⑴DATA：＝FIRST（DATALIST）；设置DATA为当前状态⑵IFMEMBER（DATA，TAIL（DATALIST))，RETURNFAIL；TAIL是取尾操作，表示取表DATALIST中除了第一个元素以外的所有元素。如果DATA在TAIL（DATALIST）中存在，则表示有环路出现，过程返回FAIL，必须回溯。⑶IFTERM（DATA），RETURNNIL；TERM取真即找到目标，则过程返回空表NIL。⑷IFDEADEND（DATA），RETURNFAIL；DEADEND取真，即该状态不合法，则过程返回FAIL，必须回溯。⑸IFLENGTH（DATALIST）＞BOUND，RETURNFAIL；LENGTH计算DATALIST的长度，即搜索的深度，当搜索深度大于给定值BOUND时，则过程返回FAIL，必须回溯。⑹RULES：＝APPRULES（DATA）；APPRULES计算DATA的可应用规则集，依某种原则（任意排列或按启发式准则排列）排列后赋给RULES。⑺LOOP：IFNULL（RULES），RETURNFAIL；NULL取真，即规则用完未找到目标，过程返回FAIL，必须回溯。⑻R：＝FIRST（RULES）；取头条可应用规则。⑼RULES：＝TAIL（RULES）；删去头条规则，减少可应用规则表的长度。⑽RDATA：＝GEN（R，DATA）；调用规则R作用于当前状态，生成新状态。⑾RDATALIST:＝CONS(RDATA，DATALIST)；将新状态加入到表DATALIST中。⑿PATH：＝BACKTRACK1（RDATALIST）；递归调用本过程。⒀IFPATH＝FAIL，GOLO0P；当PATH＝FAIL时，递归调用失败，则转移调用另一规则进行测试。⒁RETURNCONS（R，PATH）；过程返回解路径规则表（或局部解路径子表）。2.1回溯策略

（BacktrackingStrategies）例：四皇后问题

Q

Q

Q

Q

存在问题及解决办法：问题：深度问题死循环问题解决办法：对搜索深度加以限制记录从初始状态到当前状态的路径一些深入的问题失败原因分析、多步回溯Q

Q

一些深入的问题（续）回溯搜索中知识的利用基本思想（以皇后问题为例）：尽可能选取划去对角线上位置数最少的Q

Q

Q

Q

3.5状态空间的与/或树表示法1、分解（与树）把一个复杂的问题变成简单的子问题，各子问题又可以化成更为简单的子问题，重复此过程，直到不能分解为止。然后对各子问题求解，最后把各子问题复合起来就是问题的解。2、等价变换（或树）通过同结构的等价变换或同态的等价变换把问题分解成比较容易解的子问题，P1，P2，P3任何一个子问题有解，则问题P就可解，称P1，P2，P3之间存在“或”的关系，节点P成为“或”节点，由P1，P2，P3，P之间构成的树为“或”树。几个概念（1）父问题、子问题：问题空间是由一个个问题组成的空间，在问题求解中，用一个节点代表一个问题，若节点A有一边通向B，则表示A的解决有赖于B的解决。A称为父问题，B称为子问题。（2）本原问题：不能再分解或变换，而且直接可解的子问题。（3）端节点与终止节点：没有子节点的节点，本原问题对应的节点是终止节点。注意，终止节点一定是端节点，但端节点不一定是终止节点。与或图的搜索:

基本概念：与或图是一个超图，节点间通过连接符连接。K-连接符：

可解节点：①终节点是可解节点；②若非终节点有“或”子节点时，当且仅当其子节点至少有一能解，该非终节点才可解；③若非终节点有“与”子节点时，当且仅当其子节点均能解，该非终节点才可解。不可解节点①没有后裔的非终节点是不可解节点；②若非终节点有“或”子节点时，当且仅当所有子节点均不能解时，该非终节点才不可解；③若非终节点有“与”子节点时，当至少有一子节点不能解时，该非终节点才不可解。“与/或”树的搜索过程1.把初始节点S0放入OPEN表；2.移出OPEN表的第一个节点N放入CLOSED表，并冠以序号n；3.若节点N可扩展，则做下列工作：(1)扩展N,将其子节点配上指向父节点的指针后放入OPEN表；(2)考察这些子节点中是否有终止节点。(3)删去OPEN表中那些具有可解先辈的节点（因为其先辈节点已经可解，故已无再考察该节点的必要），转步骤2；4.若N不可扩展，则做下列工作：(1)标记N为不可解节点，然后由它的不可解返回推断其先辈节点的可解性，并对其中的不可解节点进行标记。如果初始节点S0也被标记为不可解节点，则搜索失败，退出。(2)删去OPEN表中那些具有不可解先辈的节点（因为其先辈节点已不可解，故已无再考察这些节点的必要），转步骤2；与状态图搜索一样，搜索成功后，解树已经记录在CLOSED表中。这时需按指向父节点的指针找出整个解树。例3.9三阶梵塔问题设有A，B，C三个金片（盘）以及三个钢针，盘按自上而下从小到大的顺序穿在1号钢针上，要求将它们全部移到3号钢针上。规则：一次只能搬移一个金片，任何时刻都不能把大的金片压在小的金片上，2号钢针作为过渡使用。

