第三章边界效应2014

锅炉压力容器安全中国地质大学（武汉）工程学院安全工程系倪晓阳第三章第三节圆筒壳的边界效应目录

基本概念

挠度微分方程及求解

圆筒壳与凸形封头连接时的边界效应

Clicktoaddtitleinhere51234圆筒壳与厚平板连接时的边界效应对圆筒壳边界效应的结论一、基本概念

承受内压的圆筒形元件，总是和其他相应的元件——封头、管板、端盖等连接在一起，组成一个封闭体，才能承受内压，以满足使用要求。在圆筒元件与其他元件相接之处，承受内压之后，其变形和受力情况与非连接部位有很大不同，这是圆筒与相连元件在相连处变形不一致、互相约束造成的。

1、半径增量

以圆简与凸形封头连接为例(见图3—12)，连接线上各点是圆筒与封头的公共点。作为圆筒简身上的点，承受内压后其径向位移△Rt可按以下关系求出。

图3-12圆筒壳与凸形封头连接时的边界效应根据广义虎克定律，环向应变εθ为：εθ=分析环向应变与径向位移的关系，有：因此，同样可以求出，作为封头上的点，连接处承受内压后的径向位移ΔRf为：式中，y=a/b，是凸形封头长轴与短轴之比，或长半径与短半径之比。对标准椭球封头，y=2，因而有：

即是说，在连接线上，作为筒身的一部分应沿径向向外位移ΔRt;作为封头的一部分，应沿径向向外或向内位移ΔRf,但封头在连接线上的径向位移量总是不向于简身在连接线上的径向位移量，筒身向外的径向位移总是大于封头向外的径向位移。实际情况是，连接线上的点在承受内压后只能有一个径向位移，最后的变形位置只能在二者单独变形的中间位置，这样才能保持构件在连接处变形后是连续的。即二者在连接处互相约束限制。剪力封头弯矩受到封头的约束和限制，端部产生“收口”弯曲变形，以抵消内压作用于圆筒所产生的向外径向位移。圆筒

薄壁圆筒的抗弯能力很差，上述附加弯矩和剪力有时会在连接部位产生相当大的弯曲应力，甚至超过由内压造成的薄膜应力。但这种现象只发生在不同形状的元件相连接的边界区域，所以叫做“边界效应”。由边界效应产生的应力叫“不连续应力”，这是抵消不同元件在连接处变形不连续，保持实际上的变形连续在元件内出现的局部附加应力。

分析边界效应实际上是分析圆筒壳的弯曲问题，而圆筒弯曲问题比梁的弯曲问题要复杂得多。梁在受到弯曲时，其变形比较自由，因为梁的宽度较小，在宽度方向没有受到约束

圆筒壳可以被想象成是由许多沿轴线并排的、互相靠近的细长梁所构成，每条细长梁都夹在两边相邻细长梁之间，受到其约束和限制。圆筒壳轴向承受弯曲时，相当于各条细长梁都承受弯曲，由于每条细长梁在宽度方向(圆周方向)与其他细长梁连在一起，在宽度方向变形受到限制，因而，为了保持变形协调，圆筒壳受弯曲时不仅横截面内有弯矩和剪力，其纵截面内也有弯矩和剪力。这些弯矩、剪力是沿圆周均匀分布的，是单位长度(宽度)上的弯矩和剪力，因而弯矩的单位是N·cm/cm或N·mm／mm，剪力的单位是N／cm或N／mm。简言之，对圆筒壳分解成的纵向梁条，如无封头限制，承受内压后应整体沿圆筒径向向外位移；封头对圆筒的限制相当于在纵向梁条端部加上集中载荷，使梁条产生弯曲变形，而相邻梁条从两侧限制了纵向梁条的弯曲变形。而且，纵向梁条的弯曲变形倾向越大，相邻梁条的约束和限制力也越大。这有点像置于弹性地基上的铁软——弹性基础上的梁。当车轮作用于铁轨使其发生弯曲变形时，弹性地基给铁软以反弯曲的约束力，减弱和抵消铁软的弯曲变形。车轮给铁轨的作用力越大，铁轨下陷弯曲的倾向越大，弹性地基对铁轨的反作用力也越大。由于弹性地基的约束作用，使铁轨的弯曲变形仅限于车轮附近。在经典力学中．正是从分析弹性基础上的梁入手，分析处理圆筒壳的弯曲问题。二、挠度微分方程及求解对于承受横向连续均布载荷的普通梁，其挠度(x)随轴向坐标X变化的微分关系为式中：EI--梁的抗弯刚度q0--梁上的连续分布载荷对于弹性基础上的梁，由于地基对梁的反作用力正比于梁的挠度，把地基的反作用力视作梁承受的分布载荷而不考虑其他分布载荷．即q=-k则有：即纵向梁条的抗弯刚度与承受双向弯曲圆平板板条的抗弯刚度一样，是D而不是EI，而纵向梁条的挠度ω（x）．是圆筒壳与封头相连后，自连接部位起以圆筒壳轴向为x向进行考察，圆筒壳承受内压后本应产生的径向位移与实际产生径向位移之差。(见图3-12）针头对圆筒壳的“收口”作用，是圆筒壳纵向梁条弯曲的起因，可简化为纵向梁条端部承受的剪力N0和弯矩M0。纵向梁条所受“地基”的反作用力，是两侧相邻纵向梁条对其环向挤压力Nθ的径向合力q(见图3—13c)。第一第二第三第四对于圆筒壳分解成的纵向梁条，将其近似视为弹性基础上的梁时，需注意以下几点：图3-13圆筒壳弯曲时的内力q与ω的关系如下：纵向梁条的挠度是圆筒壳的附加径向位移，与之相应的附加环向应变可按本节“一、基本概念”中的方法得出：附加环向应力为：而Nθ是单位长度环向板条上的内力：将纵向梁条两侧挤压力折算成下部反作用力q：取，则即因而纵向梁条的挠度微分方程为：

