第三章单相正弦交流电路

本章主要内容3.1正弦交流电的基本概念3.2正弦量的相量表示法3.3单一参数的正弦交流电路3.4RLC串联交流电路3.5复阻抗的串联和并联3.6正弦稳态电路的功率及功率因数3.7电路的谐振第三章单相正弦交流电路正弦交流电压的波形正弦交流电压函数即瞬时值表达式3.1正弦交流电的基本概念1.正弦量及其瞬时值正弦交流电是指大小和方向都随时间按正弦规律作周期性变化的电量。正弦交流电的和、差、微分、积分等运算仍然是同频率的正弦交流电。（1）最大值（振幅）正弦量瞬时值中的最大值，又叫峰值。记作Um、Im等2.正弦信号的三要素振幅

Um、角频率、初相位（2）频率f、周期T、角频率频率f：交流电在单位时间内完成周期性变化的次数。单位：赫兹(Hz)，千赫(kHz),兆赫(MHz)...周期T：波形变化一周所需的时间单位：秒(s)，毫秒(ms),微秒(s)…角频率ω：正弦量在单位时间内变化的弧度数单位：弧度/秒(rad/s)（3）初相位对于正弦量指正弦波在时刻t的相位角或相位，它以2为周期。为t=0时的相位，称为初相位或初相角。-≤≤3.相位差相位差两个同频率的正弦量可以比较相位U1和U2相位关系有4种情况：电流超前电压电压与电流同相

电流超前电压

电压与电流反相uiωtui90°OuiωtuiOωtuiuiOuiωtuiO设：已知我国的交流电f＝50Hz,试求T和ω

。解：

例3-1

ω＝2πf＝2×3.14×50＝314rad/s例3-2在选定的参考方向下，已知两正弦量的解析式为量的三要素。试求两个正弦解：

例3-3已知求u和i的初相，并说明它们之间的相位关系。解：

说明电压u滞后于电流i170o。u和i为同频率的两个正弦量4.有效值在工程应用中常用有效值表示周期性信号的大小，有效值表示与正弦电压或电流平均热效应相当的直流值。数学上表示为方均根值对于正弦电压、电流有效值与振幅之间的关系为根据定义例3-4电容器的耐压值为250V,问能否用在220V的单相交流电源上？解：电容可能被击穿，所以不能接在220V的单相电源上交流电的相量表示法是为了便于分析和计算。用复数的运算方法进行交流电的分析和计算，称为交流电的相量表示法。1.复数的表达形式代数形式在复平面上的有向线段A如右图所示。A=a+jb图中:横轴为实轴，单位为+1，a为A的实部。纵轴为虚轴，单位为+j，b是A的虚部。r是A的模，Φ是A与实轴的夹角，称为复数幅角3.2正弦量的相量表示法三角形式A=a+jb

=rcosθ+jrsinθ=r(cosθ

+jsinθ)指数形式欧拉公式ejθ=cosθ+jsinθ

A=rejθ

极坐标形式 A=r∠θ正弦量u=Umsin(ωt+ψu)相量表示为:正弦量的幅值为复数的模；相位角为复数的幅角；上式称为正弦电压的最大值相量。也可以用有效值向量表示，为U为有效值2.正弦量的相量表示例3-5已知试求总电流,并画出相量图。解：

③i的瞬时值表达式②相量法求和①最大值相量④相量图例3-6如图3-6所示是时间t=0时电压和电流的相量图，已知U=220V,I1=10A,试分别用三角函数式及相量式表示各正弦量。三角函数及各相量式分别为解：由图可知3.3单一参数的交流电路3.3.1交流电路中的电阻元件1.设电路图（a）中电阻两端的电压为则电阻中的电流为最大值：相量表示显然,电阻上的u和i电流是同频率、同相位，如图（b）.有效值：2.功率与能量转换关系