解法1：用状态转换图法。用三维状态空间来表示知识或过程。（i，j，k）i表示C片所钢针号，j表示B片所在钢针号，k表示A中所在钢针号。显然，组成的状态空间有27个（3*3*3）S0=（1，1，1）S1=（1，1，2）S2=（1，1，3）S3=（1，2，1）S4=（1，2，2）S5=（1，2，3）S6=（1，3，1）S7=（1，3，2）S8=（1，3，3）S9=（2，1，1）S10=（2，1，2）S11=（2，1，3）S12=（2，2，1）S13=（2，2，2）S14=（2，2，3）S15=（2，3，1）S16=（2，3，2）S17=（2，3，3）S18=（3，1，1）S19=（3，1，2）S20=（3，1，3）S21=（3，2，1）S22=（3，2，2）S23=（3，2，3）S24=（3，3，1）S25=（3，3，2）S26=（3，3，3）依题意规则可用18个状态空间表示算子，A（），B（），C（）A（1，2）表示从1号针移到2号针，以下类推：A盘共有6种搬移规则。A（1，3）A（2，1）……………….A（3，1）A（3，2）B（1，2）B（1，3）………………B（3，1）B（3，2）C（1，2）C（1，3）………………C（3，1）C（3，2）

解法2：用“与/或”树解题为把3个金片移到3号针可分解成如下步骤：1）把A，B金片移到2号针问题，双片移动问题。2）把C片移到3号针问题，终止节点，单片移动。3）把A，B金片移到3号针问题，双片移动问题。用“=>”表示状态变换，则由

博弈树的搜索博弈问题:双人一人一步双方信息完备零和分钱币问题:

中国象棋问题:每个势态有40种不同的走法，如果一盘棋双方平均走50步，则搜索的位置有(402)50=10160，即深度达100层，总节点数约为10161个。假设一毫微秒走一步,约需10145年。结论：不可能穷举。极小极大过程：

一字棋在九宫格棋盘上，两位选手轮流在棋盘上摆各自的棋子（每次一枚），谁先取得三子一线的结果就取胜。

设程序方MAX的棋子用（×）表示，对手MIN的棋子用（○）表示，MAX先走。静态估计函数f（p）规定如下：

若p对任何一方来说都不是获胜的格局，则

f（p）＝（所有空格都放上MAX的棋子之后，MAX的三子成线（行、列、对角）的总

－（所有空格都放上MIN的棋子之后，MIN的三子成线（行、列、对角）的总数）

若p是MAX获胜的格局，则f（p）＝∞；

若p是MIN获胜的格局，则f（p）＝－∞。

α-β搜索过程极大节点的下界为α极小节点的上界为β剪枝的条件：β（后继层）≤α（先辈层），α剪枝；α（后继层）≥β（先辈层），β剪枝。简记为：极小≤极大，α剪枝；极大≥极小，β剪枝；一字棋第一阶段α-β剪枝方法

α-β搜索过程的博弈树

3.7启发式搜索

启发式图搜索利用知识来引导搜索,以达到减少搜索范围,降低问题复杂度的目的启发信息的强度强：降低搜索工作量,但可能导致找不到最优解弱：一般导致工作量加大,极限情况下变为盲目搜索,但可能可以找到最优解希望：引入启发知识,在保证找到最佳解的情况下,尽可能减少搜索范围,提高搜索效率基本思想：定义一个评价函数f,对当前的搜索状态进行评估,找出一个最有希望的节点来扩展启发式搜索算法A(A算法)评价函数的格式：

f(n)=g(n)+h(n)

f(n)：评价函数h(n)：启发函数

符号的意义g*(n):从s到n的最短路径的耗散值h*(n):从n到g的最短路径的耗散值f*(n)=g*(n)+h*(n):从s经过n到g的最短路径的耗散值g(n)、h(n)、f(n)分别是g*(n)、h*(n)f*(n)的估计值A算法1.OPEN:=(s),f(s)=g(s)+h(s);2.LOOP:IFOPEN=()THENEXIT(FAIL);3.n:=FIRST(OPEN);4.IFGOAL(n)THENEXIT(SUCCESS);5.REMOVE(n,OPEN),ADD(n,CLOSED);6.EXPAND(n)→{mi},计算f(n,mi):=g(n,mi)+h(mi)ADD(mi,OPEN),标记mi到n的指针若mi在open表或closed表中有重复，根据耗散值确定取舍。7.OPEN中的节点按f值从小到大排序8.GOLOOP一个A算法的例子

h计算举例21

82

33

18

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44

77

6

55

h(n)=4

2.最佳图搜索算法A*(A*算法)在A算法中如果满足条件h(n)≤h*(n)则A算法称为A*算法89A*条件举例8数码问题h1(n)=“不在位”的将牌数h2(n)=将牌“不在位”的距离和21

