第4章 二维图形变换

计算机辅助设计图形几何变换

在计算机绘图中，经常根据需要将已定义的图形从屏幕的某一位置移动到另一位置，或改变图形的大小或形状,或利用已有的图形生成复杂图形，这种变换过程称为几何变换。利用图形变换还可以实现二维图形和三维图形之间转换，甚至还可以把静态图形变为动态图形。

图形几何变换4.1预备知识4.2二维图形几何变换4.3二维图形组合变换图形几何变换

一种是图形不动，而坐标系变动，即变换前与变换后的图形是针对不同坐标系而言的，称之为坐标模式变换；

另一种是坐标系不动，而图形改变，即变换前与变换后的坐标值是针对同一坐标系而言的，称之为图形模式变换。

图形变换有两种不同的变换形式：4.1.1图形变换形式4.1预备知识工程图形的齐次坐标矩阵表示齐次坐标：将一个n维向量用n+1维向量表示。例：平面三角形A齐次坐标矩阵表示

123oxy

若图形A经过某种变换后得到图形B，则有：

B=A·TT称为变换矩阵，二维：T为3x3矩阵，三维：T为4x4矩阵。A4.1.2齐次坐标的引入

齐次坐标技术的引入平移、比例和旋转等变换处理形式不统一，组合变换时将很难把它们级联在一起。

变换应具有统一的表示形式便于变换合成便于软件实现4.1.2齐次坐标的引入

图形变换的方法：借助变换矩阵来实现图形（可用点集表示）齐次坐标矩阵P新齐次坐标矩阵P’新图形P×变换矩阵T表示成表示成4.1.3图形变换的方法

矩阵乘法：矩阵的乘法不满足交换率，两个矩阵相乘必须满足的基本条件是前者矩阵的列数与后者矩阵的行数应相等。4.1.4矩阵乘法

4.2二维图形基本几何变换

4.2.1二维基本变换平移变换旋转变换比例变换对称变换错切变换（1）平移变换

其中：l为x方向平移量，m为y方向平移量。

平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状。（2）比例变换变换矩阵为：

坐标点(x,y,1)变换运算：若a=d=1，为恒等变换，变换后的图形不变；若a=d≠1，>1时为等比例放大，<1时为等比例缩小；若a≠d，图形在x，y两个坐标方向以不同的比例变换。

相对于坐标原点图形的比例变换，相当于每一点相对于坐标原点的变换，因此，它不但改变图形的大小，而且改变图形的位置。（2）比例变换（3）旋转变换

绕坐标原点旋转，逆时针为正，顺时针为负

对字母T进行旋转变换（旋转60°)（3）旋转变换

（4）对称变换根据abcd不同的取值情况，可以获得不同的对称变换。①y轴对称变换

②x轴对称

③对原点对称

④45°线对称

⑤-45°线对称

①沿x轴方向关于y错切变换前和变换后y坐标不变，而x坐标根据y坐标值呈线性变化。变换前后点的坐标之间的关系为：△x

错切变换（1）yx（5）错切变换

②沿y轴方向关于x错切变换前和变换后x坐标不变，而y坐标根据x坐标值呈线性变化。变换前后点的坐标之间的关系为：

错切变换（2）y△y（5）错切变换

二维图形基本变换矩阵讨论：

实现图形的比例、对称、错切、旋转等基本几何变换；

实现图形平移变换；

实现图形透视变换；

实现图形全比例变换，s>1等比例缩小；0<s<1等比例放大。

4.2二维图形基本几何变换总结

4.2二维图形几何变换

4.3二维图形的组合变换

基本变换是在特定的约束条件下进行的，如比例变换是关于坐标原点的放大或缩小，旋转变换是指绕原点旋转等。有些变换仅用一种基本变换是不能实现的，必须由两种或多种基本变换组合才能实现。这种由多种基本变换组合而成的变换称为组合变换。齐次坐标统一了图形变换的表示形式，为组合变换提供了基础。复合变换矩阵：等于各基本变换矩阵的有序乘积。

例：三角形abc绕任意点A旋转α角，步骤：旋转中心平移到坐标原点T平；绕原点旋转T转；

旋转中心平移到原来位置T—平。复合变换矩阵T为：坐标点变换：

[X′Y′1]=[XY1]T

1关于绕任意参照点A旋转α的变换

4.3二维图形的组合变换2关于任意参照点的比例变换

变换矩阵：T=T1•T2•T3（平移，比例，-平移）

4.3二维图形的组合变换3关于任意轴的对称变换

设任意直线的方程为：Ax+By+C=0，直线在X轴的截距为-C/A，在Y轴上的截距为-C/B，直线与X轴夹角为，对该直线做对称变换。

关于任意轴的对称变换步骤：1)平移直线，使其通过原点（可以沿X向或Y向平移，这里沿X向平移），变换矩阵为：2)绕原点旋转，使直线与某坐标轴重合（这里与X轴重合）,变换矩阵为：3)对X坐标轴对称变换，其变换矩阵为：4)绕原点放置使直线回到原来与X轴成θ角的位置，变换矩阵为：5)平移直线，使其回到原来的位置，变换矩阵为：

通过上述5个步骤，即可实现图形