瞬时功率:电压瞬时值与电流瞬时值的乘积，用小写字母p表示，即P=u

i

应用电压和电流瞬时值进行计算，

P=u

i

=Umsinωt·Imsinωt=UmImsin2ωt

=UI(1–cos2ωt)

瞬时功率含有两个部分：

常量U

I和两倍频率。如图上(d)所示的曲线。平均功率---瞬时功率的平均值单位:瓦（W）平均功率又叫有功功率。PppωtO

电路处于稳定运行状态下，一个周期内R所消耗的平均功率。例3-7一只额定电压为220V，功率为100W的电烙铁，误接在380V的交流电源上，问此时它接受的功率为多少？是否安全？若接到110V的交流电源上，它的功率又为多少？解：由电烙铁的额定值可得①当接至电压为380V的电源时，电烙铁的功率为②当接至110V的交流电源时，电烙铁的功率为电烙铁将被烧坏电烙铁达不到正常使用的温度3.3.2正弦交流电路中的电感元件1.电压与电流的关系取关联参考方向设电流iL为参考正弦量iL

=ILmsinωt

则电感两端的电压：

有效值:(1)

频率相同(2)

U=IL

(3)

电压超前电流90相位差uωtuiiO或则:感抗(Ω)电感L具有通直阻交的作用直流：f=0,XL=0，电感L视为短路定义：有效值:交流：fXL感抗XL是频率的函数可得相量式：电感电路复数形式的欧姆定律相量图根据：则：O2.功率与能量转换关系(1)瞬时功率(2)平均功率L是非耗能元件储能p<0+p>0分析：瞬时功率：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0p<0放能储能放能电感L是储能元件。iuopo结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换用以衡量电感与电源之间能量交换的规模。用瞬时功率达到的最大值表征，即单位：“乏”var，“千乏”kvar、“毫乏”mvar(3)无功功率Q瞬时功率：例3-8在功放机的电路中，有一个高频扼流线圈，用来阻挡高频干扰。已知扼流圈的电感L=10mH，求它对电压为5V，频率为f1＝500KHz的高频信号和频率为f2=1KHz的音频信号的感抗及线圈上的无功功率分别是多少？解：①对于频率为f1＝500KHz，②对于频率为f2=1KHz所以电感元件具有通低频阻高频的特性

基本关系式：1.电流与电压的关系(1)

频率相同(2)

IC=UCC

(3)电流超前电压90(或电压滞后电流90）相位差则：3.3.3

正弦交流电路中的电容元件uCiCC+_设：iuiu或则:容抗（Ω）定义：有效值所以电容C具有隔直通交的作用XC直流：XC

，电容C视为开路交流：f容抗XC是频率的函数则：电容电路中复数形式的欧姆定律相量图O由：可得相量式-jXC称为复容抗2.功率与能量转换关系(1)瞬时功率uiC+_

(2)平均功率Ｐ由C是非耗能元件瞬时功率：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0充电p<0放电+p>0充电p<0放电po所以电容C是储能元件。结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换。uiou,i用瞬时功率的最大值表示。(3)无功功率Q单位：var例3-9在收音机的输出电路中，常利用电容来短路掉高频干扰信号，保留音频信号。如高频滤波电容为0.1μF，干扰信号的频率为f1＝2000KHz，音频信号的频率f2=2KHz，求电容对干扰信号的感抗的容抗分别为多少？解：①对于频率为f1＝2000KHz，②对于频率为f2=2KHz1.电压和电流的关系3.4R、L、C

串联交流电路设：RLC+_+_+_+_RjXL-jXC+_+_+_+_(a)电路图(b)相量模型相量表示为：（参考相量）则总电压与总电流的相量关系式(3)由KVL得RjXL-jXC+_+_+_+_令则

Z的模表示u、i的大小关系，辐角（阻抗角）为u、i的相位差。Z

是一个复数，不是相量，上面不能加点。复阻抗根据注意：复数形式的欧姆定律电路参数与电路性质的关系：阻抗模：阻抗角：当XL>XC

时，

>0

，u

超前i

电路呈感性当XL<XC

时，

<0

，u

滞后i

电路呈容性当XL=XC

时，=0

，u.