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h1(n)=4h2(n)=5A*算法的性质A*算法的假设设ni,nj是任意两个节点,有:C(ni,nj)>ε其中ε为大于0的常数几个等式f*(s)=f*(t)=h*(s)=g*(t)=f*(n)其中s是初始节点,t是目标节点,n是s到t的最佳路径上的节点定理1： 对有限图，如果从初始节点s到目标节点t有路径存在，则算法A一定成功结束。引理2.1对无限图,若有从初始节点S到目标节点t的路径,则A*不结束时,在OPEN表中即使最小的一个f值也将增到任意大,或有f(n)>f*(s)引理2.2A*结束前,OPEN表中必存在一个节点n,n在最佳路径上且满足f(n)≤f*(s)f(n)=g(n)+h(n) =g*(n)+h(n)

≤g*(n)+h*(n)=f*(n)=f*(s)定理2对无限图,若从初始节点s到目标节点t有路径存在,则A*一定成功结束证明：引理2.1:A*如果不结束,则OPEN中所有的n有f(n)>f*(s)引理2.2:在A结束前,必存在节点n,使得 f(n)≤f*(s)所以,如果A*不结束,将导致矛盾推论2.1:OPEN表上任意一具有f(n)<f*(s)的节点n,最终将被A*选作扩展节点

由定理2,知A*一定结束,由A*的结束条件,OPEN表中f(t)最小时才结束,而f(t)≥f*(t)=f*(s)所以f(n)＜f*(s)的n均被扩展.得证定理3(可采纳性定理):若存在从初始节点s到目标节点t有路径,则A*必能找到最佳解结束可采纳性的证明由定理1、2知A*一定找到一条路径结束设找到的路径s→t不是最佳的(t为目标)则:f(t)=g(t)>f*(s)由引理2.2知结束前OPEN中存在f(n)≤f*(s)的节点n,所以f(n)≤f*(s)<f(t)注意:A*的结束条件推论3.1A*选择扩展的任一节点n,有f(n)≤f*(s)由引理2.2知在A*结束前,OPEN中存在节点n’,f(n’)≤f*(s).设此时A*选择n扩展.如果n=n’,则f(n)≤f*(s),得证.如果n≠n’,由于A*选择n扩展,而不是n’所以有f(n)≤f(n’)≤f*(s),得证.定理4: 设对同一问题定义了两个A*算法A1和A2,若A2比A1有较多的启发信息,即对所有非目标节点有h2(n)>h1(n),则在一条从s到t的路径的隐含图上,搜索结束时,由A2所扩展的每一个节点,也必定由A1所扩展,即A1所扩展的节点数至少和A2一样多.简写:如果h2(n)>h1(n)(目标节点除外),则A1扩展的节点数≥A2扩展的节点数.注意:在定理4中,评价指标是”扩展的节点数”也就是说,同一个节点无论被扩展多少次,都只计算一次.定理4的证明使用数学归纳法,对节点的深度进行归纳.(1)当d(n)=0时,即只有一个节点,显然定理成立.(2)设d(n)≤k时,定理成立.(归纳假设)(3)当d(n)=k+1时,用反证法.设存在一个深度为k+1的节点n,被A2扩展,但没有被A1扩展.而由假设,A1扩展了n的父节点，即n已经被生成了。因此当A1结束时，n将被保留在OPEN中。n没有被A1选择扩展，有

f1(n)≥f*(s)，即g1(n)+h1(n)≥f*(s)

所以h1(n)≥f*(s)－g1(n)（1）另一方面A2扩展了n，有

f2(n)≤f*(s)，即g2(n)+h2(n)≤f*(s)

所以h2(n)≤f*(s)－g2(n)（2）由于d=k时，A2扩展的节点，A1也一定扩展，故有

g1(n)≤g2(n)（因A1扩展的节点数可能较多）所以h1(n)≥f*(s)－g1(n)≥f*(s)－g2(n)（3）比较式（2）、（3）可得：至少在节点n上有h1(n)≥h2(n)，这与定理的前提条件矛盾，因此存在节点n的假设不成立。[证毕]102对h的评价方法：平均分叉数：设共扩展了d层节点，共搜索了N个节点，则：