（3-31）令，则：取=0.3，则：式中，β称为边界效应的衰减系数，其量纲为mm-1。式（3-31）的解为：式中，e为自然对数的底。当,,这显然是不合理的，所以，C1=C2=0，则：以封头与圆筒壳连接处横截面上的剪力N0和轴向弯矩M0代替C3，C4，则有：若θ为圆筒壳上纵向梁条相应于ω在不同x处的转角；Mx为作用在圆筒壳轴向距端部为x横截面上的弯矩;Nx为作用在圆筒壳轴向距端部为x横截面上的剪力；Mθ为相应纵截面上的环向弯矩；Nθ为相应纵截上的环向力(见图3—13b)。依据材料力学和弹性力学有：ABCDE求出ω的各阶层导数，即可得出以下表达式：

（3-33）

（3-34）

（3-35）

（3-36）

M0，N0是圆筒壳承载后在连接处因变形协调而出现的附加内力，其大小不仅取决于与圆筒相连封头的结构形状，也取决于造成边界效应载荷的性质及大小。三、圆筒壳与凸形封头连接时的边界效应

圆筒壳与凸形封头连接时，在连接处二者的几何形状是连续的。承受内压后二者虽因连接处变形不相同互相牵制，但最终到达的位置仍保持了连接部位的连续——连接处有同一的径向位移和转动角度。当凸形封头与圆筒壳的材质、壁厚都相同时，相应的因而，当凸形封头与圆筒壳相连接时，在圆筒壳连接部位附近因内压引起的附加内力为：（3-37）

（3-38）（3-39）

（3-40）Mx，Nx随x变化趋势如图3-14所示：图3-14Mx,Nx沿圆筒轴向的变化趋势（一）连接处（x=0）内力及应力由于连接处弯矩等于零，因而没有相应的附加弯曲应力。连接处的径向剪力N。在连接处横截面上引起剪应力，平均剪应力为：连接处附加环向力N0在连接处造成附加环向应力：由式(3—39)及式(3—40)可知，Nx,和Nθ都是随x的增加面减小的，连接处的N0及Nθ是最大剪力及最大环向应力，因而,。由于的绝对数值较小，可忽略不计。因而连接处的主要附加应力是环向附加应力。连接处总的应力应是内压引起的薄膜应力与附加应力的代数和：（与球形封头相连，y=1）(与标准椭球封头相连，y=2)（二）附加弯矩最大截面的内力和应力Mx,Mθ的值随x而变化，当βx=/4,或者x=/(4β)=0.61(取=0.3，以下同）时，Mx达最大值，相应的附加轴向弯曲应力为：（与球形封头相连）=（与标准椭球封头相连）在同一位置，Mθ及相应的附加环向应力也达到最大值，其数值为：（与球形封头相连）=（与标准椭球封头相连）在附加弯矩最大的截而上，径向剪力Nx减小为零，附加环向力为:由附加环向力引起的附加环向应力为：

(与球形封头相连)

(与标准椭球封头相连)作用于该截而内某点的总应力应为内压造成的薄膜应力及附加应力之相。对与标淮椭球封头相连的圆筒，内壁处的最大环向总应力为：内外壁面处的轴向总应力分别为：四、圆筒壳与厚平板连接时的边界效应圆筒壳与厚平板连接时，由于厚板抗弯刚度很大、可以近似地看做对圆筒壳端部形成了刚性约束，即在连接处圆筒壳无转角和径向位移。由此可求得连接处的附加轴向弯矩M0和径向剪力N0：因而有：在连接处的应力计算式如下：ProductDescriptionofthecompany’sproducts一二三四轴向附加弯曲应力环向附加弯曲应力横截面上的径向平均剪应力由附加环向力引起的附加环向应力(x＝0)考虑内压引起的薄膜应力及附加应力后在连接处的总应力为：可以证明，对于圆简壳与厚平板相连接这钟情况．连接处的附加弯矩最大，即M0=Mxmax。附加弯矩沿圆筒壳铀向(x袖)迅速衰减，其衰减规律如图3—15所示。

实际采用的平端盖、平管板对圆简壳虽有很大的约束作用，但并不完全是刚性约束，而是所谓“弹性约束”，允许圆筒壳在连接处有一定的转角和径向位移。因而实际结构的不连续应力较上面按刚性约束计算的值要小一些，其具体计算从略。五、对圆筒壳边界效应的结论第一，圆简壳的边界效应是圆筒壳