i同相呈电阻性

由电路参数决定。2)相量图(

>0感性)XL

>

XC由电压三角形可得:(

<0容性)XL

<

XC电压三角形RjXL-jXC+_+_+_+_由相量图可求得:2)相量图由阻抗三角形：例3-10已知一电感线圈电阻R=60Ω,电感L=764mH，和一电容为C=20μF的电容器串联后接入电源为的电源两端，试求电路的等效复阻抗Z，电流i及电压uR,uL和uC的解析式，并画出相量图。解：选定i、uR、uL、uC与电源电压参考方向一致RjXL-jXC+_+_+_+_3.5

复阻抗的串联与并联1.阻抗的串联分压公式：对于阻抗模一般注意：+-++--+-2.阻抗并联分流公式：对于阻抗模一般注意：+-+-通式:例3-11设有两个负载Z1=(12.32+j18)Ω和Z2=(5-j8)Ω，如图所示，串联接在的电源上，使用相量计算电路中的电流和各个阻抗上的电压并画出相量图。解：选关联参考方向，为参考相量，++--+-例3-12设有两个负载Z1=(3+j4)Ω和Z2=(0.8-j0.4)Ω，如图所示，并联接在的电源上，试求该电路的支路电流I1，I2和总电流I，并画出相量图。解：选关联参考方向，为参考相量+-2.功率关系储能元件上的瞬时功率耗能元件上的功率在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。(1)瞬时功率设：RLC+_+_+_+_(2)平均功率P

（有功功率）单位:W总电压总电流u与i

的夹角cos

称为功率因数，用λ表示，用来衡量对电源的利用程度。(3)无功功率Q单位：var根据电压三角形可得：电阻消耗的电能根据电压三角形可得：电感和电容与电源之间的能量互换>0，Q>0，电路呈感性，电抗吸收能量，<0，Q<0，电路呈容性，电抗发出能量,=0，Q=0，电路呈纯电阻性(4)视在功率S电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：V·A发电机、变压器等供电设备的额定容量通常用视在功率表示单位：伏安(V·A)或千伏安(KV·A)阻抗三角形、电压三角形、功率三角形SQP将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形R例3-14在RLC串联电路中，已知电阻R=40Ω

，电感L=233mH,电容C=80μF，电路两端的电压,试求（1）电路的阻抗。（2）电流的有效值。(3)各元件两端电压的有效值。（4）电路的有功功率、无功功率和视在功率。（5）电路的性质.解：（1）(2)电流有效值(4)(5)阻抗角阻抗角大于零，所以电压超前电流，电路呈感性。(3)各元件两端电压例3-15在如图所示的RLC并联电路中，已知R=40Ω，L=5μH,

C=0.4μF，电压有效值U=10V,ω=106rad/s,试求（1）总电流i，说明电路的性质.(2)P,Q,S.解：（1）设各支路电流电压的相位滞后电流45o,所以电路呈容性（2）3.7电路的谐振在同时含有L和C的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。谐振的概念：1.串联谐振谐振发生在R、L、C串联电路中RLC+_(a)电路图RjXL-jXC+_(b)相量模型(c)相量图同相由定义，谐振时：即谐振条件：(1)谐振条件设谐振时的角频率为ω0或等效阻抗：RjXL-jXC+_(b)相量模型ω0称为称谐振角频率，f0称为称谐振频率。电路发生谐振的方法：②电源频率f

一定，调参数L、C使fo=f；①电路参数LC

一定，调电源频率f，使f=fo(2)串联谐振的特点①阻抗最小，为纯电阻性谐振频率：(a)

阻抗谐振曲线串联电路的阻抗频率特性

阻抗随频率变化的关系。容性感性0（b）电流谐振曲线。谐振电流②电流最大，与电源电压同相电路呈电阻