其中b*称为平均分叉数b*越好，说明h效果越好实验表明，b*是一个比较稳定的常数，同一问题基本不随问题规模变化．对h的评价举例：例：８数码问题，随机产生若干初始状态使用h1：d=14,N=539,b*=1.44d=20,N=7276,b*=1.47使用h2：d=14,N=113,b*=1.23d=20,N=676,b*=1.27A*的复杂性：一般说来，Ａ*的算法复杂性是指数型的,可以证明当且仅当以下条件成立时： abs(h(n)-h*(n))≤O(log(h*(n))) Ａ*的算法复杂性才是非指数型的，但是通常情况下，h和h*的差别至少是和离目标的距离成正比的．A*算法的改进在A算法的第六步，对于ml类节点，存在重新放回到OPEN表的可能，因此一个节点有可能被反复扩展多次。因此单纯用"扩展的节点数"并不能客观地来评判搜索算法的好坏。因为即便是扩展的节点数比较少，但如果很多节点被多次重复扩展的话，搜索效率同样是很低的。出现多次扩展节点的原因主要就是因为在扩展一个节点时，A*并不能保证此时就已经找到了从初始节点s到当前节点n的最短路径，使得算法在第六步，有可能将其重新放回到OPEN表中，而放入OPEN表以后，该节点就有可能被再次扩展。解决的途径：对启发函数h进一步加上限制使得A*算法在扩展一个节点n时，就已经找到了从初始节点s到当前节点n的最短路径对算法加以改进能否对算法加以改进，避免或减少节点的多次扩展改进的条件：可采纳性不变不多扩展节点不增加算法的复杂度对h加以限制定义： 一个启发函数h，如果对所有节点ni和nj（nj是ni的子节点），都有h(ni)-h(nj)≤C(ni，nj)或h(ni)≤C(ni，nj)＋h(nj)且h(t)＝0，则称该h函数满足单调限制条件。h单调的性质：定理5： 若h(n)满足单调限制条件，则A*扩展了节点n之后，就已经找到了到达节点n的最佳路径。即若A*选n来扩展，在单调限制条件下有g(n)=g*(n)。定理5的证明：由单调限制条件，对P中任意结点ni有h(ni)≤C(ni，ni+1)+h(ni+1)g*(ni)+h(ni)≤g*(ni)+C(ni，ni+1)+h(ni+1)≤g*(ni+1)+h(ni+1)≤g*(n)+h(n)而在于f(n)=g(n)+h(n)≤f(ni+1)所以：g(n)≤g*(n)（最小）只能是：g(n)=g*(n)h单调的性质（续）：定理6： 若h(n)满足单调限制，则由A*所扩展的节点序列，其f值是非递减的，即f(ni)≤f(nj)。证明：由单调限制条件：

h(ni)-h(nj)≤C(ni,nj)

即f(ni)-g(ni)-f(nj)+g(nj)≤C(ni,nj)

f(ni)-g(ni)-f(nj)+g(ni)＋C(ni,nj)≤C(ni,nj)

f(ni)-f(nj)≤0。[证毕]h单调的例子：8数码：h为“不在位的将牌数”

h(t)=0;C(ni,nj)=1满足单调条件。对算法加以改进：一些结论：OPEN表中任意满足f(n)<f*(s)的节点都会被扩展。A*选作扩展的任意节点都满足f(n)<f*(s)。其它的一些搜索算法：爬山法（局部搜索算法）随机搜索算法动态规划算法……

第1章冠词第1章冠词

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第1章冠词第一章冠词考点归纳冠词是一种虚词,本身不能单独使用,通常放在一个名词的前面,帮助说明该名词的词义。冠词有两种：定冠词和不定冠词。《2005年全国考试说明》附录语法项目表中对冠词的考查：冠词的一般用法。纵观历年高考试题，试题中出现的考点主要有：冠词的位置；冠词的最基本的用法，名词分类情况，理解泛指与类指、特指与专指的区别；冠词的习惯用法。一、冠词的基本用法在学习冠词的用法时，必须明确特指与泛指的概念，特指是大家都知道的所指的事物或内容；泛指是指不明确、不特别指明的或者一类中任何具有代表性的人或事物。名词前用哪一个冠词、用还是不用冠词通常取决于名词的类别和意义。也就是名词可数还是不可数、单数还是复数、特指还是泛指。它们的关系可以用下表表示：冠词 意义用法举例名词类别

特指

泛指

表类别

表示“一个(些)”

可数名词单数

thebook

abook/anidea

abook/anidea

可数名词复数

thebooks

books

somebooks

不可数名词

thewater

water

somewater

1、在可数名词单数前用定冠词或不定冠词Acomputerisanelectronicdevice.计算机是电子装置。（不定冠词表示类指）ThatistheplacewhereLincolnwasborn.那里是林肯诞生的地方。（定冠词表示特指）2、复数名词前可用定冠词或零冠词Beyondthestars,theastronautssawnothingbutspace.在星星上方，宇航员除了太空外什么也看不到。（定冠词表示特指）Mostanimalshavelittleconnectionwithanimalsofadifferentkindunlesstheykillthemforfood.多数动物与别的动物没有多少联系，除非它们以其作为食物而捕杀。（零冠词表示泛指）3、不可数名词前可用定冠词或零冠词Thesignreads“Incaseoffire,breaktheglassandpushtheredbutton.”万一失火，打碎此玻璃，然后按这个红色按钮。(零冠词表示泛指)Thewaterinthatlakeisbadlypolluted.那个湖里面的水被严重污染了。4、专用名词前用零冠词Mr.TailorwillvisitJapannextweek.泰勒先生下周将访问日本。（Mr.Tailor是专用名词前用零冠词）NewYorkisoneofthelargestcitiesintheworld.纽约是世界上最大的城市之一。（NewYork是专用名词前用零冠词）二、冠词的位置（一）放在名词之或定语之前一般说来冠词与名词连用应放在名词之前，若名词有其它定语，也应放在定语之前。That’sahat,notacat.那是帽子，不是猫。Shewasanexcellentengineer.她是一位出色的工程师。Theshort-waveradioisthemostexpensiveofall.这部短波收音机是所有当中最贵的一部。（二）放在某些定语之后1．单数可数名词被such,many,half,what等修饰时，不定冠词放在这些词之后。ThereissuchabookinEnglishonmydesk.我书桌上有一本这样的英语书。WhatalongwayitisfromBeijingtoLondon!从北京到伦敦是多么远的路程啊!(此时的what当“多么“讲，引导感叹句不作为疑问词)2．当单数可数名词前作定语的形容词被程度副词as,how,however,so,too,that,this等修饰时，不定冠词置于形容词之后。Ourneighborhasasbigahouseasours.我们邻居的房子和我们的一样大。Howinterestingalecturewasgivenbythespeaker!演说者作了一次多么生动的演讲！3．在由as，though引导的让步状语从句的表语前置句型中，不定冠词应放在形容词后面。Youngamanthoughheis,heknowsalotabouttheworld.尽管他很年轻，但对这个世界却了解得很多。Braveachildasheis,hetremblesatthesightofatiger.他虽然是个勇敢的孩子，但一见到老虎就发抖。4．副词quite,rather修饰的形容词作定语时，不定冠词可置于quite，rather之前或它们之后。置于其前语气较强。Heisratheracleverboy.或Heisarathercleverboy.他是一个相当聪明的男孩子。注意：若名词前无形容词修饰，不定冠词则须置于quite,rather之后。Mr.Brownisquiteascholar.布朗先生是个大学者。It’sratherapity.这令人相当遗憾。5.当定冠词the与all,half,both,double等词连用修饰名词时，定冠词要放在这些词之后。Wetalkedandlaughedallthemorning.整个早上我们都在谈笑。Halfthepearswereeaten.有一半的梨被吃掉了。6．当定冠词与表示倍数twice,threetimes、分数one-third,three-fifths的词等一起修饰名词时，需要放在这些词之后。One-thirdofthevillagerswerewelleducated.三分之一的村民曾受过良好的教育。Paperproducedeveryyearisthreetimestheweightoftheworldsproductionofvehicles.每年生产的纸的产量是世界生产汽车总重量的三倍。7.当much,exactly等词修饰thesame时，the放在这些词之后。Youtalkedmuchthesameasshedid.你说话和她一样。Iwantexactlythesamebookasyours.我就要和你的一样的书。三、冠词的习惯用法（一）不定冠词的用法1．不定冠词与单数可数名词连用，表示某一类人或事物，亦可泛指某类人或事物中的“任何一个”或表示数量“一”。Ateachermustlovehisstudents.教师必须爱学生。Romewasn'tbuiltinaday.（谚）罗马不是一天建成的。Hereisaletterforyou.这儿有你一封信。注意：不定冠词和定冠词皆可表示类属，但不定冠词强调的是个别，定冠词强调的是类别；不定冠词相当于every，定冠词相当于all。2．不定冠词用在序数词前，表示“再一”“又一”。Iaskedherathirdtime,butshehadn'tansweredonceyet.我第三次问她，她却一次也没回答。Lucyhadtobuyasecondhat.露西必须再买一顶帽子。3．不定冠词用在“of+a(n)+（可以限定类别或数量的）名词”结构中，表示“同一”、“相同”、“一样”，说明事物的同一性质、特征、大小或程度等。这一结构在句中作表语或后置定语。Thepeopleinthiscountryareofamind.这个国家的人们同心协力。Hisshoesandmineareofasize.他的鞋和我的鞋同码。4．不定冠词表示单位价格、速度、比率等，意为“每一（个）”，相当于each,every或per。语气比each,every或per弱。Thecarisspeedingup200kilometresanhour.汽车正以每小时200公里的速度飞驰。Thericecostonedollarsapound.大米每磅一美元。5．如果两个或两个以上的形容词或名词共有一个不定冠词，那么这两个形容词修饰的是同一人或物，两个名词也指同一人或物。Sheboughtaredandbluepencil.她买了一支红蓝铅笔。Sheboughtaredandabluepencil.她买了一支红铅笔和一支蓝铅笔。6．有些名词通常成对出现（被视为一体、一套），一般只用一个冠词。Hepassedmeaknifeandfork.他递给我一副刀叉。Thereisahorseandcartbytheroadside.路边有一套马车。7．不定冠词可用在专有名词前，使其普通化。

=1\*GB3

①

用在姓名前或Mr./Mrs./Ms.+姓氏前，表示“某一个”、“某位”，又不肯定的意味；也可以表示“一位”，指某家庭或姓氏的一员。AMr.Smithisheretoseeyou.这儿有一位史密斯先生要见你。HiswifeisanEdison.他妻子是爱迪生家族的。

=2\*GB3

②

用在地名、国名等专有名词前，表示某时的情况或某种样子。ThetowniscalledaShanghaiofthisarea.该城被称为本地区的上海。HewouldneverthinkofsuchaNewYork.他绝不会想到这样一个纽约。8．不定冠词用在物质名词或抽象名词前，使其个体化，表示某一具体情况或动作或某一类物质。

=1\*GB3

①

不定冠词用在物质名词如coffee,food,tea,fog,rain,snow,wind等前，表示“一阵、一份、一类、一场”等。Whataheavyrain!好大的雨啊！Thewaiterbroughtmeasoup.侍者给我拿来一份汤。

=2\*GB3

②

不定冠词用在一些表示情绪的不可数名词如disappointment,feeling,honour,inspiration,joy,pity,pleasure,shame,surprise等前，表示“一种、一类”心理情感。Itisapleasuretohaveachatwithyou.和你交谈是件快事。Oh,John.Whatapleasantsurpriseyougiveus!啊，约翰！你给我们带来了多么大的惊喜！

=3\*GB3

③

不定冠词用在表示某一品质的具体行动、人或东西的不可数名词如danger,difficulty,disappointment,failure,favor,help,success,wonder等前，在表示“一种……人或物”。Thankyou,sir.Youhavedonemeafavor.谢谢先生，你帮了我的忙。Heisasuccess.他取得了成功。(他是一个成功者。)Themeetingisasuccess.会议取得了成功。(这是一次成功的会议。)

=4\*GB3

④

不定冠词用在不可数名词education,history,knowledge,population,time,world等前，表述其某一部分或某一方面的内容、概念。其中haveahistory/knowledge/population...可视为固定搭配。Wouldn'titbeawonderfulworldifallnationslivedinpeacewithoneanother.如果所有的国家相互和平共处，世界难道不是更美好的么！ManypeopleagreethataknowledgeofEnglishisamustininternationaltradetoday.很多人承认在今天的国际贸易中了解英语知识是必不可少的。

=5\*GB3

⑤

不定冠词用在复数抽象名词前表示“大约”，或用在表示时间、款项的复数名词前，表示一个整体单位（整体概念）。Ihaveagood20dollarsinmypocket.我的口袋里有整整20美元钱。Hewillhaveabusytwoweeks.他要忙碌两周。9．用于“a(n)+名词+of+a(n)+名词”结构中①前面的名词表示的是后边名词的性质或特征，意为“像……一样的，是属某一类的”。这种结构中的a(n)不能换成one，但有变体。amountainofawave滔天巨浪apalaceofhouse宫殿般的住宅ahellofalife地狱般的生活alamboftemper羔羊般的温顺anangelofagirl天仙般的少女atreasureofsun宝贝儿子apigofafellow猪一样蠢的家伙amouseofagirl胆怯的女孩alionofaman雄狮般勇敢的人adeathofcold极度寒冷askeletonofawoman骨瘦如柴的女人aboyofagirl男孩似的女孩Hehadahoneyofanidea.他有一个绝妙的主意。Sheisaflowerofagirl.她是个像花一样美的姑娘。②这种结构第一个名词前也可以有形容词、形容词性的物主代词、或the,that,these,those,some；有时候第二个名词前可加形容词。Shegotthedevilofatoothacheyesterday.她昨天牙痛的厉害。Helivedahellofalongway.他住得非常远。③如果第一个结构的of前用了sort，of后的名词就不再加a(n).Heisalittleratsortoffellow.他是一个像老鼠一样的家伙。Johnisapigsortoffellow.约翰蠢的像猪一样。④下面结构则表示“有点儿”。Theroomisabitamess.房间有点儿乱。Thequestioncamasabitofshockatfirst.这个问题起初有点使人吃惊。10．具有动作意义的抽象名词在与动词have,take,make,give,letout等构成短语表示一种短暂性的动作时，此抽象名词前的冠词一般不可缺少。havealook看一看haveawalk散步havearest休息haveatest测试haveatry试一试haveabath洗澡haveabreak休息haveaswim游泳haveagoodtime玩得高兴takealook看一看takeawalk散步takeaswim游泳takearest休息takeabath洗澡takeataxi打的givealaugh大笑giveasmile笑一笑giveashout大喊giveatalk讲话giveawhistle吹口哨letoutacry大喊注意：have(take)+a+动作名词与动词同义，是一种通俗说法，语气显得自然。11．用在固定短语中。

=1\*GB3

①

与时间和方式有关的awhile/moment/minute一会，justaminute/moment稍后，awasteof浪费、白费，amomentago一会前，atablow一下子；asamatteroffact其实，allofasudden突然，afterawhile/moment/minute一会后，asarule照常，通常，atadiscount打折扣，ataloss不知所措，atadistance在远处，asawhole总的看来，asaresult结果，forawhile一会儿，inasense在某种意义上，inahurry匆忙，inapassion发脾气，inaninstant一会后，inaway有几分，inaword总而言之，ofanage同年，ofasize大小相同，onceinawhile不时地，onceuponatime从前，threemealsaday一日三餐，twiceaweek一周两次，withaviewto鉴于，考虑到，withafirmhand坚决地，withasmile微笑着，withawill热情地

=2\*GB3

②

与一些常用动词构成的搭配。catch(a)cold感冒doagooddeed做好事getacold感冒getinaword插话giveaconcert举行音乐会gooutforawalk去散步haveacold感冒haveacough咳嗽haveafever发烧haveaheadache头疼haveapain疼痛haveasayin对……有发言权keepaneyeon照看，留意makeanameforoneself出名makeaface做鬼脸makeafuss大惊小怪makeaneffort努力makealiving谋生makeamistake犯错误makeanoise喧闹makeaspeech演讲makeastart开始makeanapology道歉makeitarule制定规则keepaneyeon留意payavisit访问takeaseat就坐takeamessagefor捎口信lendsb.ahand帮助dosbafavour看在某人的面子上，帮忙Willyoudomeafavour,please?你帮我个忙好么？I’mafraidMr.Brownisn’tin.Wouldyouliketoleaveamessage?恐怕布朗先生不在，请你留言好吗？注意：由于makeaface/mistake等词组中的名词是可数的，因而它们也有其复数形式makefaces/mistakes等，但也有结构习惯上只仅以复数形式出现。Frankisthekindofpersonwhompeopleliketomakefriendswith.弗兰克是喜欢交友的人。JohnshookhandswithHenrywhentheymetattheairport.约翰和亨利在机场见面时相互握手。12．A，an的区别名词前面用a还使用an，不是看其后的起首字母是元音字母还是辅音字母，而是看其后的起首音节音素。,a用于辅音音素开头的名词前面，an用于元音音素开头的名词前面。

=1\*GB3

①

h再on,our,eir前不发音，故用an。Sheisanhonestgirl.她是一个诚实的姑娘。Heisanheiratlaw.他是法定继承人。

=2\*GB3

②

u发自身音/ju:/时，用a，因为[j]是半元音，属于辅音，发元音时用an。Heisaninexperiencedmanjustcomingoutofauniversity.他是刚从大学里出来的没有经验的人。It’sauselesstool.这是没用的工具。

=3\*GB3

③

once和one起首音节音素是半元音，故前用a。Theymadeaone-sidedecision.他们做出了片面的决定。Shewasaoncechairmanofthecommittee.她曾是该委员会主席。

=4\*GB3

④

eu和ew在词首时，发音是/ju:/，故用a。ThisisaEuropeancountry.这是一个欧洲国家。Sometimesitisnecessarytouseaeuphemism.有时候使用委婉语是很必要的。

=5\*GB3

⑤

英语的26个字母常用于缩略语中，在A,E,F,H,I,L,M,N,O,R,S,X前药用an，其余的用a。Therean“f”intheword“flag”.再flag这个单词里面有一个f。HeisanAstudentinourschool.他在我校是一名优等生。13．不定冠词a(n)与数词one的比较。不定冠词a(n)与数词one有时可以互换，但并不是在任何情况下都行。a(n)不强调数量，而one确是强调数量，它相对于two,three,four等数词而言，暗示是一个而不是两个或三个。

=1\*GB3

①

表示数目“一”时，在与表示“数字、时间、重量、距离、长度、金钱”的名词连用时；以及一些习惯用语中二者可以换用。One/Afourthofthestudentscametothegathering.四分之一的学生参加了聚会。A/Onehundredpeoplearethere.100人在哪里。

=2\*GB3

②

用在表姓氏的专有名词前表示“有一个、某一个”时可以换用，单用a时表姓氏的专有名词前必须有称号、称呼、尊称等，用one时可以不带。A/OneMr.Smithtoldmethenews.一个施密斯先生的人告诉的我这个消息。OneBobisexpectingyourreply.一个叫鲍勃人在等你的答复。

=3\*GB3

③

在“of+a(n)+名词”表示“一致、同一”的结构中可以换用。Theroomsareofa/onesize.这些房子一样大。Thetwoboysareofan/oneage.这两个男孩一样大。

=4\*GB3

④

在“notone+名词”与“nota+名词”的结构中，可以换用。Notone/awordwasspoken.说的不少。Notone/apondwaswasted.浪费很大。注意：在后面又of短语表示范围，要用one，不能用a；notone可以单独使用，而nota不可以单独使用。Notoneofthemcananswerthequestion.他们中不止一个能回答这个问题。Notevenawindowwasunbroken.Notone.坏了不止一扇窗户。不止一扇。

=5\*GB3

⑤

在表示事物之间的对比时，只能用one不能用a(n)。Tosayisonething,todoisanother.说是一回事；做又是另一回事。Ihavethreesisters,butonebrother.我有三个姐姐，但只有一个哥哥。

=6\*GB3

⑥

表示“其中之一、第一”；运算习惯、强调数目时只能用one,不能用a(n)。Oneofthebestwaystokeepfriendsistoreturnit.最好的维系友情的方式之一就是礼尚往来。Onceoneisone.一乘一等于一。Thereisonlyonestudentintheclassroom.教室里只有一个学生。

=7\*GB3

⑦

在表是一个特定的但又未指明的时间段时，只能用one意为“某一”，不能用a(n)。IrememberseeingheronewinterinBeijing.我记得有一年冬天在北京见过她。HeleftonemorninginSeptember.他在九月的一个早晨离开的。

=8\*GB3

⑧

在表示一类泛指时只能用a(n)，不能用one。Arollingeye,arovingheart.别久情亦疏。Awhaleisamammal,notafish.鲸是哺乳动物，不是鱼。（二）定冠词的用法1．姓氏的复数形式之前使用定冠词，表一家人或夫妇俩。TheBrownsaregoingtoLondonfortheirholiday.布朗一家要去伦敦度假。2．用在表示单位的名词前，有时具有every,each或per的含义。Theyarepaidbytheweek.他们按周计酬。Meatissoldbythecatty.肉按斤卖。3．用于上文提过的人或物之前，指谈话者双方都知道的人或物（熟知或心照不宣）。Heboughtabookyesterday.Thebookisveryinteresting.他昨天买了一本书，这本书很有趣。Let'smeetattheairport.我们在机场碰头吧。4．用在可数名词单数前，表示一类人或物。Thetelephonewasinventedin1976.电话发明于1876年。Thewhaleisahugeanimal.鲸鱼是巨大的动物。5．用在表示世界上“独一二”的事物的名词前。thesun太阳theearth地球themoon月球thesky天空theatmosphere大气注意：若这类名词前有描绘性定语修饰，则可加不定冠词。arisensun升起的太阳abrightmoon一轮明月abluesky蔚蓝的天空6．序数词、形容词最高级（包括特指“两者中较……”）及方位词前常用定冠词the。Lucyistheclevererofthetwins.这对双胞胎中露茜比较聪明。Ofthetwoshirts,I'dliketochoosethelessexpensiveone.这两件衬衣中，我愿选便宜的。7．用在某些形容词或过去分词连用，使其名词化，代表一类人、物或某种抽象的概念。作主语时谓语动词一般用复数。theyoung年轻人theold老人thepoor穷人theliving活着的Thehandicappedneedourhelp.残疾人需要我们的帮助。Thelearnedaremodest.有学问的人总是很谦虚。8．演奏乐器名词前，通常加定冠词。playthepiano弹钢琴playtheviolin拉小提琴playtheflute吹笛子playtheguitar弹吉它9．用于逢“十”的复数数词这前，表示世纪中的几十年代或人的约略年龄。Itisnotrareinthe90sthepeopleintheirfiftiesaregoingtouniversityforfurthereducation.90年代五十多岁的人到大学进修不稀奇。10．在“beat/hit/knock/pat/strikesb.+in/onthe+部位”及“catch/grasp/pull/take/seizesb.+bythe+部位”的句型中或在“beblind/wounded/hurt…inthe+部位”的句型中的介词短语中，指有关者的身体或衣着的一部分。Bobhitthemanintheface.鲍勃打了那人的脸。ThePLAmangraspedtheenemybythecollar.解放军战士抓住敌人的衣领。11．在themore...themore...句型中的the不可省略，the起副词的作用。Themore,thebetter.多多益善。ThemoreyoulistentoEnglish,theeasieritbecomes.英语听得越多，它就越容易听懂。12．用在表是方向、方位的名词前。

=1\*GB3

①

在介词短语中、方向或方位的名词前要用定冠词。Birdscomebackfromthesouthinspring.春天，鸟儿从南方返回。Weshouldthinkofthefuture.我们应当想想未来。

=2\*GB3

②

方位名词大写，指某些国家或世界的某一部分时，前要用定冠词。TheNorthiscolderthantheSouth.北方比南方冷。Theyarrivedt